1.1課程標(biāo)準(zhǔn)的要求與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)演講人2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊實(shí)際問題中的方程組建模課件作為一名從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我深知“實(shí)際問題中的方程組建模”是七年級(jí)下冊的核心內(nèi)容之一。它既是一元一次方程應(yīng)用的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)。今天，我將以“如何用方程組解決實(shí)際問題”為主線，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中的典型案例，與各位同仁和同學(xué)們共同探討這一主題。一、為什么要學(xué)習(xí)“實(shí)際問題中的方程組建模”？——從生活到數(shù)學(xué)的橋梁011課程標(biāo)準(zhǔn)的要求與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)1課程標(biāo)準(zhǔn)的要求與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，初中階段要“經(jīng)歷用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過程，發(fā)展模型觀念、符號(hào)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)”。方程組建模正是這一要求的集中體現(xiàn)：通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象出二元一次方程組（或三元一次方程組），再通過解方程組得到實(shí)際問題的答案。這一過程完整覆蓋了“抽象—建模—求解—驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)應(yīng)用鏈條，是培養(yǎng)學(xué)生“模型觀念”的關(guān)鍵載體。022學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的必然需求2學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的必然需求從知識(shí)銜接來看，七年級(jí)上冊學(xué)生已掌握一元一次方程的解法及簡單應(yīng)用，但實(shí)際問題中往往存在多個(gè)未知量（如“甲、乙兩人的速度”“兩種商品的價(jià)格”），僅用一個(gè)未知數(shù)難以全面描述數(shù)量關(guān)系。此時(shí)引入方程組，能更直接地反映問題本質(zhì)。例如，“小明買3支鉛筆和2本筆記本共花12元，小紅買5支鉛筆和3本筆記本共花19元，求鉛筆和筆記本的單價(jià)”，用兩個(gè)未知數(shù)分別表示鉛筆和筆記本的單價(jià)（設(shè)鉛筆x元，筆記本y元），可直接列出方程組[\begin{cases}3x+2y=12\5x+3y=19\end{cases}2學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的必然需求]，而若用一元一次方程則需設(shè)鉛筆為x元，筆記本為(\frac{12-3x}{2})元，再代入第二個(gè)條件，列式更復(fù)雜，容易出錯(cuò)。033現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)需求3現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)需求數(shù)學(xué)的價(jià)值在于解決實(shí)際問題。無論是家庭購物（計(jì)算兩種商品的價(jià)格）、工程合作（計(jì)算甲乙兩隊(duì)的工作效率），還是交通出行（計(jì)算兩車的速度），都需要通過分析多個(gè)變量間的關(guān)系建立方程組。例如，我曾帶學(xué)生調(diào)研社區(qū)快遞站的分揀效率問題：A組每小時(shí)分揀120件，B組每小時(shí)分揀100件，兩組合作完成800件分揀任務(wù)，中途A組因設(shè)備故障停工1小時(shí)，問實(shí)際用了多長時(shí)間？這類問題中，“總工作量”“工作時(shí)間”“停工時(shí)間”三個(gè)變量相互關(guān)聯(lián)，用方程組能更清晰地表達(dá)關(guān)系。二、如何構(gòu)建“實(shí)際問題中的方程組建模”？——從分析到建模的四步流程通過多年教學(xué)實(shí)踐，我總結(jié)出“實(shí)際問題方程組建?！钡乃膫€(gè)關(guān)鍵步驟：審題析量→設(shè)元定標(biāo)→列方程（組）→解驗(yàn)作答。這四個(gè)步驟環(huán)環(huán)相扣，缺一不可。