一、溫故知新：從“舊性質(zhì)”到“新問(wèn)題”演講人CONTENTS溫故知新：從“舊性質(zhì)”到“新問(wèn)題”深入探究：不等式基本性質(zhì)（二）的推導(dǎo)與驗(yàn)證應(yīng)用提升：從“性質(zhì)”到“解題”的轉(zhuǎn)化鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，強(qiáng)化理解總結(jié)升華：從“知識(shí)”到“思維”的跨越目錄2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)不等式基本性質(zhì)（二）課件各位同學(xué)、老師們，大家好。今天我們要共同探索不等式基本性質(zhì)的第二部分內(nèi)容。作為一線數(shù)學(xué)教師，我清晰記得去年帶七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)這一章節(jié)時(shí)，孩子們從“等式性質(zhì)”遷移到“不等式性質(zhì)”時(shí)的困惑與突破——尤其是當(dāng)涉及乘除運(yùn)算時(shí)，不等號(hào)方向是否改變的問(wèn)題，曾讓不少同學(xué)反復(fù)出錯(cuò)。今天，我們就從已有的知識(shí)出發(fā)，一步步揭開(kāi)“不等式基本性質(zhì)（二）”的面紗，讓大家不僅“知其然”，更“知其所以然”。01溫故知新：從“舊性質(zhì)”到“新問(wèn)題”1回顧不等式基本性質(zhì)（一）在上一節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的第一條基本性質(zhì)：不等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是：若(a>b)，則(a+c>b+c)（或(a-c>b-c)）；若(a<b)，則(a+c<b+c)（或(a-c<b-c)）。為了驗(yàn)證這個(gè)性質(zhì)，我們?cè)镁唧w的數(shù)值舉例：比如(5>3)，兩邊同時(shí)加2，得到(7>5)，不等號(hào)方向不變；兩邊同時(shí)減4，得到(1>-1)，方向依然不變。這說(shuō)明“加減運(yùn)算”不會(huì)改變不等式的方向，就像往兩個(gè)杯子里同時(shí)倒入或倒出相同量的水，原本水位高的杯子依然更高。1回顧不等式基本性質(zhì)（一）現(xiàn)在，我們遇到了新的挑戰(zhàn)：如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)進(jìn)行乘法或除法運(yùn)算，不等號(hào)的方向還會(huì)保持不變嗎？這是今天要解決的核心問(wèn)題。010203041.2提出新問(wèn)題：乘除運(yùn)算會(huì)改變不等號(hào)方向嗎？舉個(gè)生活中的例子：小明和小紅各有一些零花錢，小明有10元，小紅有8元（即(10>8)）。如果媽媽給兩人的零花錢都乘以3倍（即同時(shí)乘3），小明變成30元，小紅變成24元，此時(shí)(30>24)，不等號(hào)方向不變；如果兩人都花掉一半的錢（即同時(shí)除以2），小明剩5元，小紅剩4元，此時(shí)(5>4)，方向還是不變；1回顧不等式基本性質(zhì)（一）但如果遇到“欠賬”的情況：兩人都欠了3倍的錢（即同時(shí)乘-3），小明欠30元（記為-30），小紅欠24元（記為-24），此時(shí)(-30<-24)，不等號(hào)方向反轉(zhuǎn)了！這說(shuō)明，乘除運(yùn)算的結(jié)果可能與乘除的“數(shù)的符號(hào)”有關(guān)——正數(shù)和負(fù)數(shù)會(huì)帶來(lái)不同的影響。接下來(lái)，我們就通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)探究來(lái)驗(yàn)證這一猜想。02深入探究：不等式基本性質(zhì)（二）的推導(dǎo)與驗(yàn)證1探究1：兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)正數(shù)0504020301我們先選取幾個(gè)具體的不等式，觀察兩邊同時(shí)乘以正數(shù)后的變化：案例1：已知(4>2)，兩邊同時(shí)乘3，得到(12>6)（不等號(hào)方向不變）；案例2：已知(-3<-1)，兩邊同時(shí)乘2，得到(-6<-2)（方向不變）；案例3：已知(5>0)，兩邊同時(shí)乘(\frac{1}{2})（即除以2），得到(2.5>0)（方向不變）。再用代數(shù)符號(hào)表示一般情況：設(shè)(a>b)，且(c>0)，那么(ac)與(bc)的大小關(guān)系如何？1探究1：兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)正數(shù)我們可以用“作差法”驗(yàn)證：(ac-bc=c(a-b))。因?yàn)?a>b)，所以(a-b>0)；又因?yàn)?c>0)，所以(c(a-b)>0)，即(ac-bc>0)，因此(ac>bc)。由此可得第一條新性質(zhì)：不等式基本性質(zhì)（二）：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。