王道數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課件第八章單擊此處添加副標(biāo)題匯報人：XX目錄壹樹的概念與性質(zhì)貳二叉樹的定義與性質(zhì)叁二叉樹的遍歷肆二叉樹的實現(xiàn)伍平衡二叉樹陸堆與優(yōu)先隊列樹的概念與性質(zhì)章節(jié)副標(biāo)題壹樹的定義樹是由節(jié)點(diǎn)組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其中有一個特殊的節(jié)點(diǎn)稱為根節(jié)點(diǎn)，是樹的起始點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)樹中的節(jié)點(diǎn)通過邊相互連接，每個節(jié)點(diǎn)可以有零個或多個子節(jié)點(diǎn)，形成子樹結(jié)構(gòu)。邊與子樹沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為葉節(jié)點(diǎn)，它們位于樹結(jié)構(gòu)的末端，代表了樹的層級的結(jié)束。葉節(jié)點(diǎn)樹的性質(zhì)樹中每個節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)數(shù)目稱為該節(jié)點(diǎn)的度數(shù)，樹的度數(shù)是其所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)的最大值。節(jié)點(diǎn)的度數(shù)01020304樹的高度是指從根節(jié)點(diǎn)到最遠(yuǎn)葉子節(jié)點(diǎn)的最長路徑上的邊數(shù)，反映了樹的深度。樹的高度在樹結(jié)構(gòu)中，任意兩個節(jié)點(diǎn)的子樹互不相交，保證了樹的層次性和有序性。子樹的互異性樹中每個節(jié)點(diǎn)都有一個層次編號，根節(jié)點(diǎn)為第一層，其子節(jié)點(diǎn)為第二層，依此類推。節(jié)點(diǎn)的層次樹的術(shù)語節(jié)點(diǎn)的度是指節(jié)點(diǎn)擁有的子節(jié)點(diǎn)數(shù)，是衡量樹結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的基本指標(biāo)。節(jié)點(diǎn)的度樹的高度是指從根節(jié)點(diǎn)到最遠(yuǎn)葉子節(jié)點(diǎn)的最長路徑上的邊數(shù)，反映了樹的深度。樹的高度葉子節(jié)點(diǎn)是沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，位于樹的最底層，是樹結(jié)構(gòu)中的終止節(jié)點(diǎn)。葉子節(jié)點(diǎn)子樹是指樹中任意節(jié)點(diǎn)及其所有后代節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的樹，是樹結(jié)構(gòu)的基本組成單元。子樹二叉樹的定義與性質(zhì)章節(jié)副標(biāo)題貳二叉樹的定義完全二叉樹節(jié)點(diǎn)的定義0103在完全二叉樹中，除了最后一層外，每一層的節(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大，并且最后一層的節(jié)點(diǎn)都靠左排列。二叉樹由節(jié)點(diǎn)組成，每個節(jié)點(diǎn)最多有兩個子節(jié)點(diǎn)，分別稱為左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)。02二叉樹的節(jié)點(diǎn)按層級劃分，根節(jié)點(diǎn)位于第一層，其子節(jié)點(diǎn)位于第二層，以此類推。樹的層級二叉樹的性質(zhì)二叉樹中每個節(jié)點(diǎn)的度數(shù)不超過2，即每個節(jié)點(diǎn)最多有兩個子節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)的度數(shù)01在任何二叉樹中，葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)量總是比度為2的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量多一個。葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)量02完全二叉樹中，如果節(jié)點(diǎn)的層數(shù)為k，則節(jié)點(diǎn)總數(shù)最多為2^k-1。完全二叉樹的性質(zhì)03完全二叉樹與滿二叉樹完全二叉樹是除最后一層外，每一層的節(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大，并且最后一層的節(jié)點(diǎn)都靠左排列。01完全二叉樹的定義滿二叉樹是指每一層的節(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大，即每個內(nèi)部節(jié)點(diǎn)都有兩個子節(jié)點(diǎn)。02滿二叉樹的定義完全二叉樹的節(jié)點(diǎn)總數(shù)與高度之間的關(guān)系可以用來確定樹的深度，具有特定的數(shù)學(xué)表達(dá)式。03完全二叉樹的性質(zhì)完全二叉樹與滿二叉樹滿二叉樹的節(jié)點(diǎn)總數(shù)是2的冪次減1，即2^h-1，其中h是樹的高度。滿二叉樹的性質(zhì)01在計算機(jī)科學(xué)中，完全二叉樹用于實現(xiàn)優(yōu)先隊列和堆排序，而滿二叉樹則常用于平衡二叉樹的構(gòu)建。完全二叉樹與滿二叉樹的應(yīng)用02二叉樹的遍歷章節(jié)副標(biāo)題叁前序遍歷前序遍歷是一種深度優(yōu)先遍歷二叉樹的方法，先訪問根節(jié)點(diǎn)，然后遞歸地進(jìn)行左子樹和右子樹的前序遍歷。前序遍歷的定義通過遞歸函數(shù)實現(xiàn)前序遍歷，首先訪問根節(jié)點(diǎn)，然后對左子樹進(jìn)行前序遍歷，最后對右子樹進(jìn)行前序遍歷。前序遍歷的算法實現(xiàn)在編譯器設(shè)計中，前序遍歷用于表達(dá)式樹的求值，先處理運(yùn)算符，再處理操作數(shù)，符合運(yùn)算的順序。前序遍歷的應(yīng)用實例中序遍歷中序遍歷是一種遞歸遍歷二叉樹的方法，按照左子樹-根節(jié)點(diǎn)-右子樹的順序訪問每個節(jié)點(diǎn)。中序遍歷的定義中序遍歷算法通過遞歸函數(shù)實現(xiàn)，先遞歸遍歷左子樹，訪問根節(jié)點(diǎn)，再遞歸遍歷右子樹。中序遍歷的算法實現(xiàn)在二叉搜索樹中，中序遍歷可以按升序訪問所有節(jié)點(diǎn)，常用于排序和檢索數(shù)據(jù)。中序遍歷的應(yīng)用中序遍歷的時間復(fù)雜度為O(n)，其中n是二叉樹中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，空間復(fù)雜度取決于遞歸棧的深度。中序遍歷的復(fù)雜度分析后序遍歷后序遍歷定義后序遍歷是二叉樹遍歷的一種方式，先訪問左子樹，再訪問右子樹，最后訪問根節(jié)點(diǎn)。后序遍歷的應(yīng)用后序遍歷常用于刪除二叉樹、復(fù)制二叉樹等操作，因為它能保證子樹在根節(jié)點(diǎn)之前被處理。遞歸實現(xiàn)后序遍歷非遞歸實現(xiàn)后序遍歷通過遞歸函數(shù)，先遞歸遍歷左子樹，再遞歸遍歷右子樹，最后訪問根節(jié)點(diǎn)，完成后序遍歷。使用棧模擬遞歸過程，先將根節(jié)點(diǎn)入棧，然后依次將右子樹和左子樹入棧，最后依次訪問棧中元素。二叉樹的實現(xiàn)章節(jié)副標(biāo)題肆二叉樹的順序存儲滿二叉樹中，數(shù)組的前n個元素正好可以表示樹中的所有節(jié)點(diǎn)，其中n是樹中節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。滿二叉樹的存儲二叉樹的順序存儲通常使用數(shù)組來實現(xiàn)，每個節(jié)點(diǎn)在數(shù)組中的位置與其在樹中的層次和位置有關(guān)。數(shù)組表示法對于完全二叉樹，數(shù)組中索引為i的節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)索引為2i+1，右子節(jié)點(diǎn)索引為2i+2。完全二叉樹的存儲二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯γ總€節(jié)點(diǎn)包含數(shù)據(jù)域和兩個指向子節(jié)點(diǎn)的指針，分別指向左子樹和右子樹。