第1頁（共1頁）2026年中考數(shù)學(xué)模擬試卷試題匯編——二元一次方程組一．選擇題（共10小題）1．已知關(guān)于x，y的方程組x+2y=5-①當(dāng)a＝1時，方程組的解也是x+y＝2a+1的解；②無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數(shù)；③x，y都為自然數(shù)的解有4對；④若2x+y＝8，則a＝2．正確的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．42．中國古代人民在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)問題，在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個問題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設(shè)共有x輛車，y人，則可列方程組為（）A．3(x-2)=y2x+9=y BC．3x=y2x+9=y D．3．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數(shù)變動的原因只有轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)入兩種，且轉(zhuǎn)出的人數(shù)比為1：3，轉(zhuǎn)入的人數(shù)比也為1：3．若寒假結(jié)束開學(xué)時甲、乙兩校人數(shù)相同，則乙校開學(xué)時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差多少？（）A．6 B．9 C．12 D．184．方程組|x|+y=12x+|y|=6A．1 B．2 C．3 D．45．已知二元一次方程組ax+3y=22x-y=1無解，則aA．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝6 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣66．已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7①mx-y=2+m②，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當(dāng)A．x=4y=-1 B．x=1y=-4 C．x=5y=-4 7．利用加減消元法解方程組2x+5y=-A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×3+②×（﹣5） C．要消去y，可以將①×5+②×3 D．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×28．若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＜﹣29．如果方程組x+y=★2x+y=16的解為A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，310．如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，下列方程組正確的是（）A．2x=80x=2y B．2x=80C．x+y=802x=x+3y D．二．填空題（共5小題）11．已知方程組3x-2y=4mx+ny=7與2mx-3ny=195y-x=3有相同的解，則m+n12．定義運(yùn)算“*”，規(guī)定x*y＝ax2+by，其中a、b為常數(shù)，且1*2＝5，2*1＝6，則2*3＝．13．如果x=3y=2是方程6x+by＝32的解，則b＝14．若x=ay=b是方程2x﹣3y+4＝0的解，則6a﹣9b+5＝15．已知m，n均為正整數(shù)，且滿足4m3-75=n+2m9，則當(dāng)m＝時，n取得最小值三．解答題（共5小題）16．某汽車制造廠開發(fā)一款新式電動汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝240輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車．（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）如果工廠招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？17．閱讀材料：小明是個愛動腦筋的學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了二元一次方程組后遇到了這樣一道題目：現(xiàn)有8個大小相同的長方形，可拼成如圖1、2所示的圖形，在拼圖②時，中間留下了一個邊長為2的小正方形，求每個小長方形的面積．小明設(shè)小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解出x、y的值，再根據(jù)長方形的面積公式得出每個小長方形的面積．解決問題：（1）請按照小明的思路完成上述問題：求每個小長方形的面積；（2）某周末上午，小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起，如圖3所示．若小明把13個紙杯整齊疊放在一起時，它的高度約是cm；（3）小明進(jìn)行自主拓展學(xué)習(xí)時遇到了以下這道題目：如圖，長方形ABCD中放置8個形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖4），求圖中陰影部分的面積，請給出解答過程．18．某中學(xué)為了表彰在書法比賽中成績突出的學(xué)生，購買了鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元，其中每支毛筆比鋼筆貴4元．（1）求鋼筆和毛筆的單價(jià)各為多少元？（2）①學(xué)校仍需要購買上面的兩種筆共105支（每種筆的單價(jià)不變）．陳老師做完預(yù)算后，向財(cái)務(wù)處王老師說：“我這次買這兩種筆需支領(lǐng)2447元．”王老師算了一下，說：“如果你用這些錢只買這兩種筆，那么賬肯定算錯了．”請你用學(xué)過的方程知識解釋王老師為什么說他用這些錢只買這兩種筆的賬算錯了．②陳老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長讓他買的一支簽字筆．如果簽字筆的單價(jià)為小于10元的整數(shù)，請通過計(jì)算，直接寫出簽字筆的單價(jià)可能為元．19．某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費(fèi)20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠．若詩中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?0．已知關(guān)于x，y的方程組x+2y（1）請直接寫出方程x+2y﹣6＝0的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值；（3）無論實(shí)數(shù)m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0總有一個固定的解，請直接寫出這個解？（4）若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，求m的值．