3現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)需求2.1第一步：審題析量——提取有效信息，明確數(shù)量關(guān)系審題是建模的起點(diǎn)，需做到“三明確”：明確問題所求（即需要求哪些未知量）、明確已知條件（包括顯性條件和隱性條件）、明確各量間的關(guān)系（如和差、倍數(shù)、比例、公式類關(guān)系）。例如，教材中“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”審題時(shí)需明確：問題所求：雞的數(shù)量（設(shè)為x）、兔的數(shù)量（設(shè)為y）；已知條件：總頭數(shù)35（x+y=35）、總足數(shù)94（雞2足，兔4足，故2x+4y=94）；隱性關(guān)系：每只雞和兔的頭數(shù)均為1，足數(shù)分別為2和4。3現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)需求教學(xué)中，我常引導(dǎo)學(xué)生用“劃關(guān)鍵詞”“列表格”“畫線段圖”等方法輔助審題。例如，行程問題中用線段圖表示相遇或追及過程，工程問題中用表格整理“工作效率”“工作時(shí)間”“工作量”三量關(guān)系，能有效避免信息遺漏。042第二步：設(shè)元定標(biāo)——合理選擇未知數(shù)，明確變量含義2第二步：設(shè)元定標(biāo)——合理選擇未知數(shù)，明確變量含義設(shè)元是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的關(guān)鍵。七年級(jí)學(xué)生易出現(xiàn)的問題是“隨意設(shè)元”或“設(shè)元過多”，需強(qiáng)調(diào)“按需設(shè)元”：直接設(shè)元：問題求什么，就設(shè)什么為未知數(shù)。如求“甲、乙的速度”，則設(shè)甲速為x，乙速為y；間接設(shè)元：當(dāng)直接設(shè)元難以列方程時(shí)，選擇與所求量相關(guān)的中間量為未知數(shù)。例如，“某兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，交換十位與個(gè)位數(shù)字后，新數(shù)比原數(shù)小36，求原數(shù)”，直接設(shè)原數(shù)為x較難，但設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為2x，則原數(shù)為10×2x+x=21x，新數(shù)為10x+2x=12x，根據(jù)“新數(shù)比原數(shù)小36”列方程21x-12x=36，更簡便；注意單位統(tǒng)一：若題目中涉及不同單位（如時(shí)間的分鐘與小時(shí)，長度的米與千米），設(shè)元時(shí)需統(tǒng)一單位，避免后續(xù)計(jì)算錯(cuò)誤。053第三步：列方程（組）——依據(jù)數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型3第三步：列方程（組）——依據(jù)數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型列方程是建模的核心環(huán)節(jié)，其本質(zhì)是“將實(shí)際問題中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為等式”。七年級(jí)學(xué)生的難點(diǎn)在于“找不準(zhǔn)等量關(guān)系”，需重點(diǎn)訓(xùn)練以下三類常見關(guān)系：3.1和差倍分關(guān)系1這類問題的關(guān)鍵是“抓住‘是’‘比’‘共’‘差’等關(guān)鍵詞”。例如：3“某班男生比女生多5人，總?cè)藬?shù)為45人”，等量關(guān)系為：男=女+5，男+女=45。2“甲、乙兩數(shù)之和為50，甲數(shù)比乙數(shù)的3倍少2”，等量關(guān)系為：甲+乙=50，甲=3乙-2；3.2公式類關(guān)系涉及幾何、物理基本公式的問題，需回憶相關(guān)公式并代入已知量。例如：行程問題：路程=速度×?xí)r間（相遇問題：甲路程+乙路程=總路程；追及問題：快者路程-慢者路程=初始距離）；工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間（合作問題：甲工作量+乙工作量=總工作量）；利潤問題：利潤=售價(jià)-成本，利潤率=利潤÷成本×100%；濃度問題：溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×濃度（混合問題：混合前溶質(zhì)質(zhì)量之和=混合后溶質(zhì)質(zhì)量）。以“相遇問題”為例：“A、B兩地相距360千米，甲車從A地出發(fā)，速度為60千米/小時(shí)，乙車從B地出發(fā)，速度為90千米/小時(shí)，兩車同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)后相遇？”其等量關(guān)系為“甲行駛路程+乙行駛路程=360千米”，設(shè)t小時(shí)后相遇，列方程60t+90t=360。3.3隱含不變量關(guān)系有些問題中存在“隱含的不變量”，如“倒出液體再加水”問題中的“純酒精總量”，“人員調(diào)配”問題中的“總?cè)藬?shù)”，“數(shù)字問題”中的“數(shù)位值”等。