符號(hào)表示：若(a>b)且(c>0)，則(ac>bc)（或(\frac{a}{c}>\frac{c})）；若(a<b)且(c>0)，則(ac<bc)（或(\frac{a}{c}<\frac{c})）。2探究2：兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)負(fù)數(shù)接下來(lái)，我們研究負(fù)數(shù)的情況。同樣用具體案例觀察：案例4：已知(4>2)，兩邊同時(shí)乘-3，得到(-12<-6)（不等號(hào)方向反轉(zhuǎn)）；案例5：已知(-3<-1)，兩邊同時(shí)乘-2，得到(6>2)（方向反轉(zhuǎn)）；案例6：已知(5>0)，兩邊同時(shí)除以-5（即乘(-\frac{1}{5})），得到(-1<0)（方向反轉(zhuǎn)）。同樣用代數(shù)符號(hào)驗(yàn)證：設(shè)(a>b)，且(c<0)，那么(ac)與(bc)的大小關(guān)系如何？2探究2：兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)負(fù)數(shù)作差法：(ac-bc=c(a-b))。因?yàn)?a>b)，所以(a-b>0)；但(c<0)，所以(c(a-b)<0)，即(ac-bc<0)，因此(ac<bc)。這說(shuō)明，當(dāng)乘（或除）的數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向會(huì)反轉(zhuǎn)。于是我們得到第二條新性質(zhì)：不等式基本性質(zhì)（三）：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。符號(hào)表示：若(a>b)且(c<0)，則(ac<bc)（或(\frac{a}{c}<\frac{c})）；若(a<b)且(c<0)，則(ac>bc)（或(\frac{a}{c}>\frac{c})）。3關(guān)鍵辨析：性質(zhì)（二）與（三）的區(qū)別與聯(lián)系為了避免混淆，我們需要明確兩個(gè)性質(zhì)的核心差異：相同點(diǎn)：都是對(duì)不等式兩邊進(jìn)行乘（或除）運(yùn)算；不同點(diǎn)：乘（或除）的數(shù)的符號(hào)決定了不等號(hào)是否變向——正數(shù)不變向，負(fù)數(shù)必變向。這里有一個(gè)常見(jiàn)的誤區(qū)：有些同學(xué)會(huì)忽略“乘除的數(shù)是否為0”。需要強(qiáng)調(diào)的是，不等式兩邊不能同時(shí)乘（或除）0，因?yàn)?乘任何數(shù)都為0，會(huì)導(dǎo)致不等式失去意義（例如(5>3)兩邊乘0，得到(0=0)，原不等式不再成立）。因此，性質(zhì)（二）和（三）的前提是“乘（或除）的數(shù)不為0”。03應(yīng)用提升：從“性質(zhì)”到“解題”的轉(zhuǎn)化1基礎(chǔ)例題：直接應(yīng)用性質(zhì)判斷不等號(hào)方向例1：判斷下列變形是否正確，并說(shuō)明理由：（1）若(3x>6)，則(x>2)（兩邊除以3）；（2）若(-2x<4)，則(x<-2)（兩邊除以-2）；（3）若(\frac{a}{-5}>2)，則(a>-10)（兩邊乘-5）。分析與解答：（1）正確。兩邊除以正數(shù)3，不等號(hào)方向不變，(3x\div3>6\div3)，即(x>2)；（2）錯(cuò)誤。兩邊除以負(fù)數(shù)-2，不等號(hào)方向應(yīng)改變，正確結(jié)果應(yīng)為(x>-2)；1基礎(chǔ)例題：直接應(yīng)用性質(zhì)判斷不等號(hào)方向（3）錯(cuò)誤。兩邊乘負(fù)數(shù)-5，不等號(hào)方向應(yīng)改變，正確結(jié)果應(yīng)為(a<-10)（原式(\frac{a}{-5}>2)兩邊乘-5，得(a<-10)）。通過(guò)這道題，我們要特別注意：當(dāng)乘（或除）的數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，必須先改變不等號(hào)方向，再進(jìn)行計(jì)算。2綜合例題：結(jié)合性質(zhì)（一）與（二）解不等式例2：解不等式(2(1-x)+3\leq5x-4)，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。解題步驟：去括號(hào)：(2-2x+3\leq5x-4)（依據(jù)：分配律）；合并同類項(xiàng)：(5-2x\leq5x-4)（依據(jù)：加法交換律）；移項(xiàng)（兩邊加2x和4）：(5+4\leq5x+2x)（依據(jù)：性質(zhì)（一），兩邊同時(shí)加2x和4，不等號(hào)方向不變）；合并同類項(xiàng)：(9\leq7x)；系數(shù)化為1（兩邊除以7）：(\frac{9}{7}\leqx)（即(x\geq\frac{9}{7})，依據(jù)：性質(zhì)（二），除以正數(shù)7，方向不變）。