2026年中考數(shù)學(xué)模擬試卷試題匯編——答案一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DADADCDCAC一．選擇題（共10小題）1．已知關(guān)于x，y的方程組x+2y=5-①當(dāng)a＝1時，方程組的解也是x+y＝2a+1的解；②無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數(shù)；③x，y都為自然數(shù)的解有4對；④若2x+y＝8，則a＝2．正確的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】二元一次方程組的解；解二元一次方程組；二元一次方程的解．【專題】綜合題；一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】①根據(jù)消元法解二元一次方程組，然后將解代入方程x+y＝2a+1即可求解；②根據(jù)消元法解二元一次方程組，用含有字母的式子表示x、y，再根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加為0即可求解；③根據(jù)試值法求二元一次方程x+y＝3的自然數(shù)解即可得結(jié)論；④根據(jù)整體代入的方法即可求解．【解答】解：①將a＝1代入原方程組，得x+2y=3x-y=3解得將x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右兩邊，左邊＝3，右邊＝3，當(dāng)a＝1時，方程組的解也是x+y＝2a+1的解；②解原方程組，得x=2a+1∴x+y＝3，無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數(shù)；③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3∴x、y為自然數(shù)的解有x=0y=3，x=1y=2，x=2y=1④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，解得a＝2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了消元法解二元一次方程組，確定二元一次方程的自然數(shù)解，解題關(guān)鍵是用含字母的式子表示方程組的解．2．中國古代人民在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)問題，在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個問題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設(shè)共有x輛車，y人，則可列方程組為（）A．3(x-2)=y2x+9=y BC．3x=y2x+9=y D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【專題】應(yīng)用題；一次方程（組）及應(yīng)用；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意可得：3(x-故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數(shù)變動的原因只有轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)入兩種，且轉(zhuǎn)出的人數(shù)比為1：3，轉(zhuǎn)入的人數(shù)比也為1：3．若寒假結(jié)束開學(xué)時甲、乙兩校人數(shù)相同，則乙校開學(xué)時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差多少？（）A．6 B．9 C．12 D．18【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用．【答案】D【分析】分別設(shè)設(shè)甲、乙兩校轉(zhuǎn)出的人數(shù)分別為x人、3x人，甲、乙兩校轉(zhuǎn)入的人數(shù)分別為y人、3y人，根據(jù)寒假結(jié)束開學(xué)時甲、乙兩校人數(shù)相同，可得方程1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，整理得：x﹣y＝6，所以開學(xué)時乙校的人數(shù)為：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），即可解答．【解答】解：設(shè)甲、乙兩校轉(zhuǎn)出的人數(shù)分別為x人、3x人，甲、乙兩校轉(zhuǎn)入的人數(shù)分別為y人、3y人，∵寒假結(jié)束開學(xué)時甲、乙兩校人數(shù)相同，∴1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，整理得：x﹣y＝6，開學(xué)時乙校的人數(shù)為：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），∴乙校開學(xué)時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差；1028﹣1010＝18（人），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程．4．方程組|x|+y=12x+|y|=6A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】解二元一次方程組；絕對值．【專題】分類討論．【答案】A【分析】由于x、y的符號不確定，因此本題要分情況討論．【解答】解：當(dāng)x≥0，y≤0時，原方程組可化為：x+y=12x-y=6，解得x=9由于y≤0，所以此種情況不成立．當(dāng)x≤0，y≥0時，原方程組可化為：y-x=12x+y=6當(dāng)x≥0，y≥0時，x+y=12x+y=6當(dāng)x≤0，y≤0時，y-因此原方程組的解為：x=-故選：A．【點(diǎn)評】在解含有絕對值的二元一次方程組時，要分類討論，不可漏解．5．已知二元一次方程組ax+3y=22x-y=1無解，則aA．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝6 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣6【考點(diǎn)】解二元一次方程組；解一元一次方程．【專題】計(jì)算題．【答案】D【分析】由②得出y＝2x﹣1③，把③代入①得出（a+6）x＝5，根據(jù)方程組無解，得到a+6＝0，求出即可．【解答】解：ax+3y=2①由②得：y＝2x﹣1③，把③代入①得：ax+3（2x﹣1）＝2，∴（a+6）x＝5，∵方程組無解，∴a+6＝0，∴a＝﹣6，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出一個關(guān)于a的方程（a+6＝0），題目比較典型，但一點(diǎn)難度，是一道容易出錯的題目．6．