學(xué)年度彭州中學(xué)高級高三下期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷注意事項(xiàng)：．開始作答前，請考生在答題卡上填寫好自己的信息．．作答時，選擇題部分用鉛筆填涂，非選擇題部分用黑色簽字筆在答題卡規(guī)定區(qū)域書寫．．考試結(jié)束后，將試卷，答題卡，草稿紙一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算直接得出答案.【詳解】根據(jù)題意，.故選：B2.命題：的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，從而可得出答案.【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，所以命題“”的否定為“”.故選：A.3.復(fù)數(shù)（）第1頁/共19頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得答案.【詳解】.故選：A4.已知向量，，，則的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，即故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，及利用同角之間的公式化簡求值，解題的關(guān)鍵是的變形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個區(qū)間（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】第2頁/共19頁根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象連續(xù)不斷，且，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間內(nèi).故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握零點(diǎn)存在性定理是解題關(guān)鍵.6.已知點(diǎn)，，若直線：與線段相交，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】過定點(diǎn).【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，又，，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點(diǎn)，由圖可知，解得，即的取值范圍是.第3頁/共19頁故選：B.7.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基本量法可求公比,從而可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，故，從而，故選：B.8.將129這九個正整數(shù)，填在如圖所示的九宮格里，九宮格的中間填5，四個角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù)，則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出滿足題意的所有排法的總數(shù)，再求出符合條件的排法數(shù)，再由古典概型的概率公式求解即第4頁/共19頁可.【詳解】先排四個角上的偶數(shù)，可以排2,4,6,8，有種結(jié)果，再排其他四個空位，有種結(jié)果，所以基本事件總數(shù)為.若每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15，則先排左上角的數(shù)字，有種結(jié)果，假設(shè)左上角的數(shù)字排2，右下角只能排8，右上角可排4或者6，當(dāng)右上角排4時，左下角只能是6；當(dāng)右上角排6時，左下角只能是4，當(dāng)四個角確定，其余位置的數(shù)字就確定，所以共有種結(jié)果，所以每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15的概率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得0分）9.若某扇形的周長為18，面積為20，則該扇形的半徑可能為（）A.2B.4C.5D.10【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)扇形的周長公式和面積公式求解即可.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，弧長為，則，解得或5.故選：BC10.拋物線C：的準(zhǔn)線為lP為CP作Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（）A.l與相切B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，第5頁/共19頁C.當(dāng)時，D.滿足的點(diǎn)有且僅有2個【答案】ABD【解析】AB選項(xiàng)，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時切線長，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，，，不滿足；當(dāng)時，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點(diǎn)的存在性問題，第6頁/共19頁于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點(diǎn)，即存在兩個點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD如圖，在長度為線段上取兩個點(diǎn)、，使得，以為邊在線段的中的最上方的線段形；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖，圖，圖，圖，各圖中的線段長度和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）第7頁/共19頁C.存在正數(shù)，使得恒成立D.恒成立【答案】BD【解析】【分析】設(shè)圖中新構(gòu)造出的每條線段的長度為，則，而，故根據(jù)這兩個遞推關(guān)系可求，再求出，逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng)．【詳解】設(shè)圖中新構(gòu)造出每條線段的長度為，則，其中，故．而，∴，故，而也符合該式，故，此時，，故不是等比數(shù)列，故A錯誤．而，故D正確．而，故，故B正確．對任意給定的正數(shù)，當(dāng)時，必有，故C錯誤．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.一個邊長為的正方體八個頂點(diǎn)都在一個球上，則球的半徑為___第8頁/共19頁【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何體外接球半徑的求法求得正確答案.【詳解】正方體外接球的直徑等于體對角線長，所以球的半徑為.故答案為：13.已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，.故答案為：.14.設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，第9頁/共19頁故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.1）方法一顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．方法二：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，第10頁/共19頁若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．方法三：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）方法一：奇偶分類討論．方法二：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．第11頁/共19頁【整體點(diǎn)評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯的選擇.16.已知函數(shù)在處取得極值0.（1）求；（2）若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，求買數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)題意可得，即可得解；（2）切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為，從而可得，再根據(jù)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，等價于關(guān)于的方程有三個不同的根，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，即可得解.小問1詳解】由題意知，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值0，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；【小問2詳解】第12頁/共19頁設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，令，則，令，解得，或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示，10+0單調(diào)遞減單調(diào)遞增0單調(diào)遞減因此，當(dāng)時，有極小值，當(dāng)時，有極大值，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，等價于關(guān)于的方程有三個不同的根，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3分離變量得出與函數(shù)第13頁/共19頁的圖象的交點(diǎn)問題.17.的底面是矩形，底面ABCD，M為BC的中點(diǎn).（1）求證：平面PBD；（2）求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；（3）求D到平面APM的距離.【答案】（1）證明過程見解析（2）（3）【解析】1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定定理和性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，M為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，第14頁/共19頁所以，而平面PBD，所以平面PBD；【小問2詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)橐驗(yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD的法向量為，設(shè)平面APM的法向量為，，，于是有，平面ABCD與平面APM所成角的余弦值為；【小問3詳解】由（2）可知平面APM的法向量為，，所以D到平面APM距離為18.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距等于，離心率第15頁/共19頁為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值;（3）記為橢圓上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作相互垂直的兩條直線BP，BQ分別與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn).設(shè)直線BP的斜率為且，若，求的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）或1【解析】1）根據(jù)焦距和離心率求解出，來求解；（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求解；（3）設(shè)，聯(lián)立方程組求解出，，然后根據(jù)求解出，從而解得或.【小問1詳解】由已知得，又，又.所以橢圓的方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓有，消元得：第16頁/共19頁，即為定值.小問3詳解】設(shè)，設(shè)直線BP的方程為，則直線BQ的方程為，由，消去得，，，由得，，，，整理得：，第17頁/共19頁，或.19.在中，把，，，稱為三項(xiàng)式系數(shù).（1）當(dāng)時，寫出三項(xiàng)式系數(shù)，，，，的值；（2）的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當(dāng)，時，類似楊輝三角形數(shù)陣表，