2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第一章數(shù)與式1.2整式與因式分解知識(shí)梳理知識(shí)梳理代數(shù)式定義用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算符號(hào)包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.【注意】代數(shù)式式數(shù)或字母之間的運(yùn)算關(guān)系，代數(shù)式中只能含運(yùn)算符號(hào)，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關(guān)系符號(hào).列代數(shù)式的常用方法①直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式；②公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式；③探究規(guī)律法：將一組數(shù)或一組圖形的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來.求代數(shù)式的值1．一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果就叫做代數(shù)式的值．2．求代數(shù)式的值的基本步驟：①代入：一般情況下，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代入；②計(jì)算：按代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果．整式的相關(guān)概念單項(xiàng)式由或相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式．一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的．多項(xiàng)式由幾個(gè)組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的，不含字母的項(xiàng)叫做．整式統(tǒng)稱為整式．同類項(xiàng)多項(xiàng)式中，所含相同，并且也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)，所得的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)。整式運(yùn)算整式的加減①整式的加減其實(shí)就是合并同類項(xiàng)；②整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．冪的運(yùn)算同底數(shù)冪乘法am·an＝am+n（a≠0）同底數(shù)冪除法am÷an＝am-n(m，n是正整數(shù))冪的乘方(am)n＝amn（a≠0）積的乘方(ab)n＝anbn整式的乘法①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式(a+b)2＝a2+2ab＋b2(a-b)2＝a2-2ab＋b2變形式：a2＋b2＝(a+b)2－2ab=(a-b)2+2ab(a-b)2＝(a+b)2－4ab整式的除法①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.因式分解概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)的形式，叫做因式分解．因式分解與是互逆變形．因式分解方法提公因式法ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的運(yùn)用）公式法①運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.因式分解的步驟一提（提公因式法）二套（平方差公式、完全平方公式與十字相乘）三分（四項(xiàng)及以上選擇分組法）例題講解例題講解【題型一】列代數(shù)式及求值【例1.1】（2025?長(zhǎng)沙）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人．某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘采摘10個(gè)蘋果．若該機(jī)器人搭載m個(gè)機(jī)械手（m＞1），則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋果個(gè)數(shù)為（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m【例1.2】（2025?仙居縣二模）如果代數(shù)式x2﹣2x+5的值為3，那么代數(shù)式2x﹣x2的值等于（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【例1.3】（2025?蕭山區(qū)一模）已知2x+1＝﹣2，則代數(shù)式2x2+x﹣1的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【題型二】整式的有關(guān)概念【例2.1】（2023?衢州二模）單項(xiàng)式﹣3a的系數(shù)是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣3a【例2.2】（2023?諸暨市模擬）下列每組中的兩個(gè)代數(shù)式，屬于同類項(xiàng)的是（）A．7a2b和3ab2B．和﹣2x2yC．x2yz和x2yD．3x2和3y2【例2.3】（2025?雅安）已知2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同類項(xiàng)，則nm＝．【題型三】整式的運(yùn)算【例3.1】（2025?湖州一模）下列計(jì)算正確的是（）A．3a+2a＝5a2B．3a2﹣2a＝aC．3a+2b＝5abD．3ab﹣ba＝2ab【例3.2】（2025?溫州一模）a2?（﹣a3）的計(jì)算結(jié)果是（）A．a(chǎn)6 B．﹣a6 C．a(chǎn)5 D．﹣a5【例3.3】（2025?慶元縣一模）下列運(yùn)算正確的是（）A．m2+m3＝m5B．m6÷m2＝m3C．（2m3）2＝4m5D．m2?m3＝m5【例3.4】（2025?諸暨市三模）下列式子中，正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（3ab2）3＝9a3b6C．（a2b）3÷（﹣ab）2＝a4bD．（a﹣2）2＝a2﹣4【例3.5】（2025?浙江模擬）計(jì)算2a2?（﹣3a3）的結(jié)果是（）A．﹣6a5 B．6a5 C．﹣2a6 D．2a6【例3.6】（2024?德陽）若一個(gè)多項(xiàng)式加上y2+3xy﹣4，結(jié)果是3xy+2y2﹣5，則這個(gè)多項(xiàng)式為．【例3.7】（2025?玉環(huán)市二模）下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣bB．x（x﹣2）＝x2﹣2C．（a+b）2＝a2+b2D．（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1【例3.8】（2025?哈爾濱）定義新運(yùn)算：a?b＝2ab﹣b2，則（3n）?（2n）的運(yùn)算結(jié)果是．【題型四】整式的化簡(jiǎn)求值【例4.1】（2025?金東區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中．【例4.2】（2025?樂山）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）2+3x（x﹣2），其中x＝．【例4.3】（2025?湖南）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．【題型五】因式分解【例5.1】（2025?浙江模擬）下列因式分解中，正確的是（）A．a(chǎn)b﹣4a+1＝a（b﹣4）+1 B．﹣a2+b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b） C．a(chǎn)2﹣2ab+4b2＝（a﹣2b）2 D．﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2【例5.2】（2025?舟山三模）因式分解：x2﹣2025x＝．【例5.3】（2025?衢州一模）因式分解：＝（）A．B．C．D．【例5.4】（2025?鹿城區(qū)二模）分解因式：a2+10a+25＝．【例5.5】（2025?杭州模擬）因式分解：ax2﹣4axy+4ay2＝．【題型六】數(shù)式的規(guī)律探究【例6.1】（2025?浙江模擬）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【例6.2】（2025?重慶）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖中有4個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖中有8個(gè)圓點(diǎn)，第③個(gè)圖中有12個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖中有16個(gè)圓點(diǎn)，…，按照這一規(guī)律，則第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．32 B．28 C．24 D．20真題在線真題在線1．（2023?麗水）計(jì)算a2+2a2的正確結(jié)果是（）A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a42．（2023?湖州）計(jì)算a3?a的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)4 D．a(chǎn)53．（2025?溫州模擬）計(jì)算（2x8）÷（4x2）的結(jié)果是（）A．2x4 B．2x6 C． D．4．（2024?浙江）下列式子運(yùn)算正確的是（）A．x3+x2＝x5 B．x3?x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x45．（2025?普陀區(qū)三模）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣3ab2）2＝9a2b4B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a2﹣a2＝3D．a(chǎn)6÷a3＝a26．（2025?普陀區(qū)三模）小宜跟同學(xué)在某餐廳吃飯，如圖為此餐廳的菜單，若他們所點(diǎn)的餐總共為15份意大利面，x杯飲料，y份沙拉，則他們點(diǎn)了幾份A餐（）A餐：一份意大利面B餐：一份意大利面加一杯飲料C餐：一份意大利面加一杯飲料與一份沙拉A．15﹣x B．15﹣y C．15﹣x﹣y D．15﹣x+y7．（2025?金華模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4B．a(chǎn)3?a2＝a6C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a(chǎn)3?（﹣a）2＝a58．（2025?寧波模擬）已知b≥0，3a﹣b＝4，2a﹣b+c＝0，下面結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)﹣c＝﹣4 B．b﹣2c＝8 C． D．9．（2025?永嘉縣三模）若a，b是正整數(shù)，且滿足3a+3a+3a＝9b×9b，則a與b的關(guān)系正確的是（）A．3a＝2b B．a(chǎn)+1＝4b C．a(chǎn)+1＝b2 D．a(chǎn)+1＝b410．（2025?蕭山區(qū)模擬）在學(xué)習(xí)過程中，甲同學(xué)認(rèn)為：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同學(xué)認(rèn)為：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．請(qǐng)對(duì)兩位同學(xué)的說法進(jìn)行判斷（）A．僅甲正確B．僅乙正確C．甲、乙都正確D．甲、乙都不正確11．（2024?浙江）因式分解：a2﹣7a＝．12．（2023?麗水）分解因式：x2﹣9＝．13．（2025?煙臺(tái)）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝．14．（2025?浙江模擬）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，則m2+n2＝．15．（2025?浙江）【文化欣賞】我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中記載的二項(xiàng)和的乘方（a+b）n展開式的系數(shù)規(guī)律如圖所示，其中“三乘”對(duì)應(yīng)的展開式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【應(yīng)用體驗(yàn)】已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，則m的值為．16．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長(zhǎng)作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．17．（2025?浙江）化簡(jiǎn)求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．18．（2025?衢州模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝．19．（2025?浙江模擬）小明的一道習(xí)題解答過程如下：（1）小明解答正確嗎？若不正確，他是從第步開始出錯(cuò)的，請(qǐng)你給出完整的正確計(jì)算過程．（2）當(dāng)m＝1，n＝﹣3時(shí)，求此代數(shù)式的值．20．（2023?浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）寫出192﹣172的結(jié)果；（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；（3）請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．21．（2024?浙江模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“⊕”，規(guī)定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0．（1）求3⊕5的值；（2）若x為某一個(gè)實(shí)數(shù)，記x⊕3的值為m，1⊕（2﹣x）的值為n，請(qǐng)你判斷m﹣n的值是否與x的取值有關(guān)？并給出證明．專項(xiàng)練習(xí)專項(xiàng)練習(xí)1．（2022?鄞州區(qū)模擬）下列說法正確的是（）A．3πxy的系數(shù)是3B．3πxy的次數(shù)是3C．﹣xy2的系數(shù)是﹣D．﹣xy2的次數(shù)是22．（2024?內(nèi)江）下列單項(xiàng)式中，ab3的同類項(xiàng)是（）A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a(chǎn)3b3．（2025秋?吳興區(qū)模擬）下列代數(shù)式中，能表示“x與y的差的平方”的是（）A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y24．（2025?湖南）計(jì)算a3?a4的結(jié)果是（）A．2a7 B．a(chǎn)7 C．2a4 D．a(chǎn)125．（2025?西湖區(qū)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a2）3＝a5B．C．a(chǎn)6÷a3＝a2D．a(chǎn)2?a3＝a56．（2025?衢州一模）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（﹣3a）2＝﹣9a2C．（﹣a）6÷a3＝a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b27．（2025?