高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省吉林市某重點學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線過點，且直線的一個方向向量為，則直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為，又因為直線過點，故該直線的方程為.故選：B.2.若雙曲線（，）的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則離心率，解得，即漸近線方程為，代入可得，整理可得.故選：D.3.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】由題意圓：即圓：的圓心，半徑分別為，圓：即圓：的圓心，半徑分別為，所以兩圓的圓心距滿足，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：B.4.若拋物線的準(zhǔn)線為直線，則截圓所得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為原點，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，截圓所得的弦長為，故選：A.5.已知等比數(shù)列中，，且，那么的值是（）.A.15 B.31 C.63 D.64【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題得.所以.故選：B6.已知雙曲線（）的兩條漸近線為，，過雙曲線右焦點且垂直于軸的直線交，分別于點，，為坐標(biāo)原點，若的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由雙曲線方程得其漸近線方程為，由題知軸且過右焦點，令，得，.則面積，解得.雙曲線（），，解得.故選：.7.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時，斜率最小，設(shè)，則，解得或（舍去），即的最小值為.故選：C.8.定義：對任意，都有（為常數(shù)），稱數(shù)列為“等和”數(shù)列.設(shè)“等和”數(shù)列的首項為，直線過定點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直線變形得：，當(dāng)時，所以直線過定點，即，由數(shù)列為“等和”數(shù)列且（為常數(shù)），所以，所以等和”數(shù)列的奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為2，所以，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則（）A.直線過定點B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，兩直線之間的距離為1【答案】CD〖祥解〗根據(jù)給定的直線的方程，結(jié)合各選項中的條件逐一判斷作答.【解析】依題意，直線，由解得：，因此直線恒過定點，A不正確；當(dāng)時，直線，而直線，顯然，即直線不垂直，B不正確；當(dāng)時，直線，而直線，顯然，即，C正確；當(dāng)時，有，解得，即直線，因此直線之間的距離，D正確.故選：CD.10.公差為的等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.C.中最大 D.【答案】CD【解析】A：由，得，由，得，所以，所以，故A錯誤；B：由選項A的分析知，，故B錯誤；C：因為，，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，其前6項為正，從第7項起均為負(fù)，故最大，故C正確；D：由選項A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正確.故選：CD.11.（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，B兩點，若的最大值為5，則（）A.橢圓的短軸長為 B.當(dāng)最大時，C.離心率為 D.的最小值為3【答案】ABD【解析】由題意知，所以．因為的最大值為5，所以的最小值為3，故D正確．當(dāng)且僅當(dāng)軸時，取得最小值，此時，故B正確．由B的分析，不妨令，代入橢圓方程，得．又，所以，得，所以橢圓的短軸長為，故A正確．易得，所以，故C錯誤．故選：ABD.三、填空題（每題5分，共4小題，共20分）12.如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點，設(shè)，，，請用，，的線性組合表示______．【答案】【解析】因為即故答案為：.13.兩個正數(shù)、的等差中項是，等比中項是，且，則橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】因為兩個正數(shù)、的等差中項是，等比中項是，且，則，解得，所以，故.故答案為：.14.已知P是拋物線上一動點，過點P作圓C：兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．【答案】【解析】由題意知圓故半徑為1，設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，即當(dāng)時，取得最小值，且所以又所以故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.橢圓（）的左右焦點分別為，，其中，為原點．橢圓上任意一點到，距離之和為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，面積為，求的方程．解：（1）由題意得，，解得，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.（2）由題意，直線斜率不存在時，不能構(gòu)成，故設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，解得或，則，所以，設(shè)到直線的距離為，則，所以，解得或，所以直線的方程為或或.或.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.解：（1）設(shè)公比為，公差為，所以，解得，所以，所以，所以，解得，所以.（2）因為，所以數(shù)列的前n項和.17.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點.若，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接，如圖所示：因為分別為的中點，所以，且.又因為是的中點，所以，.所以，，則四邊形為平行四邊形，即.因為平面，平面，，所以平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系.，，則，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，設(shè)，則.又，則點到平面的距離.（3）解：由（2）知平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知數(shù)列和，數(shù)列的前n項和，（），數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）若對一切恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，.又也符合上式，所以（）.因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）解：由，得，故，，則，兩式相減得，即.（3）解：因為，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，易得，所以，故是數(shù)列中的最大項，且.要使對一切恒成立，只需即可，故實數(shù)m的取值范圍為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，點，分別是橢圓：的右頂點，上頂點，若的離心率為，且到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，其中點在第一象限，點在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值，并求出該定值；（ii）設(shè)直線與軸交于點，求的面積的最大值.（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，因為橢圓的離心率為，所以，即，據(jù)，得，即.所以直線的方程為，即，因為原點到直線的距離為，故，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）證明：設(shè)直線的方程為，其中，且，即，設(shè)直線與橢圓交于點，聯(lián)立方程組整理得，所以，，所以為定值，得證；（ii）解：法一：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為，令，得，故聯(lián)立方程組整理得，解得或0（舍），，所以的面積，由（i）可知，，故，代入上式，所以，因為點在軸下方且不在軸上，故或，得，所以，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故只需考慮，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，不等式取等號，所以的面積的最