節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義0102通過遞歸或迭代的方式，根據(jù)給定的節(jié)點(diǎn)值序列創(chuàng)建二叉樹的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)。創(chuàng)建二叉樹03實現(xiàn)前序、中序和后序遍歷，通過遞歸函數(shù)訪問每個節(jié)點(diǎn)并執(zhí)行相應(yīng)操作。遍歷操作實現(xiàn)樹、森林與二叉樹的轉(zhuǎn)換通過將樹的每個節(jié)點(diǎn)的左孩子作為二叉樹的左子樹，右孩子作為右子樹，可以將一般樹轉(zhuǎn)換為二叉樹。樹轉(zhuǎn)換為二叉樹01將森林中的每棵樹依次轉(zhuǎn)換為二叉樹，然后將第一棵樹的右子樹指向第二棵樹的根，以此類推，形成一個二叉樹序列。森林轉(zhuǎn)換為二叉樹02樹、森林與二叉樹的轉(zhuǎn)換01二叉樹轉(zhuǎn)換為樹從二叉樹的根節(jié)點(diǎn)開始，將左孩子和右孩子分別作為新樹的左右子樹，遞歸地進(jìn)行轉(zhuǎn)換，直到所有節(jié)點(diǎn)處理完畢。02二叉樹轉(zhuǎn)換為森林將二叉樹的根節(jié)點(diǎn)作為森林中第一棵樹的根，然后遞歸地將根的右子樹作為下一棵樹的根，直到?jīng)]有右子樹為止。平衡二叉樹章節(jié)副標(biāo)題伍平衡二叉樹的概念平衡二叉樹是一種特殊的二叉搜索樹，任何節(jié)點(diǎn)的兩個子樹的高度差不超過1。定義與特性平衡因子是指節(jié)點(diǎn)左子樹與右子樹的高度差，平衡二叉樹的平衡因子只可能是-1、0或1。平衡因子AVL樹是最著名的平衡二叉樹之一，通過旋轉(zhuǎn)操作維持樹的平衡，確保查詢效率。AVL樹實例AVL樹的定義與性質(zhì)AVL樹是一種自平衡二叉搜索樹，任何節(jié)點(diǎn)的兩個子樹的高度差不超過1。01AVL樹中每個節(jié)點(diǎn)的平衡因子只可能是-1、0或1，用于維護(hù)樹的平衡狀態(tài)。02為了保持平衡，AVL樹在插入或刪除節(jié)點(diǎn)后可能需要進(jìn)行單旋轉(zhuǎn)或雙旋轉(zhuǎn)操作。03在AVL樹中插入或刪除節(jié)點(diǎn)后，需要通過旋轉(zhuǎn)操作來調(diào)整樹的平衡，保證其高效性。04AVL樹的定義平衡因子旋轉(zhuǎn)操作節(jié)點(diǎn)插入與刪除AVL樹的旋轉(zhuǎn)操作01單旋轉(zhuǎn)分為左單旋轉(zhuǎn)和右單旋轉(zhuǎn)，用于處理單側(cè)子樹過高的情況，保持樹的平衡。02雙旋轉(zhuǎn)包括左-右雙旋轉(zhuǎn)和右-左雙旋轉(zhuǎn)，適用于節(jié)點(diǎn)的兩個子樹高度差超過1時，通過兩次旋轉(zhuǎn)恢復(fù)平衡。單旋轉(zhuǎn)操作雙旋轉(zhuǎn)操作堆與優(yōu)先隊列章節(jié)副標(biāo)題陸堆的定義與性質(zhì)堆的表示方法堆的定義03堆通常用數(shù)組來表示，對于數(shù)組中的任意元素，其索引為i，則其左子節(jié)點(diǎn)索引為2i+1，右子節(jié)點(diǎn)索引為2i+2。堆的性質(zhì)01堆是一種特殊的完全二叉樹，每個節(jié)點(diǎn)的值都大于或等于其子節(jié)點(diǎn)的值，用于實現(xiàn)優(yōu)先隊列。02堆中任意節(jié)點(diǎn)的值都滿足堆性質(zhì)，即父節(jié)點(diǎn)的值總是大于或等于其子節(jié)點(diǎn)的值。堆的操作04堆的基本操作包括插入元素、刪除堆頂元素和調(diào)整堆，這些操作保證了堆的性質(zhì)不被破壞。堆的實現(xiàn)數(shù)組表示法堆通常使用數(shù)組來實現(xiàn)，父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)的關(guān)系通過簡單的索引計算來確定。刪除操作從堆中刪除元素時，通常用數(shù)組最后一個元素替換根節(jié)點(diǎn)，然后通過堆化過程恢復(fù)堆的性質(zhì)。堆化過程插入操作堆化是構(gòu)建堆的關(guān)鍵步驟，包括上堆化（percolateup）和下堆化（percolatedown）兩種操作。向堆中插入新元素時，先將其添加到數(shù)組末尾，然后通