溫州模擬）計(jì)算﹣x（x3﹣1）的結(jié)果（）A．﹣x4﹣1 B．﹣x4﹣x C．﹣x4+x D．x4﹣x8．（2025?紹興二模）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（）A．a(chǎn)2+b2 B．2a﹣b2 C．a(chǎn)2﹣b2 D．﹣a2﹣b29．（2025?河北）計(jì)算：2a2+4a2＝．10．（2025?長(zhǎng)春）已知x2+2x＝4，則代數(shù)式7﹣x2﹣2x的值為．11．（2025?蕭山區(qū)一模）計(jì)算：（m2）3?m＝．12．（2025?杭州模擬）定義新運(yùn)算：a*b＝ab﹣b2，則（3m）*m的運(yùn)算結(jié)果是．13．（2025?西湖區(qū)模擬）把多項(xiàng)式2a2﹣18分解因式的結(jié)果是．14．（2023?金華）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．15．（2025?浙江模擬）觀察下面的等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）請(qǐng)你猜想第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．16．（2025?寧夏）定義：若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字的差恰好等于百位數(shù)字，則這個(gè)三位數(shù)叫做“極差數(shù)”．例如三位數(shù)231，因?yàn)?﹣1＝2，所以它是“極差數(shù)”．【理解定義】三位數(shù)265是否為“極差數(shù)”？．【建模推理】（1）設(shè)一個(gè)“極差數(shù)”的百位、十位、個(gè)位數(shù)字分別為a，b，c，則a與b，c的關(guān)系式為；（2）任意一個(gè)“極差數(shù)”都能被11整除嗎？為什么？2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第一章數(shù)與式1.2整式與因式分解知識(shí)梳理知識(shí)梳理代數(shù)式定義用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算符號(hào)包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.【注意】代數(shù)式式數(shù)或字母之間的運(yùn)算關(guān)系，代數(shù)式中只能含運(yùn)算符號(hào)，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關(guān)系符號(hào).列代數(shù)式的常用方法①直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式；②公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式；③探究規(guī)律法：將一組數(shù)或一組圖形的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來.求代數(shù)式的值1．一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果就叫做代數(shù)式的值．2．求代數(shù)式的值的基本步驟：①代入：一般情況下，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代入；②計(jì)算：按代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果．整式的相關(guān)概念單項(xiàng)式由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式．一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．多項(xiàng)式由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．同類項(xiàng)多項(xiàng)式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。整式運(yùn)算整式的加減①整式的加減其實(shí)就是合并同類項(xiàng)；②整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．冪的運(yùn)算同底數(shù)冪乘法am·an＝am+n（a≠0）同底數(shù)冪除法am÷an＝am-n(m，n是正整數(shù))冪的乘方(am)n＝amn（a≠0）積的乘方(ab)n＝anbn整式的乘法①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式(a+b)2＝a2+2ab＋b2(a-b)2＝a2-2ab＋b2變形式：a2＋b2＝(a+b)2－2ab=(a-b)2+2ab(a-b)2＝(a+b)2－4ab整式的除法①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.因式分解概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解．因式分解與整式的乘法是互逆變形．因式分解方法提公因式法ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的運(yùn)用）公式法①運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.因式分解的步驟一提（提公因式法）二套（平方差公式、完全平方公式與十字相乘）三分（四項(xiàng)及以上選擇分組法）例題講解例題講解【題型一】列代數(shù)式及求值【例1.1】（2025?長(zhǎng)沙）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人．某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘采摘10個(gè)蘋果．若該機(jī)器人搭載m個(gè)機(jī)械手（m＞1），則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋果個(gè)數(shù)為（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m【點(diǎn)撥】根據(jù)每個(gè)機(jī)械手摘的數(shù)量乘機(jī)械手的數(shù)量，即可求出m（m＞1）個(gè)機(jī)械手平均每分鐘可以采摘的蘋果數(shù)．【解析】解：m（m＞1）個(gè)機(jī)械手每分鐘采摘蘋果：10m，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列代數(shù)式．【例1.2】（2025?仙居縣二模）如果代數(shù)式x2﹣2x+5的值為3，那么代數(shù)式2x﹣x2的值等于（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件將要求代數(shù)式變形，然后整體代入求值即可．【解析】解：∵x2﹣2x+5＝3，∴x2﹣2x＝﹣2，∴當(dāng)x2﹣2x＝﹣2時(shí)，原式＝﹣（x2﹣2x）＝﹣（﹣2）＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，按照代數(shù)式規(guī)定的運(yùn)算，計(jì)算的結(jié)果就是代數(shù)式的值．【例1.3】（2025?蕭山區(qū)一模）已知2x+1＝﹣2，則代數(shù)式2x2+x﹣1的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【點(diǎn)撥】將代數(shù)式的前兩項(xiàng)提取公因式并將2x+1＝﹣2代入，得到﹣（2x+1）并再次將2x+1＝﹣2代入求值即可．【解析】解：∵2x+1＝﹣2，∴2x2+x﹣1＝x（2x+1）﹣1＝﹣2x﹣1＝﹣（2x+1）＝2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握整體代入法求代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．【題型二】整式的有關(guān)概念【例2.1】（2023?