2025年雞爪模型試題及答案如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)(0,0)，頂點(diǎn)B在(4,0)，頂點(diǎn)D在(0,4)。點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，連接AE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF（點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)F）。（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含E點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)式表示）；（2）連接EF，交AD于點(diǎn)G，若EG=2GF，求E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)H為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△HAB的周長最小時(shí)，求H點(diǎn)坐標(biāo)。--如圖2，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接AD，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACE（點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)E）。（1）證明：DE=√3AD；（2）若BD=2DC，求△ADE的面積；（3）當(dāng)AD⊥CE時(shí)，求BD的長。--如圖3，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），連接PC，將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△QDC（點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q）。（1）判斷△PCQ的形狀并證明；（2）當(dāng)AP+PQ最小時(shí)，求BP的長；（3）若點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，N為PQ的中點(diǎn)，連接MN，求MN的取值范圍。--答案與解析第一題（圖1）（1）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,t)（因E在BC上，BC為x=4，y∈[0,4]）?！鰽BE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)中心A(0,0)，旋轉(zhuǎn)角90°，則點(diǎn)B(4,0)旋轉(zhuǎn)后到D(0,4)（驗(yàn)證：(4,0)繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°為(0,4)）。同理，點(diǎn)E(4,t)繞A逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，坐標(biāo)變換規(guī)律為(x,y)→(-y,x)，故F點(diǎn)坐標(biāo)為(-t,4)。（2）由（1）知E(4,t)，F(xiàn)(-t,4)，則直線EF的斜率k=(4-t)/(-t-4)=(t-4)/(t+4)，直線方程為y-t=[(t-4)/(t+4)](x-4)。AD為y軸（x=0），求EF與AD的交點(diǎn)G，令x=0，得y=t+[(t-4)/(t+4)](-4)=t[4(t-4)/(t+4)]=[t(t+4)-4(t-4)]/(t+4)=(t2+4t-4t+16)/(t+4)=(t2+16)/(t+4)，故G(0,(t2+16)/(t+4))。EG與GF的長度比可通過向量或坐標(biāo)差計(jì)算。EG的橫坐標(biāo)差為4-0=4，縱坐標(biāo)差為t(t2+16)/(t+4)=[t(t+4)-t2-16]/(t+4)=(4t-16)/(t+4)=4(t-4)/(t+4)，故EG=√[42+(4(t-4)/(t+4))2]=4√[1+((t-4)/(t+4))2]=4√[(t+4)2+(t-4)2]/(t+4)=4√(2t2+32)/(t+4)=4√[2(t2+16)]/(t+4)。同理，GF的橫坐標(biāo)差為0-(-t)=t，縱坐標(biāo)差為(t2+16)/(t+4)-4=(t2+16-4t-16)/(t+4)=(t2-4t)/(t+4)=t(t-4)/(t+4)，故GF=√[t2+(t(t-4)/(t+4))2]=t√[1+((t-4)/(t+4))2]=t√[(t+4)2+(t-4)2]/(t+4)=t√(2t2+32)/(t+4)=t√[2(t2+16)]/(t+4)。