上海市2024學(xué)年高三年級第二學(xué)期“陽光指標(biāo)”調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，則________.【答案】【解析】【分析】解不等式求出集合A，即可求集合的交集.【詳解】解集合A中的不等式，得，就是求既屬于A又屬于的元素，所以.故答案為：2.函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)求值域即可.【詳解】，其中，則其值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?3.的二項展開式中項的系數(shù)是20，則實(shí)數(shù)的值是___________.【答案】【解析】【分析】利用二項式定理展開式的通項公式求解即可.【詳解】根據(jù)二項式展開式的通項公式則展開式中項為又，則該項為，已知項的系數(shù)是20，則，即，解得.故答案為：4.已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的值域是_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義代入點(diǎn)可得，即可得函數(shù)值域.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)可得，即，可得，因?yàn)椋傻?，所以該冪函?shù)的值域是.故答案為：.5.如下是一個列聯(lián)表，則__________.y1y2總計x1a3545x27bn總計m73s【答案】90【解析】【分析】完善列聯(lián)表即可求解.【詳解】由表格有，故答案為：.6.已知，則的值為_____________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)兩角差正切公式計算求解.【詳解】，所以，則.故答案為：7.7.已知，“、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列”是“是正三角形”的_______________條件．【答案】充要【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差、等比數(shù)列的定義，結(jié)合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】在中，由、、成等差數(shù)列，得，而，則，由、、成等比數(shù)列，得，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，因此正三角形；若是正三角形，則，，因此、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列，所以“、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列”是“是正三角形”的充要條件.故答案為：充要.8.拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，將圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體，則該幾何體的表面積為______________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線的性質(zhì)求準(zhǔn)線，利用相切求半徑，即可用球的表面積求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，可知準(zhǔn)線方程為，又由圓與準(zhǔn)線相切，可知：，將圓繞直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的球的表面積為：，故答案為：9.通過隨機(jī)抽樣，獲得某種商品消費(fèi)者年需求量與該商品每千克價格之間的一組數(shù)據(jù)調(diào)查，如下表所示:價格（百元）444.655.25.666.6710需求量（千克）3.532.72.42.521.51.21.21那么線性相關(guān)系數(shù)______________．（精確到）線性相關(guān)系數(shù)公式【答案】【解析】【分析】利用相關(guān)系數(shù)公式計算即可.【詳解】由題意可得，，所以，,所以.故答案為：.10.已知某次數(shù)學(xué)的測試成績X服從的正態(tài)分布，若小明的成績不低于91分，那么他的成績大約超過了______%的學(xué)生（精確到0.1%）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的范圍求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，故答案為?1.某建筑公司欲設(shè)計一個正四棱錐形紀(jì)念碑，要求其頂點(diǎn)位于容積為36π立方米的球形景觀燈所在球面上．考慮到抗風(fēng)、抗震等結(jié)構(gòu)安全需求，側(cè)棱長度l需滿足．當(dāng)紀(jì)念碑體積取得最大值時，正四棱錐的側(cè)棱長約為______米（精確到0.01米）．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)可得球的半徑為，結(jié)合正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征及其外接球半徑與棱長、底面邊長的關(guān)系得，進(jìn)而得到紀(jì)念碑體積關(guān)于的表達(dá)式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最大值，并確定對應(yīng)的側(cè)棱長.【詳解】若球的半徑為，則，可得，又，對于正四棱錐，設(shè)底面邊長為，高為，則，所以，即，又，則，故，即，紀(jì)念碑體積，令，對于，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，所以，故，此時米.故答案為：12.在平面直角坐標(biāo)系中，一質(zhì)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，第一次從點(diǎn)O移動到點(diǎn)，第二次從點(diǎn)移動到點(diǎn)，…，第k次從點(diǎn)（規(guī)定）移動到點(diǎn).記向量，其模長為k，方向與x軸正方向成角，設(shè)為經(jīng)過n次移動的位移向量，即，則當(dāng)時，n的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出向量的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)模長求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知的模長為k，方向與x軸正方向成角，，∴，∴，；，；，；，.故.故答案為：.二?選擇題（本題共有4題，滿分18分，13?14每題4分，15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“函數(shù)y=sin(x＋φ)為偶函數(shù)”是“φ＝”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：時，為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則；選B.考點(diǎn)：1三角函數(shù)的性質(zhì)；2充分必要條件．14.在研究線性回歸模型時，若樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)都在直線上，則兩組數(shù)據(jù)和的線性相關(guān)系數(shù)為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)回歸模型性質(zhì)判斷即可.【詳解】若樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)都在直線上，則兩組數(shù)據(jù)和的線性相關(guān)系數(shù)為.故選：A.15.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后逐個選項驗(yàn)證是否成立即可得出結(jié)果.根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則計算可判斷選項A；根據(jù)二倍角正弦公式和三角函數(shù)的有界性可判斷選項B；解出方程的根可判斷選項C；根據(jù)題意令，整理得，分正負(fù)分析，并結(jié)合放縮法可知此方程無解，從而否定D.【詳解】對于選項A：因?yàn)楹瘮?shù)導(dǎo)函數(shù)為，所以，故選項A錯誤；對于選項B：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以，而，所以，，故選項B錯誤；對于選項C：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以.令，解得：，，即存在實(shí)數(shù)，使得成立，所以函數(shù)具有性質(zhì)，故選項C正確；對于選項D：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以.令，顯然，化簡得：.下面證明方程（*）無解.當(dāng)時，，方程（*）無解當(dāng)時，，而：令，，則，所以單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，即，所?綜上，方程(*)無解.所以不存實(shí)數(shù)，使得成立，故選項D錯誤.故選：C.16.設(shè)數(shù)列滿足，記其前n項和為，前n項積為．則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列和數(shù)列均不是周期數(shù)列B.數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列不是周期數(shù)列C.數(shù)列不是周期數(shù)列，數(shù)列是周期數(shù)列D.數(shù)列和數(shù)列均為周期數(shù)列【答案】B【解析】【分析】令，可得數(shù)列的周期為6，令，可得數(shù)列的周期為8，進(jìn)而依次得數(shù)列和數(shù)列的周期，又和判斷數(shù)列的周期性.【詳解】令，則數(shù)列的一個周期為6，又，則，令，則數(shù)列的一個周期為8，又，則，所以數(shù)列的一個周期為24，且，所以，則的一個周期為24，又，，所以，故，所以不是周期數(shù)列.故選：B.三?解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，.（1）求證：平面BDS；（2）若，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）由菱形與等腰三角形的性質(zhì)，可得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定，可得答案；（2）由菱形的性質(zhì)與勾股定理，根據(jù)（1）可分割三棱錐的底與高，結(jié)合體積公式，可得答案.【小問1詳解】設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以，且為中點(diǎn).又因?yàn)椋云矫鍮DS，所以平面BDS.【小問2詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，，所以是等邊三角形，則.在中，，滿足，根據(jù)勾股定理逆定理可知，即.由（1）知平面BDS，所以，則.18.已知函數(shù)，其中.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得依次成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由在單調(diào)遞增，得即可求解；（2）原問題等價于關(guān)于的方程恰有一個實(shí)數(shù)解，即在上恰有一個實(shí)數(shù)解，令，則在上恰有一個實(shí)數(shù)解，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【小問1詳解】由函數(shù)在單調(diào)遞增，所以【小問2詳解】原問題等價于關(guān)于的方程恰有一個實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.即在上恰有一個實(shí)數(shù)解.等價于在上恰有一個實(shí)數(shù)解.在上恰有一個實(shí)數(shù)解.令，則在上恰有一個實(shí)數(shù)解.畫出關(guān)于的二次函數(shù)在上的圖像可知，時只有一個交點(diǎn)；.19.為了研究高三學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯題的情況，某校數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)在本校高三年級學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生，調(diào)查他們平時的數(shù)學(xué)成績和整理數(shù)學(xué)錯題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績總評非優(yōu)秀人數(shù)合計每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)14