已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7①mx-y=2+m②，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當(dāng)A．x=4y=-1 B．x=1y=-4 C．x=5y=-4 【考點(diǎn)】二元一次方程組的解；解二元一次方程組．【專題】計(jì)算題；一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根據(jù)題意列出方程組即可求得公共解．【解答】解：①+②得，x+my+mx﹣y＝9+mx﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0根據(jù)題意，這些方程有一個公共解，與m的取值無關(guān)，x-解得x=5所以這個公共解為x=5故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解法，解題關(guān)鍵是利用篩選法解二元一次方程組．7．利用加減消元法解方程組2x+5y=-A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×3+②×（﹣5） C．要消去y，可以將①×5+②×3 D．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×2【考點(diǎn)】解二元一次方程組．【專題】計(jì)算題．【答案】D【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：利用加減消元法解方程組2x+5y=-10①5x-3y=6②，要消去x，可以將①×（﹣5）+故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．8．若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＜﹣2【考點(diǎn)】二元一次方程的定義．【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)方面確定a的取值．【解答】解：根據(jù)二元一次方程的定義，得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．9．如果方程組x+y=★2x+y=16的解為A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3【考點(diǎn)】二元一次方程組的解．【答案】A【分析】把x=6y=■代入2x+y＝16先求出■，再代入x+y【解答】解：把x=6y=■代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4再把x=6y=4代入x+y＝★得★＝6+4＝10故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是理解題意，代入法求解．10．如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，下列方程組正確的是（）A．2x=80x=2y B．2x=80C．x+y=802x=x+3y D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】首先設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，由圖示可得等量關(guān)系：①2個長＝1個長+3個寬，②一個長+一個寬＝80cm，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可．【解答】解：設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，由題意得：x+y=802x=x+3y故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組．二．填空題（共5小題）11．已知方程組3x-2y=4mx+ny=7與2mx-3ny=195y-x=3有相同的解，則m+n【考點(diǎn)】二元一次方程組的解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先解不含m，n的方程組解得x，y的值，再代入含m，n的方程組求出m，n，再求出m+n．【解答】解：∵3x-2y=4mx+ny=7∴解方程組3x-2y=45y-x=3∴解m、n的方程組2m+n=74m-3n=19得∴m+n＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是由不含m，n的方程和含m，n的方程構(gòu)成新的方程組求解．12．定義運(yùn)算“*”，規(guī)定x*y＝ax2+by，其中a、b為常數(shù)，且1*2＝5，2*1＝6，則2*3＝10．【考點(diǎn)】解二元一次方程組．【專題】新定義．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】已知等式利用新定義化簡，求出a與b的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡已知等式得：a+2b=54a+b=6解得：a＝1，b＝2，則2*3＝4a+3b＝4+6＝10，故答案為：10．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．13．如果x=3y=2是方程6x+by＝32的解，則b＝7【考點(diǎn)】二元一次方程的解．【專題】方程思想．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將x＝3，y＝2代入方程6x+by＝32，把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)，然后解關(guān)于未知系數(shù)b的方程．【解答】解：把x＝3，y＝2代入方程6x+by＝32，得6×3+2b＝32，移項(xiàng)，得2b＝32﹣18，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，得b＝7．【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是將方程的解代入原方程，把關(guān)于x、y的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于系數(shù)b的方程，此法叫做待定系數(shù)法，在以后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常用此方法求函數(shù)解析式．14．若x=ay=b是方程2x﹣3y+4＝0的解，則6a﹣9b+5＝﹣7【考點(diǎn)】二元一次方程的解．【專題】整體思想；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】把x與y的值代入方程求出a與b的關(guān)系，變形代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：把x=ay=b代入方程2x﹣3y+4＝0，可得：2a﹣3b+4＝0，∴2a﹣3b＝﹣4∴6a﹣9b+5＝3（2a﹣3b）+5＝﹣7，故答案為：﹣7．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的解和代數(shù)式求值，要明白方程的解即為能使方程中兩邊相等的未知數(shù)的值．