預(yù)測(cè)07圓錐曲線考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程及幾何性質(zhì)為主，難度在中等或以上；大題則主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題；命題的主要特點(diǎn)有：一是以過(guò)特殊點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2焦半徑公式：稱(chēng)到焦點(diǎn)的距離為橢圓的焦半徑①設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則（可記為“左加右減”）②焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為焦點(diǎn)三角形面積：（其中）二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)常用結(jié)論1、過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)，也叫通徑．2、與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.4、若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.三、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱(chēng)軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）一．選擇題1．若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)到直線y＝x+1的距離為2，則p＝（）A．1 B．2 C．22 D．4【解答】解：拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)（p2，0）到直線y＝x+1的距離為2可得|p2?0+1|2=2．點(diǎn)（3，0）到雙曲線x2A．95 B．85 C．65【解答】解：由題意可知，雙曲線的漸近線方程為x216?y29=0，即3x±4y＝0，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮點(diǎn)（3，0）到直線3x3．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為（）A．72 B．132 C．7 【解答】解：F1，F(xiàn)2為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，設(shè)|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因?yàn)椤螰1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，所以e=ca=4．設(shè)B是橢圓C：x25+y2＝1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在CA．52 B．6 C．5 【解答】解：B是橢圓C：x25+y2＝1的上頂點(diǎn)，所以B（0，1），點(diǎn)P在C上，設(shè)P（5cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以|當(dāng)sinθ=?14時(shí)，|PB|取得最大值，最大值為525．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在CA．13 B．12 C．9 D．6【解答】解：F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，所以|MF1|?|MF2|≤(|MF1|+|MF2|26．（壓軸）設(shè)B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，若CA．[22，1） B．[12，1） C．（0，22] 【解答】解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），設(shè)P（x0，y0），則x02a2+y02b2故|PB|2＝x02+（y0﹣b）2＝a2（1?y02b2）+（y0﹣b）2=?c2b2y02﹣2by0+a2+b2又對(duì)稱(chēng)軸y0=?b3c2＜0，當(dāng)?b3c2≤?b時(shí)，即b≥c時(shí)，則當(dāng)y0＝﹣故只需要滿足?b3c2≤?b，即b2≥c2，則a2﹣c2≥c2，所以e=ca當(dāng)?b3c2＞?b時(shí)，即b＜c時(shí)，則當(dāng)y0=?b3c2時(shí)，|PB|2最大，此時(shí)|PB|2=b4c2+a2+b2≤4b2，則a4﹣4a2c2+4c4≤0，解得a=2c二．多選題7．已知直線l：ax+by﹣r2＝0與圓C：x2+y2＝r2，點(diǎn)A（a，b），則下列說(shuō)法正確的是（）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離 C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【解答】解：∵點(diǎn)A在圓C上，∴a2+b2＝r2，∵圓心C（0，0）到直線l的距離為d=|0×a+0×b?r2|a2∵點(diǎn)A在圓C內(nèi)，∴a2+b2＜r2，∵圓心C（0，0）到直線l的距離為d=|0×a+0×b?r2|a2∵點(diǎn)A在圓C外，∴a2+b2＞r2，∵圓心C（0，0）到直線l的距離為d=|0×a+0×b?r2|a2∵點(diǎn)A在直線l上，∴a2+b2＝r2，∵圓心C（0，0）到直線l的距離為d=|0×a+0×b?r2|a2故選：ABD．8．已知點(diǎn)P在圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，點(diǎn)A（4，0），B（0，2），則（）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2 C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝32 D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝32【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），∴過(guò)A、B的直線方程為x4+y2=1，即x+2y﹣4＝0，圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16的圓心坐標(biāo)為（5，5），圓心到直線x+2∴點(diǎn)P到直線AB的距離的范圍為[1155?4，1155+4]，∵∴點(diǎn)P到直線AB的距離小于10，但不一定大于2，故A正確，B錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)過(guò)B的直線與圓相切時(shí)，滿足∠PBA最小或最大（P點(diǎn)位于P1時(shí)∠PBA最小，位于P2時(shí)∠PBA最大），此時(shí)|BC|=(5?0)2+(5?2)2=25+9=三．填空題（共5小題）9．