由EG=2GF，得4√[2(t2+16)]/(t+4)=2×[t√[2(t2+16)]/(t+4)]，兩邊約去√[2(t2+16)]/(t+4)（t+4>0，t∈[0,4]），得4=2t，故t=2。因此E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)。（3）由（2）知E(4,2)，F(xiàn)(-2,4)，直線EF的方程：斜率k=(4-2)/(-2-4)=2/(-6)=-1/3，方程為y-2=(-1/3)(x-4)，即y=(-1/3)x+10/3。△HAB的周長=HA+HB+AB，AB=4（固定），故只需最小化HA+HB。H在直線EF上，求H使HA+HB最小，即作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B與EF的交點(diǎn)即為H。設(shè)A(0,0)關(guān)于直線EF:y=(-1/3)x+10/3的對(duì)稱點(diǎn)A'(m,n)。則AA'中點(diǎn)在EF上，且AA'與EF垂直（斜率為3）。中點(diǎn)坐標(biāo)(m/2,n/2)，代入EF方程：n/2=(-1/3)(m/2)+10/3→3n=-m+20→m+3n=20。AA'斜率為n/m=3→n=3m。聯(lián)立得m+3×3m=20→10m=20→m=2，n=6，故A'(2,6)。直線A'B：B(4,0)，斜率k=(0-6)/(4-2)=-3，方程為y-0=-3(x-4)→y=-3x+12。求與EF的交點(diǎn)H：聯(lián)立y=-3x+12和y=(-1/3)x+10/3，得-3x+12=(-1/3)x+10/3→-9x+36=-x+10→-8x=-26→x=13/4，y=-3×(13/4)+12=-39/4+48/4=9/4。故H點(diǎn)坐標(biāo)為(13/4,9/4)。--第二題（圖2）（1）由旋轉(zhuǎn)知，AD=AE，∠DAE=∠BAC=120°（旋轉(zhuǎn)角120°），故△ADE為頂角120°的等腰三角形。過A作AH⊥DE于H，則DH=HE，∠DAH=60°，DH=AD·sin60°=(√3/2)AD，故DE=2DH=√3AD。（2）AB=AC=5，∠BAC=120°，由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=25+25-2×5×5×(-1/2)=50+25=75，故BC=5√3。BD=2DC，故BD=(2/3)BC=(10√3)/3，DC=(5√3)/3。由旋轉(zhuǎn)△ABD≌△ACE，故CE=BD=(10√3)/3，∠ACE=∠ABD。在△ABC中，AB=AC=5，∠ABC=∠ACB=30°，故∠ACE=30°，∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°。在△DCE中，DC=(5√3)/3，CE=(10√3)/3，∠DCE=60°，由余弦定理DE2=DC2+CE2-2DC·CE·cos60°=((5√3)/3)2+((10√3)/3)22×(5√3/3)×(10√3/3)×1/2=(75/9)+(300/9)-(150/9)=225/9=25，故DE=5。由（1）知DE=√3AD，故AD=DE/√3=5/√3=5√3/3。△ADE的面積=1/2×AD×AE×sin120°=1/2×(5√3/3)2×(√3/2)=1/2×(75/9)×(√3/2)=(75√3)/36=25√3/12。（3）AD⊥CE，設(shè)垂足為K。由旋轉(zhuǎn)知∠ACE=∠ABD=30°（△ABC中∠ABC=30°），故CE的傾斜角為30°（以C為頂點(diǎn)）。AD⊥CE，故∠KDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°（因∠DCE=∠ACB+∠ACE=30°+30°=60°）。設(shè)BD=x，則DC=5√3-x，CE=BD=x。在△DCE中，由正弦定理DC/sin∠DEC=CE/sin∠CDE=DE/sin60°。因AD⊥CE，∠DKE=90°，而∠DAE=120°，AD=AE，故∠ADE=∠AED=30°，所以∠DEC=∠AED+∠AEC=30°+∠ABD=30°+30°=60°（因△ABD≌△ACE，∠AEC=∠ADB，而∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-∠BAD，∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=180°-30°-∠BAD（因∠CAE=∠BAD，旋轉(zhuǎn)角120°，∠BAC=120°，故∠BAD+∠CAD=120°，∠CAE+∠CAD=120°，故∠CAE=∠BAD）），因此∠DEC=60°，∠CDE=180°-60°-60°=60°，△DCE為等邊三角形，故DC=CE，即5√3-x=x→x=5√3/2，故BD=5√3/2。--第三題（圖3）（1）△PCQ為等邊三角形。證明：由旋轉(zhuǎn)知，PC=QC，∠PCQ=60°（旋轉(zhuǎn)角60°），故△PCQ為等邊三角形。（2）AP+PQ=AP+PC（因PQ=PC，△PCQ等邊）。