21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編（2025年中考復(fù)習(xí)全國通用）專題24動點問題一、選擇題1.（2024四川樂山）如圖，在菱形中，，，點P是邊上一個動點，在延長線上找一點Q，使得點P和點Q關(guān)于點C對稱，連接交于點M．當(dāng)點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（）A. B. C. D.2.（2024四川廣元）如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（）A.5 B.7 C. D.3.（2024甘肅臨夏）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點作，垂足為．設(shè)點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（）A. B. C. D.4.（2024甘肅威武）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到中點時，的長為（）A.2 B.3 C. D.5.（2024江蘇蘇州）如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.16.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰中，，，動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A.B.C.D.二、填空題1.（2024江蘇連云港）如圖，在中，，，．點P在邊上，過點P作，垂足為D，過點D作，垂足為F．連接，取的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經(jīng)過的路徑長為__________．2.（2024江西?。┤鐖D，是的直徑，，點C在線段上運動，過點C的弦，將沿翻折交直線于點F，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時，線段的長為______．3.（2024四川涼山）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為______4.（2024黑龍江綏化）如圖，已知，點為內(nèi)部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則______．三、解答題1.（2024甘肅臨夏）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．【模型建立】（1）求證：；【模型應(yīng)用】（2）若，，，求的長；【模型遷移】（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．2.（2024河北?。┮阎陌霃綖?，弦，中，．在平面上，先將和按圖1位置擺放（點B與點N重合，點A在上，點C在內(nèi)），隨后移動，使點B在弦上移動，點A始終在上隨之移動，設(shè)．（1）當(dāng)點B與點N重合時，求劣弧的長；（2）當(dāng)時，如圖2，求點B到的距離，并求此時x的值；（3）設(shè)點O到的距離為d．①當(dāng)點A在劣弧上，且過點A的切線與垂直時，求d的值；②直接寫出d的最小值．3.（2024江蘇蘇州）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．（1）求m，k的值；（2）點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．4.（2024黑龍江齊齊哈爾）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．5.（2024吉林?。┤鐖D，在中，，，，是的角平分線．動點P從點A出發(fā)，以的速度沿折線向終點B運動．過點P作，交于點Q，以為邊作等邊三角形，且點C，E在同側(cè)，設(shè)點P的運動時間為，與重合部分圖形的面積為．（1）當(dāng)點P在線段上運動時，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點E與點C重合時，求t的值．（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．6.（2024山東威海）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設(shè)的面積為，點的運動時間為秒．（1）求證：；（2）求與的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求為何值時，線段的長度最短．7.（2024天津市）將一個平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點在第一象限，且．（1）填空：如圖①，點的坐標(biāo)為______，點的坐標(biāo)為______；（2）若為軸的正半軸上一動點，過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應(yīng)點落在軸的正半軸上，點的對應(yīng)點為．設(shè)．①如圖②，若直線與邊相交于點，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時，與相交于點．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．8.（2024四川德陽）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)時，求的函數(shù)值的取值范圍；（3）將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．9.（2024四川南充）如圖，正方形邊長為，點E為對角線上一點，，點P在邊上以速度由點A向點B運動，同時點Q在邊上以的速度由點C向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（）．（1）求證：．（2）當(dāng)是直角三角形時，求t的值．（3）連接，當(dāng)時，求的面積．2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編（2025年中考復(fù)習(xí)全國通用）專題24動點問題一、選擇題1.（2024四川樂山）如圖，在菱形中，，，點P是邊上一個動點，在延長線上找一點Q，使得點P和點Q關(guān)于點C對稱，連接交于點M．當(dāng)點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上點M的運動路徑．過點C作交于點H，根據(jù)，四邊形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再證明，得出，證明垂直平分，點M在上運動，根據(jù)解直角三角形．即可求解．【詳解】解：過點C作交于點H，∵，四邊形是菱形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分，∵點P和點Q關(guān)于點C對稱，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分，∴點M在上運動，當(dāng)點P與點B重合時，點M位于點，此時，∵，四邊形是菱形，，∴，∴．故點M的運動路徑長為．故選：B．2.（2024四川廣元）如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（）A.5 B.7 C. D.【答案】A【解析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，由圖象可知，面積最大值為6，此時當(dāng)點P運動到點C，得到，由圖象可知，根據(jù)勾股定理，結(jié)合完全平方公式即可求解．【詳解】解：由圖象可知，面積最大值為6由題意可得，當(dāng)點P運動到點C時，的面積最大，∴，即，由圖象可知，當(dāng)時，，此時點P運動到點B，∴，∵，∴，∴．故選：A3.（2024甘肅臨夏）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點作，垂足為．設(shè)點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解．由圖象得：，當(dāng)時，，此時點P在邊上，設(shè)此時，則，，在中，，即：，解得：，，故選：B．4.（2024甘肅威武）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到中點時，的長為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時，，當(dāng)點P運動到點B時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點P運動到中點時，的長為，解得即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時，，當(dāng)點P運動到點B時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，故，當(dāng)點P運動到中點時，的長為，故選C．