例如：“將濃度為20%的鹽水100克與濃度為5%的鹽水x克混合，得到濃度為10%的鹽水”，隱含不變量是“混合前后純鹽質(zhì)量不變”，列方程100×20%+x×5%=(100+x)×10%；“某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)，一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺母，問如何分配工人使產(chǎn)品配套”，隱含不變量是“螺母數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍”，設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x，生產(chǎn)螺母的為y，則x+y=28，且2×12x=18y。3.3隱含不變量關(guān)系2.4第四步：解驗(yàn)作答——規(guī)范求解過程，驗(yàn)證結(jié)果合理性解方程組是計(jì)算環(huán)節(jié)，需注意步驟規(guī)范（如代入消元法、加減消元法的正確使用）；而“驗(yàn)證”是學(xué)生最易忽略卻至關(guān)重要的一步，需從兩方面入手：數(shù)學(xué)驗(yàn)證：將解代入原方程組，檢查是否滿足每個(gè)方程；實(shí)際驗(yàn)證：檢查解是否符合實(shí)際意義（如人數(shù)不能為負(fù)數(shù)，時(shí)間不能為小數(shù)部分過長等）。例如，“某班組織春游，需租車，45座客車租金每輛250元，60座客車租金每輛300元，若租45座客車x輛，60座客車y輛，總租金不超過1500元，且剛好坐滿420人”，解得x=4，y=2，需驗(yàn)證：4×45+2×60=180+120=300≠420，說明列方程時(shí)出錯(cuò)（正確應(yīng)為45x+60y=420），這就是數(shù)學(xué)驗(yàn)證的作用。再如，“求雞兔數(shù)量”時(shí)，若解得x=-2，y=37，顯然不符合實(shí)際，需檢查設(shè)元或列方程是否錯(cuò)誤。3.3隱含不變量關(guān)系常見實(shí)際問題類型與建模示例——從典型到一般的遷移為幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握方程組建模，我將七年級(jí)下冊常見實(shí)際問題分為六大類，每類問題均有固定的建模思路，通過“示例→分析→建?！蠼狻钡牧鞒?，可實(shí)現(xiàn)“舉一反三”。061行程問題1行程問題核心公式：路程=速度×?xí)r間；相遇問題：路程和=總路程；追及問題：路程差=初始距離。示例：甲、乙兩人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，速度為15千米/小時(shí)；乙騎摩托車，速度為40千米/小時(shí)。（1）若兩人相向而行，幾小時(shí)后相遇？（2）若兩人同向而行（乙在甲后面），幾小時(shí)后乙追上甲？分析：（1）相向而行時(shí)，甲的路程+乙的路程=100千米；設(shè)t小時(shí)相遇，列方程15t+40t=100，解得t=20/11≈1.82小時(shí)。（2）同向而行時(shí)，乙的路程-甲的路程=100千米；設(shè)t小時(shí)追上，列方程40t-15t=100，解得t=4小時(shí)。072工程問題2工程問題核心公式：工作量=工作效率×工作時(shí)間；合作時(shí)，甲工作量+乙工作量=總工作量（通?？偣ぷ髁吭O(shè)為1）。示例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需15天完成。（1）甲、乙合作，幾天完成？（2）甲先做2天，剩下的由乙單獨(dú)做，還需幾天？分析：（1）甲的工作效率為1/10，乙為1/15；設(shè)合作t天完成，列方程(1/10+1/15)t=1，解得t=6天。（2）甲2天完成2×1/10=1/5，剩余4/5由乙完成；設(shè)乙需t天，列方程(1/15)t=4/5，解得t=12天（注：此題為一元一次方程，但可擴(kuò)展為兩人合作不2工程問題]）。同時(shí)間的情況，如“甲做x天，乙做y天，總天數(shù)為8天，完成工程”，則列方程組[\begin{cases}x+y=8\\frac{x}{10}+\frac{y}{15}=1\end{cases}030405060102083經(jīng)濟(jì)問題（購物、利潤、利息）3經(jīng)濟(jì)問題（購物、利潤、利息）核心公式：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；利潤=售價(jià)-成本；利息=本金×利率×?xí)r間。示例：某文具店購進(jìn)A、B兩種筆記本，A種進(jìn)價(jià)10元/本，售價(jià)15元/本；B種進(jìn)價(jià)12元/本，售價(jià)18元/本。若購進(jìn)兩種筆記本共100本，花費(fèi)1120元，全部售出后利潤為多少？分析：設(shè)購進(jìn)A種x本，B種y本，則[\begin{cases}x+y=100\10x+12y=1120\end{cases}]，解得x=40，y=60；利潤=(15-10)×40+(18-12)×60=200+360=560元。