在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，∠ABC=60°，故△ABC為等邊三角形，AC=AB=6。點(diǎn)P在BD上，AP+PC的最小值為AC的長度（當(dāng)P在AC與BD的交點(diǎn)時(shí)），但需驗(yàn)證是否符合條件。菱形對(duì)角線BD與AC垂直平分，設(shè)交點(diǎn)為O，則AO=3，BO=3√3（因AC=6，∠ABO=30°，BO=AB·cos30°=6×(√3/2)=3√3）。當(dāng)AP+PC最小時(shí)，P在AC上，即P=O，此時(shí)BP=BO=3√3。但需確認(rèn)旋轉(zhuǎn)后Q的位置是否滿足PQ=PC。因P=O，△PBC繞C旋轉(zhuǎn)60°，BC=6，∠BCP=30°（O為AC中點(diǎn)，∠ACB=60°，故∠BCP=30°），旋轉(zhuǎn)后Q點(diǎn)滿足CQ=CP=CO=3，∠PCQ=60°，故PQ=PC=3，AP+PQ=AO+PQ=3+3=6，確實(shí)為最小值。故BP=3√3。（3）連接CN，DQ。由旋轉(zhuǎn)△PBC≌△QDC，故DQ=BP，∠QDC=∠PBC。菱形中AD=AB=6，∠ADC=120°，M為AD中點(diǎn)，故AM=MD=3。N為PQ中點(diǎn)，△PCQ等邊，故CN⊥PQ（等邊三角形中線、高線重合），CN=(√3/2)PC。MN的長度可通過向量或坐標(biāo)系計(jì)算。以C為原點(diǎn)，CB為x軸，建立坐標(biāo)系：C(0,0)，B(6,0)，A(3,3√3)，D(-3,3√3)，BD的方程為y=(-√3/3)x+2√3（B(6,0)，D(-3,3√3)，斜率=(3√3-0)/(-3-6)=-√3/3）。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)在BD上，滿足y=(-√3/3)x+2√3。PC的長度=√(x2+y2)=√(x2+((-√3/3x+2√3)2)=√(x2+((1/3)x2-4x+12))=√((4/3)x2-4x+12)=√((4/3)(x2-3x)+12)=√((4/3)(x3/2)2+123)=√((4/3)(x3/2)2+9)，故PC≥3（當(dāng)x=3/2時(shí)，PC=3），PC≤6（當(dāng)P=B時(shí)，PC=6；P=D時(shí)，PC=√[(-3)^2+(3√3)^2]=√(9+27)=6）。N為PQ中點(diǎn)，Q由P旋轉(zhuǎn)60°得到，坐標(biāo)變換：P(x,y)繞C順時(shí)針轉(zhuǎn)60°，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(xcos60°+ysin60°,-xsin60°+ycos60°)=(x/2+(y√3)/2,(x√3)/2+y/2)。N點(diǎn)坐標(biāo)為[(x+x/2+(y√3)/2)/2,(y(x√3)/2+y/2)/2]=((3x+y√3)/4,(3yx√3)/4)。M點(diǎn)坐標(biāo)為AD中點(diǎn)，A(3,3√3)，D(-3,3√3)，故M(0,3√3)。MN的距離=√[((3x+y√3)/4-0)2+((3yx√3)/4-3√3)2]。代入y=(-√3/3)x+2√3，化簡得MN=√[((3x+(-√3/3x+2√3)√3)/4)2+((3(-√3/3x+2√3)-x√3)/4-3√3)2]=√[((3x-x+6)/4)2+((-√3x+6√3-x√3)/4-3√3)2]=√[((2x+6)/4)2+((-2√3x+6√3-12√3)/4)2]=√[((x+3)/2)2+((-2√3x-6√3)/4)2]=√[(x+3)2/4+((-2√3(x+3))/4)2]=√[(x+3)2/4+(3(x+3)2)/4]=√[(4(x+3)2)/4]=|x+3|。因P在BD上，x∈(-3,6)（D(-3,3√3)，B(6,0)），故x+3∈(0,9)，MN=|x+3|∈(0,9)。但需驗(yàn)證是否正確，當(dāng)P=B(6,0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(6/2+0×√3/2,-6×√3/2+0×1/2)=(3,-3√3)，PQ中點(diǎn)N=((6+3)/2,(0-3√3)/2)=(4.5,-1.5√3)，M(0,3√3)，MN=√[(4.5)^2+(-4.5√3)^2]=√[20.25+60.75]=√81=9；當(dāng)P=D(-3,3√3)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-3/2+(3√3×√3)/2,-(-3)×√3/2+(3√3)/2)=(-3/2+9/2,(3√3)/2+(3√3)/2)=(3,3√3)，PQ中點(diǎn)N=((-3+3)/2,(3√3+3√3)/2)=(0,3√3)，MN=0（但P不與D重合，故MN>0）；當(dāng)P為AC中點(diǎn)O(3/2,(√3/2)×3)（BD方程y=(-√3/3)x+2√3，當(dāng)x=3/2，y=(-√3/3)(3/2)+2√3=-√3/2