15．已知m，n均為正整數(shù)，且滿足4m3-75=n+2m9，則當(dāng)m＝72時，n取得最小值【考點(diǎn)】解二元一次方程．【專題】探究型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先移項(xiàng)，用m表示出n，再根據(jù)n最小可得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，再由m，n均為正整數(shù)即可得出符合條件的m、n的值．【解答】解：移項(xiàng)得，n=4m3-2m∵m、n為正整數(shù)，∴10m9-75≥∴m≥67.5，若n取得最小值，則10m9與75無限接近且m∴當(dāng)m＝72時，n最小＝5．【點(diǎn)評】本題考查的是解二元一次方程，解答此類題目時要注意此類方程屬不定方程，由無數(shù)組解，要根據(jù)題意找出符合條件的未知數(shù)的對應(yīng)值．三．解答題（共5小題）16．某汽車制造廠開發(fā)一款新式電動汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝240輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車．（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）如果工廠招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用；解二元一次方程組．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，新工人每月分別安裝y輛電動汽車，根據(jù)安裝8輛電動汽車和安裝14輛電動汽車兩個等量關(guān)系列出方程組，然后求解即可；（2）設(shè)調(diào)熟練工m人，根據(jù)一年的安裝任務(wù)列出方程整理用m表示出n，然后根據(jù)人數(shù)m是整數(shù)討論求解即可．【解答】解：（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，新工人每月分別安裝y輛電動汽車，根據(jù)題意得x+2y=82x+3y=14解之得x=4y=2答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，新工人每月分別安裝2輛電動汽車；（2）設(shè)調(diào)熟練工m人，由題意得，12（4m+2n）＝240，整理得，n＝10﹣2m，∵0＜n＜10，∴當(dāng)m＝1，2，3，4時，n＝8，6，4，2，即：①調(diào)熟練工1人，新工人8人；②調(diào)熟練工2人，新工人6人；③調(diào)熟練工3人，新工人4人；④調(diào)熟練工4人，新工人2人．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，（1）理清題目數(shù)量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵，（2）用一個未知數(shù)表示出另一個未知數(shù)，是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于考慮人數(shù)是整數(shù)．17．閱讀材料：小明是個愛動腦筋的學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了二元一次方程組后遇到了這樣一道題目：現(xiàn)有8個大小相同的長方形，可拼成如圖1、2所示的圖形，在拼圖②時，中間留下了一個邊長為2的小正方形，求每個小長方形的面積．小明設(shè)小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解出x、y的值，再根據(jù)長方形的面積公式得出每個小長方形的面積．解決問題：（1）請按照小明的思路完成上述問題：求每個小長方形的面積；（2）某周末上午，小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起，如圖3所示．若小明把13個紙杯整齊疊放在一起時，它的高度約是20cm；（3）小明進(jìn)行自主拓展學(xué)習(xí)時遇到了以下這道題目：如圖，長方形ABCD中放置8個形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖4），求圖中陰影部分的面積，請給出解答過程．【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)長方形的面積公式即可得出每個小正方形的面積；（2）通過理解題意可知本題存在兩個等量關(guān)系，即單獨(dú)一個紙杯的高度+3個紙杯疊放在一起比單獨(dú)的一個紙杯增高的高度＝10cm，單獨(dú)一個紙杯的高度+8個紙杯疊放在一起比單獨(dú)的一個紙杯增高的高度＝15cm．根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組；（3）設(shè)小長方形的面積為x，寬為y，根據(jù)長方形ABCD的長為19，寬的兩種不同表達(dá)方式列出方程組求出小長方形的長和寬，進(jìn)一步求出圖中陰影部分的面積．【解答】解：（1）設(shè)小長方形的長為x，寬為y，根據(jù)題意得：3x=5yx+2=2y，解得：x=10∴xy＝10×6＝60．故每個小長方形的面積為60；（2）設(shè)每兩個紙杯疊放在一起比單獨(dú)的一個紙杯增高xcm，單獨(dú)一個紙杯的高度為ycm，則2x+y=107x+y=15，解得x=1則12x+y＝12×1+8＝20．即小明把13個紙杯整齊疊放在一起時，它的高度約是20cm．（3）設(shè)小長方形的長為x，寬為y，根據(jù)題意得x+3y=19x+2y=3y+7解得x=10y=3∴S陰影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．故答案為：64．【點(diǎn)評】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．18．某中學(xué)為了表彰在書法比賽中成績突出的學(xué)生，購買了鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元，其中每支毛筆比鋼筆貴4元．（1）求鋼筆和毛筆的單價(jià)各為多少元？（2）①學(xué)校仍需要購買上面的兩種筆共105支（每種筆的單價(jià)不變）．陳老師做完預(yù)算后，向財(cái)務(wù)處王老師說：“我這次買這兩種筆需支領(lǐng)2447元．”王老師算了一下，說：“如果你用這些錢只買這兩種筆，那么賬肯定算錯了．”請你用學(xué)過的方程知識解釋王老師為什么說他用這些錢只買這兩種筆的賬算錯了．②陳老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長讓他買的一支簽字筆．如果簽字筆的單價(jià)為小于10元的整數(shù)，請通過計(jì)算，直接寫出簽字筆的單價(jià)可能為2或6元．【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)鋼筆的單價(jià)為x元，則毛筆的單價(jià)為（x+4）元．