衢州二模）單項(xiàng)式﹣3a的系數(shù)是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣3a【點(diǎn)撥】直接利用單項(xiàng)式的系數(shù)確定方法分析得出答案．【解析】解：?jiǎn)雾?xiàng)式﹣3a的系數(shù)是：﹣3．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了單項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【例2.2】（2023?諸暨市模擬）下列每組中的兩個(gè)代數(shù)式，屬于同類項(xiàng)的是（）A．7a2b和3ab2B．和﹣2x2yC．x2yz和x2yD．3x2和3y2【點(diǎn)撥】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，可得答案．【解析】解：A.7a2b和3ab2，所含字母相同，但相同字母的指數(shù)不相同，所以不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不合題意；B.和﹣2x2y，所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同，是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)符合題意；C．x2yz和x2y，所含字母不盡相同，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不合題意；D.3x2和3y2，所含字母不盡相同，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同類項(xiàng)的定義，同類項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：所含字母相同；相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，還有注意同類項(xiàng)定義中隱含的兩個(gè)“無關(guān)”：①與字母的順序無關(guān)；②與系數(shù)無關(guān)．【例2.3】（2025?雅安）已知2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同類項(xiàng)，則nm＝．【點(diǎn)撥】根據(jù)同類項(xiàng)的定義列出方程，再求解即可．【解析】解：由同類項(xiàng)的定義可知m+2＝1，2n﹣1＝3，解得m＝﹣1，n＝2，∴nm＝2（﹣1）＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)的定義，掌握同類項(xiàng)的定義：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫同類項(xiàng)．【題型三】整式的運(yùn)算【例3.1】（2025?湖州一模）下列計(jì)算正確的是（）A．3a+2a＝5a2B．3a2﹣2a＝aC．3a+2b＝5abD．3ab﹣ba＝2ab【點(diǎn)撥】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解析】解：A、3a+2a＝5a≠5a2，故A錯(cuò)誤；B、3a2﹣2a≠a，故B錯(cuò)誤；C、3a+2b≠5ab，故C錯(cuò)誤；D、3ab﹣ba＝2ab，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．【例3.2】（2025?溫州一模）a2?（﹣a3）的計(jì)算結(jié)果是（）A．a(chǎn)6 B．﹣a6 C．a(chǎn)5 D．﹣a5【點(diǎn)撥】先根據(jù)積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可．【解析】解：a2?（﹣a3）＝（﹣1×1）×（a2?a3）＝﹣a5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)及單項(xiàng)式的乘法法則，屬于基礎(chǔ)題型，比較簡(jiǎn)單．【例3.3】（2025?慶元縣一模）下列運(yùn)算正確的是（）A．m2+m3＝m5B．m6÷m2＝m3C．（2m3）2＝4m5D．m2?m3＝m5【點(diǎn)撥】利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)和同底數(shù)冪的乘法法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解析】解：∵m2與m3不是同類項(xiàng)，不能合并，∴A選項(xiàng)的運(yùn)算不正確，不符合題意；∵m6÷m2＝m4，∴B選項(xiàng)的運(yùn)算不正確，不符合題意；∵（2m3）2＝4m6，∴C選項(xiàng)的運(yùn)算不正確，不符合題意；∵m2?m3＝m5，∴D選項(xiàng)的運(yùn)算正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)和同底數(shù)冪的乘法法則的應(yīng)用，熟練掌握上述法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3.4】（2025?諸暨市三模）下列式子中，正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（3ab2）3＝9a3b6C．（a2b）3÷（﹣ab）2＝a4bD．（a﹣2）2＝a2﹣4【點(diǎn)撥】A、原式利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷；B、原式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷；C、原式先利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷；D、原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，即可作出判斷．【解析】解：A、原式＝a5，錯(cuò)誤；B、原式＝27a3b6，錯(cuò)誤；C、原式＝a6b3÷a2b2＝a4b，正確；D、原式＝a2﹣4a+4，錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的除法，冪的乘方與積的乘方，以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【例3.5】（2025?浙江模擬）計(jì)算2a2?（﹣3a3）的結(jié)果是（）A．﹣6a5 B．6a5 C．﹣2a6 D．2a6【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，即可得到答案．【解析】解：原式＝﹣6a5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【例3.6】（2024?德陽）若一個(gè)多項(xiàng)式加上y2+3xy﹣4，結(jié)果是3xy+2y2﹣5，則這個(gè)多項(xiàng)式為y2﹣1．【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，列出3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）去括號(hào)化簡(jiǎn)即可．【解析】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4＝y(tǒng)2﹣1．故答案為：y2﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握去括號(hào)和合并同類項(xiàng)是關(guān)鍵．【例3.7】（2025?玉環(huán)市二模）下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣bB．x（x﹣2）＝x2﹣2C．（a+b）2＝a2+b2D．