已知雙曲線C：x2m?y2＝1（m＞0）的一條漸近線為3x+my＝0，則C【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線C：x2m?y2＝1（m＞0）的一條漸近線為3x則有m3=m，解可得m＝3，則雙曲線的方程為x23?y2故答案為：4．10．已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率【解答】解：∵雙曲線的方程是x2a2又∵離心率為e=ca=2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得由此可得雙曲線漸近線為y=±3x故答案為：11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為x=?32【解答】解：法一：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，則P（p2，p），kOP＝2，PQ⊥OP所以kPQ=?12，所以PQ的方程為：y﹣p=?12（x?p2|FQ|＝6，所以5p2?p2=6，解得法二：根據(jù)射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2=p2×6因此，拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=?32．故答案為：x12．已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x216+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形【解答】解：因?yàn)镻，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|＝|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a＝8，所以m2+2mn+n2＝64，因?yàn)閨PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48，即m2+n2＝48，所以mn＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|＝mn＝8．故答案為：8．四．解答題13．已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線x2+y2＝b2（x＞0）相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=3【解答】（Ⅰ）解：由題意可得，橢圓的離心率ca=6所以a=3，則b2＝a2﹣c2＝1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（Ⅱ）證明：先證明必要性，若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x＝my+2則圓心O（0，0）到直線MN的距離為d=2m2+1聯(lián)立方程組x=my+2x23+所以|MN|=1+下面證明充分性，當(dāng)|MN|=3時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x＝ty+s此時(shí)圓心O（0，0）到直線MN的距離d=|s|t2+1=1，則s聯(lián)立方程組x=ty+sx23+y2=1，可得（t2+3）y則Δ＝4t2s2﹣4（t2+3）（s2﹣3）＝12（t2﹣s2+3）＝24，因?yàn)閨MN|=1+t2?24t2因?yàn)橹本€MN與曲線x2+y2＝b2（x＞0）相切，所以s＞0，則s=2則直線MN的方程為x=ty+2恒過(guò)焦點(diǎn)F（2，0），故M，N，所以充分性得證．綜上所述，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=314．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4．（1）求p；（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB為C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．【解答】解：（1）點(diǎn)F(0，p2)到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為|FM|?1=（2）由（1）知，拋物線的方程為x2＝4y，即y=14x設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則易得lPA：y=x設(shè)lAB：y＝kx+b，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴Δ＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=1+k2∴S△PAB=又點(diǎn)P（2k，﹣b）在圓M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1?(b?4)2而yp＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴當(dāng)b＝5時(shí)，(S15．拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ．已知點(diǎn)M（2，0），且⊙M與l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）因?yàn)閤＝1與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故可設(shè)拋物線C的方程為：y2＝2px（p＞0），令x＝1，則y=±2p根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)P在x軸上方，Q在X軸下方，故P(1，2p因?yàn)镺P⊥OQ，故1+2p拋物線C的方程為：y2＝x，因?yàn)椤袽與l相切，故其半徑為1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．另解：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，由題意可得∠POx＝∠QOx＝45°，因此點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)為（1，±1），由題意可設(shè)拋物線C的方程為：y2＝2px（p＞0），可得p=1因此拋物線C的方程為y2＝x．而圓M的半徑為圓心M到直線l的距離為1，可得⊙M的方程為（x﹣2）2+y2＝1．（2）很明顯，對(duì)于A1A2或者A1A3斜率不存在的情況以及A2A3斜率為0的情況滿足題意．否則：設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．