根據(jù)買鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；（2）①根據(jù)第一問的結(jié)論設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為y支，所以單價(jià)為25元的毛筆則為（105﹣y）支，求出方程的解不是整數(shù)則說明算錯了；②設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為z支，單價(jià)為25元的毛筆則為（105﹣y）支，簽字筆的單價(jià)為a元，根據(jù)條件建立方程求出其解就可以得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)鋼筆的單價(jià)為x元，則毛筆的單價(jià)為（x+4）元．由題意得：30x+45（x+4）＝1755，解得：x＝21，∴毛筆的單價(jià)為：x+4＝25．答：鋼筆的單價(jià)為21元，毛筆的單價(jià)為25元．（2）①設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為y支，所以單價(jià)為25元的毛筆則為（105﹣y）支．根據(jù)題意，得21y+25（105﹣y）＝2447．解之得：y＝44.5（不符合題意）．∴陳老師肯定搞錯了．②設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為z支，簽字筆的單價(jià)為a元，則根據(jù)題意，得21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．∴4z＝178+a，∵a、z都是整數(shù)，∴178+a應(yīng)被4整除，∴a為偶數(shù)，又因?yàn)閍為小于10元的整數(shù)，∴a可能為2、4、6、8．當(dāng)a＝2時，4z＝180，z＝45，符合題意；當(dāng)a＝4時，4z＝182，z＝45.5，不符合題意；當(dāng)a＝6時，4z＝184，z＝46，符合題意；當(dāng)a＝8時，4z＝186，z＝46.5，不符合題意．所以簽字筆的單價(jià)可能2元或6元．故答案為：2元或6元．【點(diǎn)評】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問題的運(yùn)用，列一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用及二元一次不定方程的運(yùn)用，在解答時根據(jù)題意等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．19．某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費(fèi)20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠．若詩中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤?？【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)題意計(jì)算：若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，求出所需付費(fèi)；若一次性訂客房18間，求出所需付費(fèi)，進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：7x+7=y9(x-1)=y解得：x=8y=63答：該店有客房8間，房客63人；（2）若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，需付費(fèi)20×16＝320錢；若一次性訂客房18間，則需付費(fèi)20×18×0.8＝288錢＜320錢；答：詩中“眾客”再次一起入住，他們應(yīng)選擇一次性訂房18間更合算．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)題意得出方程組是解決問題的關(guān)鍵．20．已知關(guān)于x，y的方程組x+2y（1）請直接寫出方程x+2y﹣6＝0的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值；（3）無論實(shí)數(shù)m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0總有一個固定的解，請直接寫出這個解？（4）若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，求m的值．【考點(diǎn)】二元一次方程組的解；二元一次方程的解．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）將x做已知數(shù)求出y，即可確定出方程的正整數(shù)解．（2）將x+y＝0與原方程組中的第一個方程組成新的方程組，可得x、y的值，再代入第二個方程中可得m的值；（3）當(dāng)含m項(xiàng)為零時，取x＝0，代入可得固定的解；（4）求出方程組中x的值，根據(jù)x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，確定m的值．【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，解得：x＝6﹣2y，當(dāng)y＝1時，x＝4；當(dāng)y＝2時，x＝2，方程x+2y﹣6＝0的所有正整數(shù)解為：x=2y=2，x=4（2）由題意得：x+y=0x+2y-6=0，解得x=把x=-6y=6代入x﹣2y+mx+5＝0，解得（3）x﹣2y+mx+5＝0，（1+m）x﹣2y＝﹣5，∴當(dāng)x＝0時，y＝2.5，即固定的解為：x=0y=2.5（4）x+2y-①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，（2+m）x＝1，x=1∵x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，∴2+m是1的約數(shù)，2+m＝1或﹣1，m＝﹣1或﹣3．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程的整數(shù)解和二元一次方程組的解，熟練掌握運(yùn)算法則和求方程組的解是本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項(xiàng)在乘括號內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負(fù)．3．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率=利潤進(jìn)價(jià)×100%）；（4）工程問題（①（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．4．二元一次方程的定義（1）二元一次方程的定義含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．5．二元一次方程的解（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確定的值，所以二元一次方程有