5.（2024江蘇蘇州）如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動點軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵．連接，交于點，取中點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓弧．∴的最大值為的長，即．故選：D．6.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰中，，，動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當(dāng)與重合時，及當(dāng)時圖象的走勢，和當(dāng)時圖象的走勢即可得到答案．【詳解】當(dāng)與重合時，設(shè)，由題可得：∴，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)在下方時，設(shè)，由題可得：∴，，∵，,∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確，故選：A．二、填空題1.（2024江蘇連云港）如圖，在中，，，．點P在邊上，過點P作，垂足為D，過點D作，垂足為F．連接，取的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經(jīng)過的路徑長為__________．【答案】##【解析】本題考查含30度角的直角三角形，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，兩點間的距離，以為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出點的坐標(biāo)，得到點在直線上運動，求出點分別與重合時，點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：以為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，則：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，過點作，則：，∴，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵為的中點，∴，令，則：，∴點在直線上運動，當(dāng)點與重合時，，此時，當(dāng)點與重合時，，此時，∴點E所經(jīng)過的路徑長為；故答案為：．2.（2024江西?。┤鐖D，是的直徑，，點C在線段上運動，過點C的弦，將沿翻折交直線于點F，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時，線段的長為______．【答案】或或2【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)，可得或2，利用勾股定理進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】為直徑，為弦，，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時，或2，當(dāng)時，即為直徑，將沿翻折交直線于點F，此時與點重合，故；當(dāng)時，且在點在線段之間，如圖，連接，此時，，，，，；當(dāng)時，且點在線段之間，連接，同理可得，，綜上，可得線段的長為或或2，故答案為：或或2．3.（2024四川涼山）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為______【答案】【解析】【分析】記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接；由直線解析式可求得點A、K的坐標(biāo)，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當(dāng)最小時，最小，點P與點K重合，此時最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結(jié)果．【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接，當(dāng)，，當(dāng)，即，解得：，即；而，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵與相切，∴，∴，∵，∴當(dāng)最小時即最小，∴當(dāng)時，取得最小值，即點P與點K重合，此時最小值為，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值為．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．4.（2024黑龍江綏化）如圖，已知，點為內(nèi)部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則______．【答案】##度【解析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點P關(guān)于，的對稱點．連接．則當(dāng)，是與，的交點時，的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】作關(guān)于，的對稱點．連接．則當(dāng)，是與，的交點時，的周長最短，連接，關(guān)于對稱，∴，同理，，，，，是等腰三角形．，故答案為：．三、解答題1.（2024甘肅臨夏）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．【模型建立】（1）求證：；【模型應(yīng)用】（2）若，，，求的長；【模型遷移】（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出，即可得證；（2）延長交于點，證明，得到，再證明，求出的長，進(jìn)而求出的長；（3）設(shè)正方形的邊長為，延長交于點，證明，得到，進(jìn)而得到，勾股定理求出，進(jìn)而求出的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延長交于點，∵矩形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）設(shè)正方形的邊長為，則：，延長交于點，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．2.（2024河北省）已知的半徑為3，弦，中，．在平面上，先將和按圖1位置擺放（點B與點N重合，點A在上，點C在內(nèi)），隨后移動，使點B在弦上移動，點A始終在上隨之移動，設(shè)．（1）當(dāng)點B與點N重合時，求劣弧的長；（2）當(dāng)時，如圖2，求點B到的距離，并求此時x的值；（3）設(shè)點O到的距離為d．①當(dāng)點A在劣弧上，且過點A的切線與垂直時，求d的值；②直接寫出d的最小值．【答案】（1）（2）點B到的距離為；（3）①；②【解析】【分析】（1）如圖，連接，，先證明為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合弧長公式可得答案；（2）過作于，過作于，連接，證明四邊形是矩形，可得，，再結(jié)合勾股定理可得答案；（3）①如圖，由過點A的切線與垂直，可得過圓心，過作于，過作于，而，可得四邊形為矩形，可得，再進(jìn)一步利用勾股定理與銳角三角函數(shù)可得答案；②如圖，當(dāng)為中點時，過作于，過作于，，此時最短，如圖，過作于，而，證明，求解，再結(jié)合等角的三角函數(shù)可得答案．【小問1詳解】解：如圖，連接，，∵的半徑為3，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴的長為；【小問2詳解】解：過作于，過作于，連接，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴點B到的距離為；∵，，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：①如圖，∵過點A的切線與垂直，∴過圓心，過作于，過作于，而，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如圖，當(dāng)為中點時，過作于，過作于，∴，∴，此時最短，如圖，過作于，而，∵為中點，則，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：（不符合題意的根舍去），∴的最小值為．【點睛】本題屬于圓的綜合題，難度很大，考查了勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．3.