當(dāng)A1，A2，A3其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（假設(shè)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)），設(shè)直線A1A2方程為kx﹣y＝0，根據(jù)點(diǎn)M（2，0）到直線距離為1可得|2k|1+k2=聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x＝3，此時(shí)直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系為相切，當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即x1≠x2≠x3，直線A1A2的方程為x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，此時(shí)有，|2+y1y同理，由對(duì)稱(chēng)性可得，(y所以y2，y3是方程(y則y2依題意有，直線A2A3的方程為x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，令M到直線A2A3的距離為d，則有d2此時(shí)直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系也為相切，綜上，直線A2A3與⊙M相切．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（?17，0），F(xiàn)2（17，0），點(diǎn)M滿足|MF1|﹣|MF2|＝2．記M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=12上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|?|TB|＝|TP|?|TQ|，求直線AB的斜率與直線【解答】解：（1）由雙曲線的定義可知，M的軌跡C是雙曲線的右支，設(shè)C的方程為x2根據(jù)題意c=172a=2c∴C的方程為x2（2）設(shè)T(12，t)，直線AB的方程為y=k1(x?12)+t，A（x1，y1），B將直線AB方程代入C的方程化簡(jiǎn)并整理可得，(16?k由韋達(dá)定理有，x1又由A(x1，同理可得|BT|=1+∴|AT||BT|=(1+k設(shè)直線PQ的方程為y=k2(x?同理可得|PT||QT|=(1+又|AT||BT|＝|PT||QT|，則1+k12又k1≠k2，則k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0．一．選擇題1．已知圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0關(guān)于直線3x﹣2ay﹣11＝0對(duì)稱(chēng)，則圓C中以(aA．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：依題意可知直線過(guò)圓心（1，﹣2），即3+4a﹣11＝0，a＝2．故(a圓方程配方得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，（1，﹣1）與圓心距離為1，故弦長(zhǎng)為25?1故選：D．2．已知橢圓x225+y29=1上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是A．2 B．4 C．8 D．3【解答】解：根據(jù)橢圓的定義得：MF2＝8，由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得：|ON|＝4，故選：B．3．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)，直線l：y＝2xA．1 B．2 C．5 D．4【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)，其焦點(diǎn)在x軸上，其漸近線方程為：y＝±bax，直線l：y＝2x﹣2與x軸交點(diǎn)為（1，0），則雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為（1，0），即a＝1，若直線l平行于雙曲線4．設(shè)F是雙曲線x24?y212=1的左焦點(diǎn)，AA．5 B．5+43 C．7 D．9【解答】解：∵A點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點(diǎn)為F′（4，0），∴由雙曲線定義可得，|PF|﹣|PF′|＝2a＝4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|＝5，兩式相加得|PF|+|PA|≥9，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F′三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．則|PF|+|PA|的最小值為9．故選：D．5．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（0，?3），若線段FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，則|MFA．43 B．53 C．23【解答】解：由題意，F(xiàn)（1，0），|AF|＝2，設(shè)|MF|＝d，則M到準(zhǔn)線的距離為d，M的橫坐標(biāo)為d﹣1，由三角形相似，可得d?11=2?d2，∴d6．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則線段AB的中點(diǎn)M到直線x+1＝0的距離為（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如圖，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為x＝﹣1，即x+1＝0．分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，則有|AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝8．過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則MN為直角梯形ABDC中位線，則|MN|=12(|AC|+|BD|)=4，即M故選：B．7．已知橢圓E：x24+y2b2=1（0＜b＜2）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝2|F1BA．x24+y23C．x24+4y【解答】解：由題意，設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），∵AF2⊥x軸，∴|AF2|=b22，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c設(shè)B（x，y），由|AF1|＝2|F1B|，∴（﹣c﹣c，?b22）＝2（x+c，y），∴?2c=2x+2c則B（﹣2c，?14b2），代入橢圓方程可得c2+116b2=1，又∵b則橢圓方程為x24+8．（壓軸）設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于AA．直線AB與OM垂直 B．若直線方程為y＝2x+2，則|AB|=C．若直線方程為y＝x+1，則點(diǎn)M坐標(biāo)為(1D．