（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1【點(diǎn)撥】根據(jù)去括號(hào)法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解析】解：A、﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故A不符合題意；B、x（x﹣2）＝x2﹣2x，故B不符合題意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合題意；D、（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【例3.8】（2025?哈爾濱）定義新運(yùn)算：a?b＝2ab﹣b2，則（3n）?（2n）的運(yùn)算結(jié)果是8n2．【點(diǎn)撥】將a＝3n和b＝2n代入公式a?b＝2ab﹣b2進(jìn)行計(jì)算．【解析】解：∵a?b＝2ab﹣b2，∴（3n）?（2n）＝2×（3n）×（2n）﹣（2n）2＝2×3n×2n﹣4n2＝12n2﹣4n2＝8n2；故答案為：8n2．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義的題型和整式的乘法運(yùn)算，解決此題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算．【題型四】整式的化簡(jiǎn)求值【例4.1】（2025?金東區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中．【點(diǎn)撥】根據(jù)平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可．【解析】解：原式＝4x2﹣9﹣（4x2﹣24x）＝4x2﹣9﹣4x2+24x＝24x﹣9，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝24×﹣9＝﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【例4.2】（2025?樂山）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）2+3x（x﹣2），其中x＝．【點(diǎn)撥】先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘方和乘法，然后算加減，最后代入求值．【解析】解：原式＝x2+6x+9+3x2﹣6x＝4x2+9．當(dāng)x＝時(shí)，原式＝4×（）2+9＝10．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．【例4.3】（2025?湖南）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．【點(diǎn)撥】先利用平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）＝x2﹣4+x﹣x2＝x﹣4，當(dāng)x＝6時(shí)，原式＝6﹣4＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【題型五】因式分解【例5.1】（2025?浙江模擬）下列因式分解中，正確的是（）A．a(chǎn)b﹣4a+1＝a（b﹣4）+1 B．﹣a2+b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b） C．a(chǎn)2﹣2ab+4b2＝（a﹣2b）2 D．﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2【點(diǎn)撥】把一個(gè)多項(xiàng)式變成幾個(gè)整式的乘積形式叫做因式分解，據(jù)此可判斷A；利用平方差公式可判斷B，利用完全平方公式可判斷C；利用提公因式法和完全平方公式可判斷D．【解析】解：A、ab﹣4a+1＝a（b﹣4）+1等式右邊不是乘積形式，不符合題意；B、﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a）≠（﹣a+b）（﹣a﹣b），原分解錯(cuò)誤，不符合題意；C、a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，原分解錯(cuò)誤，不符合題意；D、﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2，正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟知因式分解的提公因式和公式法是解題的關(guān)鍵．【例5.2】（2025?舟山三模）因式分解：x2﹣2025x＝x（x﹣2025）．【點(diǎn)撥】提取公因式x進(jìn)行因式分解即可．【解析】解：原式＝x（x﹣2025），故答案為：x（x﹣2025）．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【例5.3】（2025?衢州一模）因式分解：＝（）A．B．C．D．【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【解析】解：＝＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解﹣公式法，掌握公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【例5.4】（2025?鹿城區(qū)二模）分解因式：a2+10a+25＝（a+5）2．【點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，原式化成二項(xiàng)式平方．【解析】解：a2+10a+25＝（a+5）2；故答案為：（a+5）2．【點(diǎn)睛】本題考查公式法因式分解，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【例5.5】（2025?杭州模擬）因式分解：ax2﹣4axy+4ay2＝a（x﹣2y）2．【點(diǎn)撥】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解析】解：原式＝a（x2﹣4xy+4y2）＝a（x﹣2y）2．故答案為：a（x﹣2y）2．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．【題型六】數(shù)式的規(guī)律探究【例6.1】（2025?浙江模擬）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【點(diǎn)撥】（1）觀察給出的三個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：第n個(gè)等式的左邊為，右邊為，分?jǐn)?shù)的分子比分母大1，且右邊的整數(shù)等于分子．驗(yàn)證等式兩邊的計(jì)算結(jié)果相等：左邊：；右邊：；因此左邊等于右邊．（2）第n個(gè)不等式的一般形式為．【解析】（1）解：；（2）證明：，＝＝＝，所以右＝左，即等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，數(shù)字的變化，推理能力和運(yùn)算能力，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【例6.2】（2025?重慶）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖中有4個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖中有8個(gè)圓點(diǎn)，第③個(gè)圖中有12個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖中有16個(gè)圓點(diǎn)，…，按照這一規(guī)律，則第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．32 B．28 C．24 D．20【點(diǎn)撥】第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有12個(gè)黑色圓點(diǎn)，則可以總結(jié)出第n個(gè)圖形中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，代入n＝6計(jì)算即可．