（2024江蘇蘇州）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．（1）求m，k的值；（2）點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）最大值是，此時【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）先求出B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式，把D的坐標(biāo)代入直線的函數(shù)表達(dá)式求出m，再把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k即可；（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點P的坐標(biāo)為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：，，．又，．，點．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．將點代入，得．．將代入，得．【小問2詳解】解：延長交y軸于點Q，交于點L．，，．軸，，．，，，．設(shè)點P的坐標(biāo)為，，則，．．．當(dāng)時，有最大值，此時．4.（2024黑龍江齊齊哈爾）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點A、C的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對稱軸的點,則，由兩點間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．【小問1詳解】解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．【小問2詳解】解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點D的坐標(biāo)為．【小問3詳解】解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設(shè)，則,∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時，，∴．【小問4詳解】解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關(guān)于對稱軸的點,則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．5.（2024吉林省）如圖，在中，，，，是的角平分線．動點P從點A出發(fā)，以的速度沿折線向終點B運動．過點P作，交于點Q，以為邊作等邊三角形，且點C，E在同側(cè)，設(shè)點P的運動時間為，與重合部分圖形的面積為．（1）當(dāng)點P在線段上運動時，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點E與點C重合時，求t的值．（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）等腰三角形，（2）（3）【解析】【分析】（1）過點Q作于點H，根據(jù)“平行線+角平分線”即可得到，由，得到，解得到；（2）由為等邊三角形得到，而，則，故，解得；（3）當(dāng)點P在上，點E在上，重合部分為，過點P作于點G，，則，此時；當(dāng)點P在上，點E在延長線上時，記與交于點F，此時重合部分為四邊形，此時，因此，故可得，此時；當(dāng)點P在上，重合部分為，此時，，解直角三角形得，故，此時，再綜上即可求解．【小問1詳解】解：過點Q作于點H，由題意得：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，∴在中，；【小問2詳解】解：如圖，∵為等邊三角形，∴，由（1）得，∴，即，∴；【小問3詳解】解：當(dāng)點P在上，點E在上，重合部分為，過點P作于點G，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，由（2）知當(dāng)點E與點C重合時，，∴；當(dāng)點P在上，點E在延長線上時，記與交于點F，此時重合部分為四邊形，如圖，∵是等邊三角形，∴，而，∴，∴，∴，當(dāng)點P與點D重合時，在中，，∴，∴；當(dāng)點P在上，重合部分為，如圖，∵，由上知，∴，∴此時，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)點P與點B重合時，，解得：，∴，綜上所述：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．6.（2024山東威海）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設(shè)的面積為，點的運動時間為秒．（1）求證：；（2）求與的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求為何值時，線段的長度最短．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（）設(shè)與相交于點，證明，可得，，利用三角形外角性質(zhì)可得，即得，即可求證；（）過點作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達(dá)式，最后由，可得自變量的取值范圍；（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長度最短，即的長度最短，當(dāng)時，取最短，又由菱形的性質(zhì)可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】證明：設(shè)與相交于點，∵四邊形為菱形，∴，，，∵∴，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：過點作于，則，∵，∴，∵四邊形為菱形，，∴，，即，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】解：∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴線段的長度最短，即的長度最短，當(dāng)時，取最短，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時，線段的長度最短．7.（2024天津市）將一個平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點在第一象限，且．（1）填空：如圖①，點的坐標(biāo)為______，點的坐標(biāo)為______；（2）若為軸的正半軸上一動點，過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應(yīng)點落在軸的正半軸上，點的對應(yīng)點為．設(shè)．①如圖②，若直線與邊相交于點，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時，與相交于點．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出結(jié)合勾股定理，即可作答．（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運用線段的和差關(guān)系列式化簡，，考慮當(dāng)與點重合時，和當(dāng)與點B重合時，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出，再分別以時，時，，分別作圖，運用數(shù)形結(jié)合思路列式計算，即可作答．【小問1詳解】解：如圖：過點C作∵四邊形是平行四邊形，，∴∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：，【小問2詳解】解：①∵過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應(yīng)點落在軸的正半軸上，∴，，∴∵∴∴∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴是等邊三角形∴∵∴∴；當(dāng)與點重合時，此時與的交點為E與A重合，如圖：當(dāng)與點B重合時，此時與的交點為E與B重合，∴的取值范圍為；②如圖：過點C作由（1）得出，∴，∴當(dāng)時，∴，開口向上，對稱軸直線∴在時，隨著的增大而增大∴；當(dāng)時，如圖：∴，隨著的增大而增大∴在時；在時；∴當(dāng)時，∵當(dāng)時，過點E作，如圖：∵由①得出是等邊三角形，∴，∴，∴∵∴開口向下，在時，有最大值∴在時，∴則在時，；當(dāng)時，如圖，∴，隨著的增大而減小∴在時，則把分別代入得出，∴在時，綜上：【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．8.（2024四川德陽）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（