若點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，1），則直線方程為2x+y﹣3＝0【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x122兩式作差得：y1+y2x1+x2×y1對(duì)于A，kAB×kOM＝k×y0x0=?2，故直線AB對(duì)于B，若直線方程為y＝2x+2，聯(lián)立方程組y=2x+2x22+y24=1，得6x2+8x＝0，解得x1＝0，x2=?對(duì)于C，菲直線方程為y＝x+1，故可得y0x0×1＝﹣2，即y0又y0＝x0+1，解得x0=?13，y0=23，即M（對(duì)于D，若點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，1），則11×k=?2，則k又AB過(guò)點(diǎn)（1，1），則直線AB的方程為y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，故D正確．故選：D．二．多選題（多選）9．以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（﹣3，﹣3） B．圓x2+y2＝4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+2=C．曲線C1：x2+y2+2x＝0與曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝4 D．已知圓C：x2+y2＝1，點(diǎn)P為直線x4+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，A，【解答】解：由（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，得3x+4y﹣3+m（x+3）＝0，聯(lián)立x+3=03x+4y?3=0，解得x=?3∴直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（﹣3，3），故A錯(cuò)誤；∵圓心（0，0）到直線l：x﹣y+2故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+2=0的距離等于1，故兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線C1：x2+y2+2x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式（x+1）2+y2＝1，曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，圓心距為(2+1)2+42=5=1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∴m4+n2=1，以O(shè)P為直徑的圓的方程為x2+y2兩圓的方程作差得直線AB的方程為：mx+ny＝1，消去n得，m（x?y2）+2令x?y2=0，2y﹣1＝0，解得x=14，y=12，故直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（110．（壓軸）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA．離心率的取值范圍為(0，B．當(dāng)離心率為24時(shí)，|QF1|的最大值為2+C．不存在點(diǎn)Q，使得QF→D．4|QF【解答】解：由題設(shè)，a＝2，則x24+y2b2=1，又P(2，1)當(dāng)e=24時(shí)，有b2∴由|QF1|+|QF2|＝4，則|QF1由c2﹣b2＝4﹣2b2＜0，即c＜b，以原點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，∴橢圓上不存在點(diǎn)Q使得QF→1?由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（4|QF1又|QF1|+|QF2|＝4，所以4|QF1|+1|Q11．（壓軸）已知點(diǎn)F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，AB，CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦且AB⊥CD，直線AB的斜率為k，且k＞0，C，A兩點(diǎn)在x軸上方，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．1ABB．若AF?BF=43pC．OA→D．四邊形ACBD面積的最小值為16p2【解答】解：由題意顯然直線AB，CD的斜率存在且不為0設(shè)直線AB的斜率為k，因?yàn)锳B⊥CD，所以直線CD的斜率為?1k，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（p2，0），則直線AB的方程為y＝k（x?p2），k＞0，聯(lián)立y=k(x?p2)y2=2px，整理可得：k2x2﹣則x1+x2＝p?k2+2k2，x1x2=14p2，所以弦長(zhǎng)|AB|＝x1+x2+p＝同理可得：|CD|＝2p（1+k2），則有1|AB|+1B中，若AF?BF=43p2，則（x1+p2）（x2+p2）＝x1x2+p2（所以p24+p2?p(kC中，OA→?OB→=x1x2+y1y2＝x1x2﹣2px1x2=同理可得OC→?OD→=?34S四邊形ABCD=12|AB|?|CD|=12?2p(1+k2)k2?2p（1+k2）＝2p2（k2+當(dāng)且僅當(dāng)k2=1k2，即k＝±1時(shí)取等號(hào)，所以D12．（壓軸）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q，直線QF與CA．直線l與x軸垂直 B．C的離心率為2+5C．C的漸近線方程為y＝±459D．|FQ|＝|OF|（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解答】解：由雙曲線的方程可得A（a，0），設(shè)F（c，0），由AQ→?AB→=可得AQ→?（AB→+BF→）=AQ→?AF→=0，所以l垂直于x設(shè)B（x0，y0），由BQ→=3FQ→，所以（c﹣x0，﹣y0）＝2（a﹣c，b），所以x0＝3c﹣2a，y0＝﹣2b，即B（3c﹣2a，﹣2b），因?yàn)锽（x0，y0）在雙曲線上，所以(3c?2a)2a2?(?2b由e=ca，可得9e2﹣12e﹣1＝0，解得e=2+由b2a2=e2﹣1＝（2+53）2﹣1不妨設(shè)Q在第一象限，則Q（a，b），所以|PQ|=|FA|2+|AQ|故選：AB．三．填空題13．橢圓x2m2+1+y2m2=1(m＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為【解答】解：由題意可得c=m2+1?m2=1，b＝m，又∵∠F1AF2=可得tan∠F1AO=1m=33，解得14．已知拋物線C以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以(p2，0)為焦點(diǎn)，直線x﹣my﹣2p＝0與拋物線C交于兩點(diǎn)A，B，直線AB上的點(diǎn)M（1，1）滿足OM⊥AB，則拋物線C的方程為y2＝2【解答】解：由已知，直線OM的斜率為1，則AB的斜率為﹣1，所以m＝﹣1，又直線AB上的點(diǎn)M（1，1），∴1+1﹣2p＝0，∴p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x．故答案為：y2＝2x．