【解析】解：第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有12個(gè)黑色圓點(diǎn)，第④個(gè)圖案中有16個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，則第n個(gè)圖案中有4n個(gè)黑色圓點(diǎn)，所以第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4×6＝24個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．真題在線真題在線1．（2023?麗水）計(jì)算a2+2a2的正確結(jié)果是（）A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4【點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：a2+2a2＝（1+2）a2＝3a2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)法則，能熟記合并同類項(xiàng)法則是解此題的關(guān)鍵，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．2．（2023?湖州）計(jì)算a3?a的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)4 D．a(chǎn)5【點(diǎn)撥】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：a3?a＝a3+1＝a4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題的關(guān)鍵．3．（2025?溫州模擬）計(jì)算（2x8）÷（4x2）的結(jié)果是（）A．2x4 B．2x6 C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可．【解析】解：原式＝（2÷4）?（x8÷x2）＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的除法運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則．4．（2024?浙江）下列式子運(yùn)算正確的是（）A．x3+x2＝x5 B．x3?x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4【點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可．【解析】解：A．x3+x2不能合并同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．x3?x2＝x5，故本選項(xiàng)不符合題意；C．（x3）2＝x6，故本選項(xiàng)不符合題意；D．x6÷x2＝x4，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2025?普陀區(qū)三模）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣3ab2）2＝9a2b4B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a2﹣a2＝3D．a(chǎn)6÷a3＝a2【點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、完全平方公式及冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：A．原式＝9a2b4，故本選項(xiàng)符合題意；B．原式＝a2+b2+2ab，故本選項(xiàng)不符合題意；C．原式＝2a2，故本選項(xiàng)不符合題意；D．原式＝a3，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、完全平方公式及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?普陀區(qū)三模）小宜跟同學(xué)在某餐廳吃飯，如圖為此餐廳的菜單，若他們所點(diǎn)的餐總共為15份意大利面，x杯飲料，y份沙拉，則他們點(diǎn)了幾份A餐（）A餐：一份意大利面B餐：一份意大利面加一杯飲料C餐：一份意大利面加一杯飲料與一份沙拉A．15﹣x B．15﹣y C．15﹣x﹣y D．15﹣x+y【點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)的飲料能確定在B和C餐中點(diǎn)了x份意大利面，根據(jù)題意可得點(diǎn)A餐15﹣x．【解析】解：∵x杯飲料則在B和C餐中點(diǎn)了x份意大利面．∴點(diǎn)A餐為15﹣x．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，以意大利面為依據(jù)，準(zhǔn)確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．7．（2025?金華模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4B．a(chǎn)3?a2＝a6C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a(chǎn)3?（﹣a）2＝a5【點(diǎn)撥】根據(jù)冪的乘方與積的乘方、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行解題即可．【解析】解：A、a2+a2＝2a2，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；B、a3?a2＝a5，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；D、a3?（﹣a）2＝a5，故該項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與積的乘方、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2025?寧波模擬）已知b≥0，3a﹣b＝4，2a﹣b+c＝0，下面結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)﹣c＝﹣4 B．b﹣2c＝8 C． D．【點(diǎn)撥】先用c的代數(shù)式表示a，b，后根據(jù)條件解答即可．【解析】解：根據(jù)題意，用c的代數(shù)式表示a，b可得：，解得，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解方程組，解不等式．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．9．（2025?永嘉縣三模）若a，b是正整數(shù)，且滿足3a+3a+3a＝9b×9b，則a與b的關(guān)系正確的是（）A．3a＝2b B．a(chǎn)+1＝4b C．a(chǎn)+1＝b2 D．a(chǎn)+1＝b4【點(diǎn)撥】先根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算，再根據(jù)冪的乘方法則計(jì)算，即可得解．【解析】解：∵3a+3a+3a＝9b×9b，∴3×3a＝92b，∴3a+1＝（32）2b，∴3a+1＝34b，∴a+1＝4b，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2025?蕭山區(qū)模擬）在學(xué)習(xí)過程中，甲同學(xué)認(rèn)為：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同學(xué)認(rèn)為：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．請(qǐng)對(duì)兩位同學(xué)的說法進(jìn)行判斷（）A．僅甲正確B．僅乙正確C．甲、乙都正確D．甲、乙都不正確【點(diǎn)撥】由a2＝b2得a2﹣b2＝0，利用平方差公式可得a＝±b，從而可得a2+b2＝±2ab；由a2+b2＝2ab可得a2+b2﹣2ab＝0，利用完全平方公式可得a＝b，從而可得a2＝b2；據(jù)此判斷即可．