094數(shù)字問題4數(shù)字問題核心關(guān)系：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字。1示例：一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3，若交換十位與個(gè)位數(shù)字，所得新數(shù)比原數(shù)小27，求原數(shù)。2分析：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則[3\begin{cases}4y=x+3\510y+x-(10x+y)=276\end{cases}74數(shù)字問題]，化簡第二個(gè)方程得9y-9x=27→y-x=3，與第一個(gè)方程一致，說明所有十位比個(gè)位大3的兩位數(shù)（如41,52,63,74,85,96）均滿足條件，需結(jié)合實(shí)際問題是否有其他限制（如題目可能隱含“原數(shù)為整數(shù)”，但此處無額外條件，故答案不唯一）。105幾何問題（周長、面積、體積）5幾何問題（周長、面積、體積）核心公式：矩形周長=2(長+寬)，面積=長×寬；圓柱體積=底面積×高。1示例：用一根長60cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，使長比寬多4cm，求矩形的長和寬。2分析：設(shè)長為x，寬為y，則[3\begin{cases}42(x+y)=60\5x=y+46\end{cases}7]，解得x=17cm，y=13cm。8116年齡問題6年齡問題核心關(guān)系：兩人年齡差不變；若干年后（前），年齡=現(xiàn)在年齡±年數(shù)。示例：父親現(xiàn)在38歲，兒子現(xiàn)在8歲，幾年后父親年齡是兒子的3倍？分析：設(shè)x年后父親年齡是兒子的3倍，則[\begin{cases}38+x=3(8+x)\\end{cases}]（注：此題為一元一次方程，若擴(kuò)展為“父親與母親現(xiàn)在年齡和為70歲，5年前父親年齡是母親的1.2倍”，則需設(shè)父親x歲，母親y歲，列方程組[\begin{cases}x+y=70\6年齡問題010203x-5=1.2(y-5)\end{cases}]）。學(xué)生常見錯(cuò)誤與教學(xué)策略——從問題到改進(jìn)的實(shí)踐反思表現(xiàn)：未注意題目中的“同時(shí)出發(fā)”“相向而行”“打八折”等關(guān)鍵詞，導(dǎo)致等量關(guān)系錯(cuò)誤。教學(xué)策略：訓(xùn)練“逐句翻譯”法：將題目每一句話轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式（如“甲比乙多5”→甲=乙+5）；用“問題清單”引導(dǎo)審題：問題求什么？已知哪些數(shù)據(jù)？數(shù)據(jù)間有何關(guān)聯(lián)？是否有隱藏條件？4.1錯(cuò)誤類型1：審題不清，遺漏關(guān)鍵信息在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在方程組建模時(shí)易出現(xiàn)以下四類問題，需針對(duì)性改進(jìn)：在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容122錯(cuò)誤類型2：設(shè)元不合理，增加計(jì)算難度2錯(cuò)誤類型2：設(shè)元不合理，增加計(jì)算難度表現(xiàn)：直接設(shè)元導(dǎo)致方程復(fù)雜（如“求兩數(shù)之和”時(shí)設(shè)兩數(shù)分別為x和y，而實(shí)際只需設(shè)和為S）；或設(shè)元未帶單位，導(dǎo)致后續(xù)混淆。教學(xué)策略：對(duì)比教學(xué)：展示“直接設(shè)元”與“間接設(shè)元”的不同解題過程，讓學(xué)生體會(huì)哪種更簡便；強(qiáng)調(diào)“設(shè)元必帶單位”（如“設(shè)鉛筆單價(jià)為x元”），避免單位混亂。133錯(cuò)誤類型3：等量關(guān)系錯(cuò)誤，方程列反或遺漏3錯(cuò)誤類型3：等量關(guān)系錯(cuò)誤，方程列反或遺漏表現(xiàn)：將“甲是乙的3倍”列成“甲=乙÷3”，或“總路程=甲路程-乙路程”（應(yīng)為“甲路程+乙路程”）。教學(xué)策略：用“關(guān)鍵詞對(duì)應(yīng)法”：“是”對(duì)應(yīng)“=”，“比”對(duì)應(yīng)“-”或“+”，“倍”對(duì)應(yīng)“×”；結(jié)合線段圖、表格等工具直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系（如相遇問題用線段圖表示兩人路程之和）。4.4錯(cuò)誤類型4：忽略實(shí)際意義，解不符合現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)：解得人數(shù)為負(fù)數(shù)、時(shí)間為小數(shù)（如0.5小時(shí)合理，但0.3小時(shí)需轉(zhuǎn)換為18分鐘）、單價(jià)為分?jǐn)?shù)（如3.5元合理，但3.25元需檢查是否符合實(shí)際定價(jià)）