15．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2?y2b2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1作C的漸近線的垂線，垂足為P．若△F1PF【解答】解：設(shè)雙曲線C：x2?y2b2=1的一條漸近線方程為y＝bx，∴點(diǎn)F1到漸近線的距離d=bc1+b2=b，即|PF1|＝2﹣b，∴|OP|＝a＝1，△F1∴b=3，c＝2，則e=16．（壓軸）已知A，B是拋物線x2＝y(tǒng)上兩動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線的切線，若兩切線交于點(diǎn)P，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為?14，△APB面積的最小值為1【解答】解：設(shè)切點(diǎn)A（x1，x12），B（x2，x22），不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)PA方程y﹣x12＝k（x﹣x1）與拋物線方程x2＝y(tǒng)聯(lián)立，消去y得x2﹣kx+kx1﹣x12＝0，Δ＝k2﹣4kx1+4x12＝0，解得k＝2x1，∴PA的方程y﹣x12＝2x1（x﹣x1），同理PB方程y﹣x22＝2x2（x﹣x2），聯(lián)立解得交點(diǎn)P（x1+x22，∵∠APB＝90°時(shí)，kAP?kBP＝4x1x2＝﹣1，∴x1x2=?14，∴kAB=x22?由直線AB的方程為y﹣x12＝（x1+x2）（x﹣x1），即（x1+x2）x﹣y﹣x1x2＝0，故點(diǎn)P到直線AB的距離d=(x1?x2)221+(x∴S△PAB=12|AB|?d=|x1故答案為：?14；四．解答題17．已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，求直線l的斜率k的取值范圍．【解答】解：（1）由短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，可得b2+橢圓C：x2a2+y2b2=1（a所以橢圓C的方程為x24+（2）顯然x＝0不滿足題意，可設(shè)l的方程為y＝kx+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=kx+2x2+4y2=4，可得（1+4k2由Δ＝（16k）2﹣4（1+4k2）?12＞0，得k2＞34，x1+x2=?16k1+4k2，坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，即為OA→?OB即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝（1+k2）?121+4k2+2可得k2＜4．又k2＞34，即為34＜k2＜4，解得k∈（﹣2，18．已知曲線C上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1（﹣1，0）、F2（1，0）距離之和為4，直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求曲線C的方程；（2）若l不過(guò)點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，記線段AB的中點(diǎn)為M，求證：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（3）若直線l過(guò)點(diǎn)Q（0，2），求△OAB面積的最大值，以及取最大值時(shí)直線l的方程．【解答】（1）解：因?yàn)榍€C上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1（﹣1，0）、F2（1，0）距離之和為4，所以曲線C是橢圓，且2a＝4，c＝1，所以a＝2，b=3，所以曲線C的方程為：x（2）證明：因?yàn)閘不過(guò)點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，所以直線l的方程為：y＝kx+b（k≠0，b≠0），設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），M（x0，y0），則由y=kx+bx24+y23=1得（3+4k2）所以x1+x2=?8kb3+4k2，x1x2=4b2?123+4所以y0＝kx0+b=3b3+4k2，所以kOM=y所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（3）解：設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），M（x0，y0），則由y=kx+bx24+y23=1得（3+4k2）所以x1+x2=?8kb3+4k2，x1x2=因?yàn)镾△OAB=12×2×|設(shè)t＝4k2﹣1，（t＞0），則S△OAB＝43t因?yàn)閠＞0，所以t+16t+8≥此時(shí)S△OAB＝取得最大值為3，由4k2﹣1＝4得k=±52滿足k所以直線l的方程為y=±519．雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C（1）求C的離心率；（2）若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF．【解答】解：（1）當(dāng)|AF|＝|BF|且BF⊥AF時(shí)，有c+a=b2a=c2?a2（2）法一：由（1）得c＝2a，b=3a設(shè)B（x0，y0），則x0＞0，y0＞0，且x02a2?y023a2=1①當(dāng)|BF|＝|AF|且BF⊥AF時(shí)，∠BFA＝2∠BAF＝90°；②當(dāng)BF與AF不垂直時(shí)，tan∠BAF=y0x0∴tan2∠BAF=2tan∠BAF∴tan2∠BAF＝tan∠BFA，即∠BFA＝2∠BAF，綜上∠BFA＝2∠BAF．法二：延長(zhǎng)AF至點(diǎn)B'，使FB'＝FB，設(shè)B（x0，y0），則BF＝ex0﹣a＝2x0﹣a，所以B′（2x0﹣a+c，0），又因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣a，0），所以xB'+xA2=所以BA＝BB'，所以∠BAF＝∠BB'F=12∠BFA，即∠BFA20．已知拋物線D：x2＝4y，過(guò)x軸上一點(diǎn)E（不同于原點(diǎn)）的直線l與拋物線D交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），與y軸交于C點(diǎn)．（1）若EA→=λ1EC→，EB→=λ2EC→，求乘積（2）若E（4，0），過(guò)A，B分別作拋物線D的切線，兩切線交于點(diǎn)M，證明：點(diǎn)M在定直線上，求出此定直線方程．【解答】解：（1）設(shè)E（t，0）t≠0，C（0，m），∵EA→=λ1EC→，EB→=λ2EC設(shè)直線l的斜率為k，方程為y＝k（x﹣t），由y=k(x?t)x2=4y得x2﹣4kx當(dāng)Δ＝16k2﹣16kt＞0時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝4k，x1x2＝4kt，∴λ1λ2=t（2）設(shè)M（x，y），由x2＝4y可得y=x24，故y∴拋物線