高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市宜興市2025-2026學年高一上學期11月期中調(diào)研考試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系得：命題“”的否定為“”.故選：C.3.“均為有理數(shù)”是“為有理數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由均為有理數(shù)，可得為有理數(shù)，即充分性成立；反之：取，此時為有理數(shù)，但為無理數(shù)，即必要性不成立，所以“為有理數(shù)”是“為有理數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A. B. C.8 D.9【答案】D【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，設(shè)，又因為函數(shù)的圖象過點，可得，可得，所以，所以.故選：D.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，又定義域為，故為奇函數(shù)，故可排除B；當時，，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故可排除C、D.故選：A.6.設(shè)，則的大小順序為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.7.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，則有，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，若任意且時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，即有，令，則當且時，有，故在上單調(diào)遞增，由是定義在上的偶函數(shù)，則，故也是定義在上的偶函數(shù)，則，即，又，則可化為，化簡得，故，即有，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對A：由，所以為非負整數(shù)，即自然數(shù).故對，故A正確；對B：例如取，則，故，故B正確；對C：當時，，當時，，故，故C正確；對D：由，故不存在，使得，故D錯誤.故選：ABC.10.已知，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對A：，當且僅當，即、時，等號成立，故的最大值為，故A正確；對B：由，則，則，，故的最小值為，當且僅當時，等號成立，故B正確；對C：，當且僅當，即、時，等號成立，故，故C錯誤；對D：，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，故D正確.故選：ABD.11.已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且在上均單調(diào)遞增，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且在上均遞增，則在上遞減，在上遞增，對于A，由，可得，但與的符號不能確定，所以和大小不確定，即與大小不確定，所以A不正確；對于B，由，因為，又由，因為，所以，所以B正確；對于C，由，則，可得，即，所以C正確；對于D，由，且，因為，可得，所以，所以，所以D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知某班有50名同學，據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)同學們喜歡的奧運比賽項目都集中在乒乓球、跳水、射擊這三個，其中有13名同學只喜歡乒乓球比賽，10名同學只喜歡跳水比賽，8名同學只喜歡射擊比賽，同時喜歡乒乓球與跳水比賽的同學有13名，同時喜歡乒乓球與射擊比賽的同學有12名，同時喜歡跳水與射擊比賽的同學有10名，則該班同時喜歡乒乓球、跳水、射擊比賽的同學有___________人．【答案】8【解析】如圖，設(shè)該班同時喜歡乒乓球、跳水、射擊比賽的同學有人，則由圖可得，解得，故該班同時喜歡乒乓球、跳水、射擊比賽的同學有8人.故答案為：.13.已知定義在上的函數(shù)滿足，且．請寫出一個滿足條件的的解析式___________．【答案】（答案不唯一）【解析】由對數(shù)的運算法則知：，則滿足，且的一個函數(shù)解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.14.已知定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)滿足．若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】由定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)滿足，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，由不等式，可得，即，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，則在上恒成立，即在上恒成立，因為，當且僅當時，即時，等號成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知，，且，求實數(shù)的值；（2）已知，且，求的值．解：（1）由，則，則，故；（2），則，則，由，則在上單調(diào)遞減，則，故.16.已知是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)，的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，即，又由，可得，即，聯(lián)立方程組，解得.（2）函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù).證明如下：由（1）知，函數(shù)，可函數(shù)的定義域為，任取，且，則，因為，所以，可得，所以，即，所以函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù).（3）解：因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，則不等式，即為，由（2）知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，可得，又因為對任意實數(shù)，不等式恒成立，即對任意實數(shù)，不等式恒成立，因為，所以，即實數(shù)的取值范圍為.17.某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入200萬元購進一套生產(chǎn)設(shè)備，預計使用該設(shè)備后，前）年的支出成本為萬元，每年的銷售收入112萬元，設(shè)前年的總盈利額為萬元．（1）寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出從第幾年開始盈利；（2）使用若干年后，對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當總盈利額達到最大值時，以10萬元價格處理該設(shè)備；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，以50萬元價格處理該設(shè)備．你認為哪種方案較為合理？請說明理由．（注：年平均盈利額為）解：（1）由題意知，前的總收入為萬元，總成本為萬元，所以總盈利額為，其中，令，即，即，解得，且，所以第3年該公司可以盈利.（2）由（1）知，其中，方案一：由函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象開口向下，對稱軸為，當時，可得；當時，可得，所以當時，方案一的總獲利取得最大值，最大值為萬元；方案二：前年的平均利潤為，因為，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即時，平均利潤取得最大值，當時，可得萬元，所以方案二的總盈利為萬元，綜上，可得方案一與方案二的總盈利都是萬元，方案二更早實現(xiàn)收益，所以方案二更為合理，因為資金回收更早，提高了資金使用效率，降低風險.18.對于函數(shù)，若存在實數(shù)對，使得等式對定義域中的每一個都成立，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“型函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是“型函數(shù)”，求的值；（3）已知函數(shù)是“型函數(shù)”，且時，．若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)不是“型函數(shù)”.理由：由函數(shù)，可得，即，不存在實數(shù)對使得對于定義域內(nèi)的任意都成立，所以函數(shù)不是“型函數(shù)”.（2）因為函數(shù)是“型函數(shù)”，可得，即對于定義域上的任意都成立，所以，則.（3）由函數(shù)是“型函數(shù)”，可得，令，可得，解得，滿足，又由當時，，則時，可得，則，要使得對任意，都有，只需對任意，都有，令，因為，可得，且，因為的圖象開口向上，且對稱軸為，當時，即時，函數(shù)在單調(diào)遞增，則滿足，解得，所以當時，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在遞增，則滿足，解得，所以當時，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，則滿足，解得，所以，綜上可得，滿足，即實數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當時，．（1）若．①求時，的表達式；②求不等式的解集；（2）若對于任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）①由，則當時，；當時，有，則，又函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，則，故當時，；②由題可