2025年大三（統(tǒng)計(jì)學(xué)）數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)試卷

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本卷共6題，每題5分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?為來自總體X的樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則下列說法正確的是（）A.X?服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)B.(n-1)S2/σ2服從自由度為n-1的χ2分布C.X?與S2相互獨(dú)立D.以上都不對(duì)答案：B2.對(duì)于參數(shù)估計(jì)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)的具體數(shù)值B.區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍C.無偏性是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)D.有效性是指兩個(gè)無偏估計(jì)量中方差較小的更有效，與樣本容量無關(guān)答案：D3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，關(guān)于原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?，下列說法正確的是（）A.H?和H?是相互對(duì)立的B.檢驗(yàn)結(jié)果若拒絕H?，則一定接受H?C.H?一定是關(guān)于總體參數(shù)的等式假設(shè)D.原假設(shè)的選取是隨意的答案：A4.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，X?,X?,…,X?為樣本，則θ的矩估計(jì)量為（）A.2X?B.X?C.X?/2D.nX?答案：A5.若總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，已知樣本容量n=16，樣本均值X?=50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=4，則μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（）（注：t?.???(15)=2.131）A.(47.869,52.131)B.(48.032,51.968)C.(47.921,52.079)D.(48.156,51.844)答案：A6.在一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，關(guān)于回歸系數(shù)β?的檢驗(yàn)，通常采用的檢驗(yàn)方法及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.F檢驗(yàn)，F(xiàn)=(SSR/1)/(SSE/(n-2))B.t檢驗(yàn)，t=(β??-β?)/Sβ??C.χ2檢驗(yàn)，χ2=(n-2)SSR/SSED.以上都不對(duì)答案：B第II卷（非選擇題共70分）填空題（共20分）答題要求：本卷共4題，請(qǐng)將正確答案填在題中的橫線上。1.設(shè)總體X服從泊松分布P(λ)，X?,X?,…,X?為樣本，則樣本均值X?的數(shù)學(xué)期望E(X?)=______，方差D(X?)=______。答案：λ，λ/n2.已知樣本X?,X?,…,X?來自總體X，且E(X)=μ，D(X)=σ2，則樣本方差S2=______。答案：1/(n-1)∑????(X?-X?)23.在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)原假設(shè)H?為真時(shí)，拒絕H?的概率稱為______，記為______。答案：顯著性水平，α4.對(duì)于一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，若已知β??為β?的最小二乘估計(jì)，則β??=______。答案：(∑????(X?-X?)(Y?-Y?))/(∑????(X?-X?)2)簡答題（共15分）答題要求：本卷共3題，請(qǐng)簡要回答問題。1.簡述點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。答案：點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)主要有無偏性、有效性、一致性。無偏性是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)；有效性是指在多個(gè)無偏估計(jì)量中，方差較小的更有效；一致性是指隨著樣本容量的增大，估計(jì)量依概率收斂于被估計(jì)的總體參數(shù)。2.說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟為：提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；確定顯著性水平α；根據(jù)樣本值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；作出決策，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落入拒絕域，則拒絕H?，否則接受H?。3.簡述一元線性回歸模型中回歸系數(shù)β?和β?的最小二乘估計(jì)的原理。答案：最小二乘估計(jì)的原理是使得殘差平方和最小。對(duì)于一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，通過對(duì)β?和β?求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，得到方程組，解方程組得到β??和β??的表達(dá)式，使得∑????(Y?-β??-β??X?)2最小，從而確定β?和β?的估計(jì)值。計(jì)算題（共20分）答題要求：本卷共2題，請(qǐng)寫出詳細(xì)的計(jì)算過程。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,1)，X?,X?,X?為樣本，試求Y=(X?+X?)2+(X?+X?)2+(X?+X?)2服從的分布。解：因?yàn)閄?,X?,X?服從N(0,1)且相互獨(dú)立。X?+X?服從N(0,2)，則(X?+X?)/√2服從N(0,1)，((X?+X?)/√2)2服從自由度為1的χ2分布。同理(X?+X?)/√2服從N(0,1)，((X?+X?)/√2)2服從自由度為1的χ2分布；(X?+X?)/√2服從N(0,1)，((X?+X?)/√2)2服從自由度為1的χ2分布。又因?yàn)?X?+X?)/√2，(X?+X?)/√2，(X?+X?)/√2相互獨(dú)立，根據(jù)χ2分布的可加性，Y=(X?+X?)2+(X?+X?)2+(X?+X?)2服從自由度為3的χ2分布。2.已知樣本數(shù)據(jù)如下：|X|1|2|3|4|5||----|----|----|----|----|----||Y|2|4|6|8|10|求一元線性回歸方程。解：首先計(jì)算X?=(1+2+3+4+5)/5=3，Y?=(2+4+6+8+10)/5=6。∑????(X?-X?)(Y?-Y?)=(1-3)(2-6)+(2-3)(4-6)+(3-3)(6-6)+(4-3)(8-6)+(5-3)(10-6)=(-2)×(-4)+(-1)×(-2)+0+1×2+2×4=8+2+0+2+8=20?！????(X?-X?)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=4+1+0+1+4=10。則β??=(∑????(X?-X?)(Y?-Y?))/(∑????(X?-X?)2)=20/10=2。β??=Y?-β??X?=6-2×3=0。所以一元線性回歸方程為Y?=2X。綜合題（共15分）答題要求：本卷共1題，請(qǐng)結(jié)合材料進(jìn)行分析解答。材料：某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)得樣本均值X?=12，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=2。（1）求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間（注：t?.???(24)=2.064）。（2）若已知該產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的國家標(biāo)準(zhǔn)為μ?=10，在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)。解：（1）μ的置信水平為α=0.05的置信區(qū)間為：X?±tα/?(n-1)S/√n=12±2.064×2/√25=12±0.8256=(11.1744,12.825