【解析】解：∵a2＝b2，∴a2﹣b2＝0，∴（a+b）（a﹣b）＝0，∴a＝±b，則a2+b2＝±2ab；∵a2+b2＝2ab，∴a2+b2﹣2ab＝0，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，則a2＝b2；綜上，僅乙正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，平方差公式，熟練掌握這兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．11．（2024?浙江）因式分解：a2﹣7a＝a（a﹣7）．【點(diǎn)撥】用提取公因式法分解因式即可．【解析】解：a2﹣7a＝a（a﹣7）．故答案為：a（a﹣7）．【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴绞墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等．12．（2023?麗水）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)撥】本題中兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)相反，直接運(yùn)用平方差公式分解因式．【解析】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案為：（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)睛】主要考查平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特征，即“兩項(xiàng)、異號(hào)、平方形式”是避免錯(cuò)用平方差公式的有效方法．13．（2025?煙臺(tái)）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x﹣3y）2．【點(diǎn)撥】先提取公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解析】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2，故答案為：2（x﹣3y）2．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解是關(guān)鍵．14．（2025?浙江模擬）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，則m2+n2＝13．【點(diǎn)撥】先將m+n＝5，m﹣n＝﹣1變形為（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，化簡(jiǎn)后兩式相加即可求解．【解析】解：由條件可知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，即m2+2mn+n2＝25①，m2﹣2mn+n2＝1②，兩式相加得2m2+2n2＝26，∴m2+n2＝13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．15．（2025?浙江）【文化欣賞】我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中記載的二項(xiàng)和的乘方（a+b）n展開式的系數(shù)規(guī)律如圖所示，其中“三乘”對(duì)應(yīng)的展開式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【應(yīng)用體驗(yàn)】已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，則m的值為8．【點(diǎn)撥】根據(jù)題干中所得系數(shù)規(guī)律得到關(guān)于m的方程，解得m的值即可．【解析】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，∴mx3＝4x3×2，∴m＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式規(guī)律問題，理解題意并得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長(zhǎng)作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是25；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的面積公式列得代數(shù)式，然后代入數(shù)值計(jì)算即可；（2）結(jié)合已知條件可得a2+b2＝3，利用梯形面積公式可得（m+n）2＝10，然后將題干中的兩個(gè)等式分別平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，繼而求得m2+n2＝，再結(jié)合（m+n）2＝10可求得mn＝，根據(jù)正方形性質(zhì)可得圖2中陰影部分是一個(gè)直角三角形，利用勾股定理求得其兩直角邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式可得其面積為mn＝．【解析】解：（1）由題意可得圖1陰影部分面積為：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案為：25；（2）由題意可得a2+b2＝3，圖2中四邊形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高為：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴將兩式分別平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵圖2中陰影部分的三角形的其中兩邊是兩正方形的對(duì)角線，∴這兩邊構(gòu)成的角為：45°+45°＝90°，那么陰影部分的三角形為直角三角形，其兩直角邊的長(zhǎng)分別為：＝m，＝n，故陰影部分的面積為：×m×n＝mn＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，（2）中將題干中的兩個(gè)等式分別平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解題的關(guān)鍵．17．（2025?浙江）化簡(jiǎn)求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則去掉括號(hào)，再合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將數(shù)值代入求出結(jié)果．【解析】解：x（5﹣x）+x2+3＝5x﹣x2+x2+3＝5x+3，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝5×2+3＝13．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)算法則來計(jì)算．18．（2025?衢州模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝．【點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式將題目中的式子展開，然后合并同類項(xiàng)，再將m、n的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【解析】解：（m+2n）2﹣4n（m﹣n）＝m2+4mn+4n2﹣4mn+4n2＝m2+8n2，當(dāng)時(shí)，原式＝＝3．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．19．（2025?浙江模擬）小明的一道習(xí)題解答過程如下：（1）小明解答正確嗎？若不正確，他是從第一步開始出錯(cuò)的，請(qǐng)你給出完整的正確計(jì)算過程．（2）當(dāng)m＝1，n＝﹣3時(shí)，求此代數(shù)式的值．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目中的解答過程可知，第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，然后寫出正確解答過程即可；（2）將m、n的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【解析】解：（1）由題目中的解答過程可知，第一步開始出錯(cuò)，故答案為：一；正確解答過程如下：原式＝m10n4÷（﹣m3n）?