2綜合例題：結(jié)合性質(zhì)（一）與（二）解不等式數(shù)軸表示：在數(shù)軸上找到(\frac{9}{7})（約1.29），畫(huà)實(shí)心點(diǎn)，向右畫(huà)射線，表示所有大于等于(\frac{9}{7})的數(shù)。這道題綜合應(yīng)用了不等式的加減性質(zhì)（性質(zhì)一）和乘除性質(zhì)（性質(zhì)二），需要注意每一步變形的依據(jù)，避免因疏忽符號(hào)而犯錯(cuò)。3易錯(cuò)警示：學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)誤分析根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在應(yīng)用性質(zhì)（二）和（三）時(shí)，最容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：忘記變號(hào)：當(dāng)除以負(fù)數(shù)時(shí)，仍保持原不等號(hào)方向（如例1中的（2））；忽略分母的符號(hào)：在處理分?jǐn)?shù)形式的不等式時(shí)，未注意分母的正負(fù)（如例1中的（3））；錯(cuò)誤移項(xiàng)：移項(xiàng)時(shí)忘記“移正變負(fù)，移負(fù)變正”（本質(zhì)是應(yīng)用性質(zhì)（一），但部分同學(xué)會(huì)與等式移項(xiàng)混淆）。針對(duì)這些問(wèn)題，建議大家在解題時(shí)養(yǎng)成“標(biāo)注符號(hào)”的習(xí)慣：在乘（或除）的數(shù)旁標(biāo)注“正”或“負(fù)”，提醒自己是否需要變號(hào)；在移項(xiàng)時(shí)，用箭頭標(biāo)出每一步的依據(jù)（如“+2x”“-4”），確保邏輯清晰。04鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，強(qiáng)化理解1基礎(chǔ)題（面向全體學(xué)生）填空：（1）若(-3a>6)，則(a)（依據(jù)：）；（2）若(\frac{x}{2}<-5)，則(x)（依據(jù)：）；（3）若(5b<-10)，則(b)（依據(jù)：）。判斷正誤：（1）若(a>b)，則(-2a>-2b)（）；（2）若(\frac{m}{-3}<n)，則(m>-3n)（）；（3）若(-4c\leq8)，則(c\geq-2)（）。2提升題（面向中等及以上學(xué)生）解不等式(-2(3x-1)>4x+5)，并寫(xiě)出所有負(fù)整數(shù)解。已知(3a-2b>3c-2b)，比較(a)和(c)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。3拓展題（面向?qū)W有余力學(xué)生）若不等式((k-2)x>1)的解集為(x<\frac{1}{k-2})，求(k)的取值范圍。（提示：考慮不等號(hào)方向改變的條件）（答案與解析見(jiàn)課件附錄，此處可留出5-8分鐘讓學(xué)生自主完成，教師巡視指導(dǎo)，重點(diǎn)關(guān)注基礎(chǔ)題的易錯(cuò)點(diǎn)和提升題的邏輯推導(dǎo)。）05總結(jié)升華：從“知識(shí)”到“思維”的跨越1核心知識(shí)回顧今天我們學(xué)習(xí)了不等式基本性質(zhì)（二）和（三），核心內(nèi)容可總結(jié)為：性質(zhì)（二）：兩邊乘（或除）正數(shù)，不等號(hào)方向不變；性質(zhì)（三）：兩邊乘（或除）負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變；關(guān)鍵前提：乘（或除）的數(shù)不能為0，且需注意符號(hào)對(duì)方向的影響。這兩條性質(zhì)與之前學(xué)的性質(zhì)（一）（加減性質(zhì)）共同構(gòu)成了不等式變形的“三大法則”，是后續(xù)解一元一次不等式、分析實(shí)際問(wèn)題中不等關(guān)系的基礎(chǔ)。2思維方法提煉通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們不僅要記住性質(zhì)本身，更要掌握“從特殊到一般”的歸納思維——通過(guò)具體案例觀察規(guī)律，再用代數(shù)符號(hào)驗(yàn)證一般情況；同時(shí)，“分類討論”的思想也貫穿始終（正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的不同影響）。這些思維方法將幫助我們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中更高效地探索新的數(shù)學(xué)規(guī)律。3情感激勵(lì)回想起同學(xué)們?cè)谔骄俊俺素?fù)數(shù)是否變號(hào)”時(shí)的爭(zhēng)論：有的同學(xué)堅(jiān)持“等式乘任何數(shù)都不變號(hào)，不等式也一樣”，有的同學(xué)通過(guò)具體例子反駁“5>3，乘-1后-5<-3，方向變了”。這種“質(zhì)疑—驗(yàn)證—修正”的過(guò)程，正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力所在。希望大家保持這種嚴(yán)謹(jǐn)