高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市2026屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數(shù)，若的實部與虛部相等，則實數(shù)的值為（）A.3 B.1 C.－1 D.－3【答案】A【解析】因為，且的實部與虛部相等，故，解得，故選：A.2.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以或，又，所以.故選：D.3.已知，命題是一元二次方程的一個根，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】對于命題，為方程的根，則，充分性成立；對于命題，且，則必是題設方程的一個根，必要性成立；所以是的充分必要條件.故選：C.4.在中，是的中點，是的中點．若，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】，所以，所以.故選：B.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A.－3 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題意知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，而，故，則，故選：C.6.在數(shù)列中，，若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（）A.2048 B.2047 C.1024 D.1023【答案】D【解析】數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則有，所以，因此數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.7.在四邊形中，，，.若四邊形的面積為，則實數(shù)的值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】因為，，，所以四邊形為梯形，又，所以，即，所以四邊形為直角梯形，則，又四邊形的面積為，所以，所以，所以.故選：C.8.已知函數(shù)的三個零點為，，，且，則下列結論不正確的是（）A.在上單調(diào)遞減 B.曲線是中心對稱圖形C.，都有 D.，都有【答案】D【解析】對A：由，則其定義域為，，則當時，恒成立，故在、、上單調(diào)遞減，故A正確；對B：，又定義域為，故曲線關于點對稱，即曲線是中心對稱圖形，故B正確；對C：由在、、上單調(diào)遞減，且函數(shù)有三個零點，則，，，則，有，又，即，則，由，則，則，又，且，在上單調(diào)遞減，故對恒成立，故C正確；對D：取，則，則有，，即，，此時，故D錯誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由可知，，所以，即，故A錯誤；，故B正確；，所以，故C錯誤；，由以上可知，，，所以，即，故D正確.故選：BD.10.在直角坐標系中，已知是以為圓心的單位圓，點的坐標為，角的始邊為射線，終邊交圓于點，過點作直線的垂線，垂足為．若將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則（）A. B.的最小正周期為C.是的一個單調(diào)減區(qū)間 D.的最大值為【答案】ACD【解析】單位圓上，為到x軸的垂足，故，直線的直線方程為，即，則點到直線的距離，對于A，，正確；對于B，因為，所以不是的周期，錯誤；對于C，，所以，所以，因為在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，正確；對于D，，當且僅當時等號成立，正確.故選：ACD.11.設正項數(shù)列的前項和為，若，且對任意的正整數(shù)都有，，稱是“數(shù)列”．下列結論正確的是（）．A.若是首項為1公差為2的等差數(shù)列，則是“3－數(shù)列”B.若是“2－數(shù)列”，則不可能存在正整數(shù)，滿足C.若是“數(shù)列”，且，則的最小值是4D.任給，若，且，則是“數(shù)列”【答案】ABC【解析】對于A，若是首項為1公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，，所以，所以是“3－數(shù)列”，正確；對于B，若是“2－數(shù)列”，則，所以，，所以，假設時，有，則時，，所以，綜上，，正確；對于C，因為，所以，，若是“數(shù)列”，則，即，所以，時，，不合題意；，時，，不合題意；，時，，不合題意；時，恒成立，所以的最小值是4，正確；對于D，，，，取，時，，不滿足恒成立，錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，其中．若，則的最大值為______．【答案】【解析】由題意得，，，因為，所以，即，．所以，即，當且僅當，時等號成立.所以的最大值為.故答案為：.13.在2025年江蘇省城市足球聯(lián)賽（簡稱“蘇超”）的一場激烈比賽中，某城市隊的10號球員從點出發(fā)，以2.5米/秒的速度做勻速直線運動，到達點時，發(fā)現(xiàn)足球在點處正以3倍于自己的速度向點做勻速直線滾動.已知米，米，.若忽略該球員轉身所需的時間，則該球員按原來的速度最快截住足球所用的時間為______秒．【答案】【解析】如圖設在處截住足球，時間設為秒，則，，則，又，，在中，利用余弦定理可知，，則，化簡得，解得或，所以該球員按原來的速度最快截住足球所用的時間為秒.故答案為：.14.設函數(shù)，，其中，．若，，則的最小值為______；若恒成立，則的最大值為______．【答案】①.0②.【解析】若，，則，，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，且，，可知在內(nèi)存在唯一零點，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以的最小值為0；若，即，可知當時，在直線的上方，如圖所示：結合圖象可得，即，可知，設，即，可得，因為該不等式組在內(nèi)有解，則，解得，所以當，時，取到最大值.故答案為：0；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，所對的邊為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值．解：（1）由正弦定理，因為，所以，所以，整理得，所以，所以或，所以或（舍去），而,，所以，所以.（2）因為，所以，所以，所以，所以.16.已知向量，，設函數(shù)．（1）若，，求的值；（2）將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關于直線對稱，求在上的最大值和最小值．解：（1）因為，，所以，所以，即，因為，則，則，所以，所以.（2）由（1）知，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）可得到，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，即，因為，所以，因此，因為，所以，則，即，所以在上的最大值為1，最小值為.17.已知函數(shù)．（1）求過點且與曲線相切的直線方程；（2）令，若有兩個極值點，，記過兩點，的直線斜率為．是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，試說明理由．解：（1）設過點且與曲線相切的直線與切于點，由得，所以，所以切線方程為，即，該切線過點，所以，即，解得或，所以或；（2），則，由題意有兩個不等的實根，，所以，即，則，所以，解得或，又，所以.18.設數(shù)列的前項和為，已知，，其中，為常數(shù)．（1）當時，若，，求數(shù)列的通項公式；（2）若．（?。┳C明：數(shù)列為等差數(shù)列；（ⅱ）若8，，成等比數(shù)列，當為何值時，取得最大值，請說明理由．（1）解：當時，，則，兩式相減，得：．因為，所以，則，符合式，故，所以．因此當時，，累乘，得：．因為，所以，當時，，又因為滿足上式，故．（2）（i）證明：因為①所以②由②－①，得：③所以④由④－③，得：，即，因此，所以，當時為等差數(shù)列．因為，又因為，解得，因此，所以為等差數(shù)列．（ii）解：因為成等比數(shù)列，所以．設等差數(shù)列的公差為，則，所以，從而，且，故等差數(shù)列是首項為正數(shù)的遞減數(shù)列．由，即解得，所以，令，因此，而。所以，又所以中，最大，即當時，取得最大值．19.設，是實數(shù)，函數(shù)．（1）當時，（ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ⅱ）若在上恒成立，求的值．（2）當時，證明：函數(shù)有兩個極值點，且.（1）解：（i）當時，，則對于開口向下的二次函數(shù)，因為，所以必有唯一正根．因此當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．綜上：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（ii）在上恒成立等價于在上恒成立．注意到．則當時，，由第（i）問的單調(diào)性知在上恒成立．當時，，此時當時，單調(diào)遞增