（﹣3mn）＝﹣m7n3?（﹣3mn）＝m8n4；（2）當(dāng)m＝1，n＝﹣3時(shí)，原式＝×18×（﹣3）4＝216．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．20．（2023?浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）寫出192﹣172的結(jié)果；（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；（3）請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫出192﹣172的結(jié)果；（2）根據(jù)題目中給出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）將（2）中等號(hào)左邊的式子利用平方差公式計(jì)算即可．【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由題意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正確．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)．21．（2024?浙江模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“⊕”，規(guī)定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0．（1）求3⊕5的值；（2）若x為某一個(gè)實(shí)數(shù)，記x⊕3的值為m，1⊕（2﹣x）的值為n，請(qǐng)你判斷m﹣n的值是否與x的取值有關(guān)？并給出證明．【點(diǎn)撥】（1）按照題目運(yùn)算定義進(jìn)行代入、求解；（2）先運(yùn)用運(yùn)算定義表示出m，n的值，再通過計(jì)算m﹣n進(jìn)行辨別．【解析】解：（1）由題意得，3⊕5＝（3+5﹣1）2﹣2×3×5＝72﹣30＝49﹣30＝19，即3⊕5的值是19；（2）m﹣n的值是否與x的取值無關(guān)，證明：由題意得，m＝x⊕3＝（x+3﹣1）2﹣2×x×3＝（x+2）2﹣6x＝x2+4x+4﹣6x＝x2﹣2x+4；n＝1⊕（2﹣x）＝（1+2﹣x﹣1）2﹣2×1×（2﹣x）＝（2﹣x）2﹣（4﹣2x）＝x2﹣4x+4+2x﹣4＝x2﹣2x，∴m﹣n＝（x2﹣2x+4）﹣（x2﹣2x）＝x2﹣2x+4﹣x2+2x＝4，∴m﹣n的值是否與x的取值無關(guān)．【點(diǎn)睛】此題考查了整式加減方面新定義問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用運(yùn)算定義進(jìn)行計(jì)算、辨別．專項(xiàng)練習(xí)專項(xiàng)練習(xí)1．（2022?鄞州區(qū)模擬）下列說法正確的是（）A．3πxy的系數(shù)是3B．3πxy的次數(shù)是3C．﹣xy2的系數(shù)是﹣D．﹣xy2的次數(shù)是2【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)的定義解答即可．【解析】解：A．系數(shù)應(yīng)該是3π，不符合題意；B．π是數(shù)字，次數(shù)應(yīng)該是2，不符合題意；C．正確，符合題意；D．次數(shù)應(yīng)該是3，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)的定義，注意π是數(shù)字．2．（2024?內(nèi)江）下列單項(xiàng)式中，ab3的同類項(xiàng)是（）A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a(chǎn)3b【點(diǎn)撥】根據(jù)同類項(xiàng)的定義：所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同．據(jù)此進(jìn)行解題即可．【解析】解：根據(jù)同類項(xiàng)的定義可知，ab3的同類項(xiàng)是3ab3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查同類項(xiàng)和單項(xiàng)式，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2025秋?吳興區(qū)模擬）下列代數(shù)式中，能表示“x與y的差的平方”的是（）A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2【點(diǎn)撥】先列出前半部分“x與y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．【解析】解：根據(jù)題目可列出（x﹣y）2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)題意列出代數(shù)式．4．（2025?湖南）計(jì)算a3?a4的結(jié)果是（）A．2a7 B．a(chǎn)7 C．2a4 D．a(chǎn)12【點(diǎn)撥】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：a3?a4＝a3+4＝a7．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2025?西湖區(qū)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a2）3＝a5B．C．a(chǎn)6÷a3＝a2D．a(chǎn)2?a3＝a5【點(diǎn)撥】利用冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法以及同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)求解即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解析】解：A、（a2）3＝a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a6÷a3＝a3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、a2?a3＝a5，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法以及同底數(shù)冪的除法．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握指數(shù)的變化是解此題的關(guān)鍵．6．（2025?衢州一模）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（﹣3a）2＝﹣9a2C．（﹣a）6÷a3＝a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【點(diǎn)撥】利用合并同類項(xiàng)的法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)和同底數(shù)冪的除法法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解析】解：∵a2?a3＝a5，∴A選項(xiàng)的運(yùn)算不正確，不符合題意；∵（﹣3a）2＝9a2，∴BA選項(xiàng)的運(yùn)算不正確，不符合題意；∵（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3，∴CA選項(xiàng)的運(yùn)算正確，符合題意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴DA選項(xiàng)的運(yùn)算不正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)的法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)和同底數(shù)冪的除法法則的應(yīng)用，熟練掌握上述法則與公式是解題的關(guān)鍵．7．（2025?溫州模擬）計(jì)算﹣x（x3﹣1）的結(jié)果（）A．﹣x