第1講半配半湊法構造有奇偶性的函數(shù)在教學函數(shù)的奇偶性時，構造有奇偶性的解析函數(shù)研究數(shù)學問題方面，老師們一般會講將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于在教學函數(shù)的奇偶性時，構造有奇偶性的解析函數(shù)研究數(shù)學問題方面，老師們一般會講將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．關于常見構造有奇偶性的解析函數(shù)的方法還有那些，往往語焉不詳，特別是函數(shù)的綜合性問題，尤其是與導數(shù)相結合時，常用半配半湊法，很多老師都不清楚.若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記g(x)＝eq\f(1,2)[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝eq\f(1,2)[f(x)－f(－x)]，則f(x)＝g(x)＋h(x).本專題主要講半配半湊法，供同仁們教學參考，學生備戰(zhàn)2024高考的培優(yōu)專題.系統(tǒng)歸納構造有奇偶性的解析函數(shù)的常見六種方法.題型一題型一含結構名師導航名師導航若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，定義在R上的函數(shù)滿足，則為奇函數(shù)．【典例1】設定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，若存在，求的取值范圍．【分析】構造，由已知條件有，即為奇函數(shù)又時，可判斷單調(diào)遞減，結合的規(guī)則有即可求的取值范圍.解析：構造函數(shù)，因為∴∴為奇函數(shù)，當時，，在上單調(diào)遞減∴在R上單調(diào)遞減.∵存在，所以∴，化簡得∴，即.【典例2】已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時，恒成立，解不等式.【分析】結合已知不等式，構造新函數(shù)，結合單調(diào)性及奇偶性，列出不等式，即可求解.解析：由題意，當時，恒成立，即恒成立又由，可得令，可得，則函數(shù)為偶函數(shù)且當時，單調(diào)遞增，結合偶函數(shù)的對稱性可得在上單調(diào)遞減由化簡得到即，所以，解得即不等式的解集為.故不等式的解集為.【典例3】設函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若，則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可得，即可求出，進而可求.解析：是奇函數(shù)，，即即，，.故選：C.能力達標訓練1.已知定義域為的函數(shù)，又當時，，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【分析】由給定函數(shù)等式變形，構造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，然后將不等式整理變形為求解即得.解析：，，令，即有，是R上的偶函數(shù)因當時，則，當且僅當時取“=”，于是得在上單調(diào)遞增即，于是得因此，，解得所以所求不等式的解集是.故選：A設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對任意的實數(shù)都有，當時，.若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】構造函數(shù)解析：令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)因為，即故為奇函數(shù)，于是在上為減函數(shù)而不等式可化為，則即.選A.設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對于任意的實數(shù)，都有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】令，可得，知為上的奇函數(shù)；根據(jù)可推導得到當時，，結合奇偶性可得單調(diào)性；將所求不等式轉化為，由單調(diào)性可得，從而得到的取值范圍.解析：由得：令，則，為上的奇函數(shù)當時，由得：，在上單調(diào)遞減；又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減由得：即，解得：即實數(shù)的取值范圍為.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足．當時，；若，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)可得在遞減，結合條件可得是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，進而即得.解析：令，則∵當時，，故∴在遞減，而，∴，∴∴是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減若，則∴，∴，即.設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對任意的有，且當時，.若的零點有個．【分析】先構造函數(shù)再求函數(shù)F(x)的單調(diào)性和奇偶性，再利用函數(shù)的性質(zhì)化簡得到a>e，最后利用分離參數(shù)數(shù)形結合求零點的個數(shù).解析：令則所以函數(shù)F(x)在上是增函數(shù)由題得所以函數(shù)F(x)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù).因為所以-＜.所以F(2e-a)＜F(a),所以2e-a<a,所以a>e.因為所以a=的圖像如圖所示，所以當a>e時，g(x)有兩個零點.設函數(shù)在上存在導數(shù)，，有，在上，若，則實數(shù)的取值范圍為．【分析】根據(jù)題意構造函數(shù)，推出為奇函數(shù)，判斷的單調(diào)性，即可求得實數(shù)的取值范圍.解析：因為，所以令，則所以為奇函數(shù)，因為時，所以在上為減函數(shù)因為為奇函數(shù)，所以在也為減函數(shù)令，則，得所以在上為減函數(shù)，因為所以所以所以所以，所以所以，得所以實數(shù)的取值范圍為.設函數(shù)在上存在導數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】構造，由，可得為奇函數(shù)，利用導數(shù)可知在上單調(diào)遞減，結合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.解析：，令，且，則在上單調(diào)遞減.又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.，且代入得，轉化為，即由于在上遞減，則，解得：.題型二題型二含結構名師導航名師導航若函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，定義在R上的函數(shù)滿足，則為偶函數(shù)．【典例4】設函數(shù)在上存在導函數(shù)，，有，在上有，若，求實數(shù)的取值范圍．【分析】構造函數(shù)，進而研究其單調(diào)性和奇偶性，將變形為，再利用的單調(diào)性解不等式即可.解析：令，有．所以為R上的偶函數(shù)，又在上有所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又所以，即，解之得，.能力達標訓練設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，若，且當時，，則不等式的解集為．【分析】先構造函數(shù)令，由題意判斷出的奇偶性和單調(diào)性，將不等式轉化成，即，由函數(shù)單調(diào)性可得到，解得即可．解析：令，則由，可得，故為偶函數(shù)又當時，，即在上為增函數(shù)．不等式化為由函數(shù)單調(diào)性奇偶性可知：，解得．設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對任意的實數(shù)都有，當.若，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】設，判斷的奇偶性和單調(diào)性，得出的范圍．解析：設，則∴是偶函數(shù)．當.，∴在上是增函數(shù)∵∴即∴，即．設函數(shù)在R上存在導數(shù)，對任意都有，且在上，，若，則實數(shù)a的取值范圍是．【分析】令，可得．因此是上的偶函數(shù)．在上，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．再利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得出．解析：令，則．，是上的偶函數(shù)．在上，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．若（a），即（a）（a），，，解得，或．實數(shù)的取值范圍是，，．已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍為．【分析】構造函數(shù)，可得出該函數(shù)為偶函數(shù)，利用導數(shù)分析出函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而可得出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，將所求不等式變形為，可得，可得出，由此可解得實數(shù)的取值范圍.解析：由可得構造函數(shù)，則所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減由得即，即，則由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.題型三題型三含結構名師導航名師導航已知f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，對于任意實數(shù)x，均有，則為偶函數(shù)．【典例5】已知f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，對于任意實數(shù)x，均有，當時，，若，求實數(shù)a的取值范圍.【分析】根據(jù)進行變形，構造易得為偶函數(shù)利用單調(diào)性解不等式即可.解析：，令，則，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增,又為偶函數(shù)所以在上單調(diào)遞減.，，，解得：.能力達標訓練已知定義在上的函數(shù)滿足