高數(shù)上冊期末考試及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.當(dāng)\(x\to0\)時，與\(x\)是等價無窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)是\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設(shè)\(y=x^n\)，則\(y^{(n)}=\)（）A.\(n!\)B.\(0\)C.\(n^{n}\)D.\(n\)5.曲線\(y=x^3-3x\)的拐點是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.\((0,-3)\)6.\(\int\frac{1}{x^2}dx=\)（）A.\(\frac{1}{x}+C\)B.\(-\frac{1}{x}+C\)C.\(\frac{2}{x^3}+C\)D.\(-\frac{2}{x^3}+C\)7.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(3\)8.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\frac1rpjft1{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=\)（）A.\(f(a)\)B.\(f(x)\)C.\(f(b)\)D.\(0\)9.若函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點（）A.連續(xù)B.可微C.有極限D(zhuǎn).以上都不對10.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.不存在D.\(\infty\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3+1\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的等價條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)B.極限\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在C.函數(shù)在該點連續(xù)D.函數(shù)在該點有定義4.下列函數(shù)中，是同一函數(shù)的原函數(shù)的有（）A.\(F_1(x)=\lnx\)B.\(F_2(x)=\ln(2x)\)C.\(F_3(x)=\lnx+C\)D.\(F_4(x)=\lnx^2\)5.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計算的有（）A.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{0}^{1}xdx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)D.\(\int_{0}^{2}\frac{1}{(x-1)^2}dx\)6.曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,y_0)\)處的切線方程為（）A.\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)B.\(y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)（\(f'(x_0)\neq0\)）C.\(x-x_0=f'(y_0)(y-y_0)\)D.當(dāng)\(f'(x_0)=0\)時，切線方程為\(y=y_0\)7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)連續(xù)B.偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)存在C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)D.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)8.下列極限計算正確的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)9.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.函數(shù)\(y=f(x)\)為多項式函數(shù)10.下列說法正確的有（）A.函數(shù)的極值點一定是駐點B.駐點不一定是極值點C.函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，則該點為駐點D.函數(shù)的最值點一定是極值點三、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有界，則\(f(x)\)在\(I\)上一定有最大值和最小值。（）2.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f'(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點。（）5.不定積分\(\intf(x)dx\)的結(jié)果是唯一的。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量\(x\)的選取無關(guān)。（）7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。（）8.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)不存在。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上是單調(diào)遞減的。（）10.曲線\(y=x^3\)的凹凸性在整個定義域內(nèi)不變。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：先將函數(shù)化為\(y=x+\frac{1}{x}\)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得\(y^\prime=1-\frac{1}{x^2}\)。2.計算不定積分\(\intxe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((1,2)\)處的偏導(dǎo)數(shù)。-答案：對\(x\)求偏導(dǎo)，把\(y\)看作常數(shù)，\(z_x=2x\)，將\((1,2)\)代入得\(z_x(1,2)=2\)；對\(y\)求偏導(dǎo)，把\(x\)看作常數(shù)，\(z_y=2y\)，代入得\(z_y(1,2)=4\)。4.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\)。-答案：當(dāng)\(x\to0\)時，\(e^{2x}-1\)與\(2x\)是等價無窮小，所以\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與間斷點。-答案：對\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，\(x\neq1\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。\(x=1\)是間斷點，因為在該點函數(shù)無定義。2.試討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計算常通過不定積分找到原函數(shù)，再用牛頓-萊布尼茨公式求值。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，有積分上下限，與積分區(qū)間有關(guān)。3.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，可微、偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)之間有怎樣的關(guān)系？-答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)能推出可微；但偏導(dǎo)數(shù)存在推不出連續(xù)，連續(xù)也推不出偏導(dǎo)數(shù)存在，更推不出可微。4.舉例說明如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，并闡述其幾何意義。-答案：如\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，\(y^{\prime\prime}=2>0\)，函數(shù)在\(R\)上是凹的。幾何意義是曲線位于其每一點切線的上方。若\(y^{\prim