不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)

1520合計

40（1）完成上述樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，并計算：每天都整理數(shù)學(xué)錯題且數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)概率；（2）是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)”？附：；0.100.010.0012.7066.63510.828（3）從不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生做進(jìn)一步訪談，設(shè)恰好抽取到數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，0.35；（2）有；（3）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，求出經(jīng)驗(yàn)概率.（2）求出的觀測值，與臨界值比對得解.（3）求出的可能值及對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望.【小問1詳解】完善列聯(lián)表，如下：數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績總評非優(yōu)秀人數(shù)合計每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)14620不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)51520合計192140每天都整理數(shù)學(xué)錯題且數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)概率為.【小問2詳解】由（1）得，所以有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)”.【小問3詳解】不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題的學(xué)生有20人，其中數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀人數(shù)為5，的所有可能值為0，1，2，3，，，所以的分布列為：0123期望20.如圖1，曲線是與組合的．（1）過點(diǎn)，求的漸近線方程；（2），設(shè)，，曲線上找一個點(diǎn)，使得達(dá)到最?。唬?）若，如圖2，存在過點(diǎn)的兩條直線，與曲線的交點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第一象限．是否存在非零實(shí)數(shù)使得成立，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）答案見解析，理由見解析【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求出，再計算漸近線即可；（2）分和兩種情況，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用消元法將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值問題；（3）設(shè)直線和直線的方程，聯(lián)立方程組求四個點(diǎn)的坐標(biāo)，再化簡即可.【小問1詳解】將點(diǎn)代入，得，得，所以，漸近線方程：.【小問2詳解】因，則，，①當(dāng)時，取到最小值時，點(diǎn)一定在上，設(shè)點(diǎn)，則，則，當(dāng)時，則或時，取最小值，此時或，當(dāng)時，當(dāng)時，取最小值，此時；②當(dāng)時，取到最小值時，點(diǎn)一定在上，設(shè)點(diǎn)，則，則，因，則，故當(dāng)時，取最小值，此時.綜上可知，曲線上存在點(diǎn)，使得達(dá)到最小.【小問3詳解】設(shè)，，設(shè)由，得，則，由，得，則，由，得，則，由，得，則，則，同理可得，，若存在非零實(shí)數(shù)使得成立，則，即，即，則或，若，則或，此時直線或的方程為，不符合題意，故當(dāng)且、均不為零時，存在非零實(shí)數(shù)使得成立21.已知函數(shù)，其中，定義集合．對于點(diǎn)，定義集合．若對任意，均有，則稱點(diǎn)P為平衡點(diǎn)．（1）當(dāng)時，判斷點(diǎn)是否為平衡點(diǎn)；（2）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)b的取值范圍，使得點(diǎn)是平衡點(diǎn)；（3）求所有實(shí)數(shù)a和b，使得點(diǎn)是平衡點(diǎn)．【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)平衡點(diǎn)的定義判斷即可；（2）根據(jù)平衡點(diǎn)定