《弧度制》精品教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定義的合理性，能正確進(jìn)行弧度與角度的換算；2、了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，會用弧度制解決簡單的實(shí)際問題；3、經(jīng)歷建立弧度制的探究過程，感受引入弧度制的必要性，了解數(shù)學(xué)知識發(fā)展的過程，提升數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教學(xué)重點(diǎn)：理解弧度的定義；正確進(jìn)行弧度與角度的換算教學(xué)難點(diǎn)：弧度制概念的生成教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘問題導(dǎo)入問題1、初中學(xué)過哪些度量角的單位？的角是如何定義的嗎？度、分、秒又如何換算呢？有度、分、秒.將一個圓的圓周分成360等份，每一份的圓弧所對的圓心角叫做1度的角.這種度量角的單位制叫做角度制.問題2、你知道等于多少嗎？預(yù)計(jì)：認(rèn)為兩個量不能相加，因?yàn)閱挝徊煌?，是角度，而是?shí)數(shù)，所以無法相加.我們知道度量不同的量要用不同的單位，對于同一種量，也可以運(yùn)用不同的度量單位，比如，測量身高時，可以使用米，也可以使用尺；測量重量時，在不同的條件可以使用噸、公斤，也可以使用克等.此外還有國際公制，有中國市制，那么，度量角的單位是否只有角度制一種呢？歷史背景：公元六世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家家阿耶波多在創(chuàng)新制作正弦表時,就發(fā)現(xiàn)了有一個問題不好解釋，比如，他發(fā)現(xiàn)了什么問題呢？在這個等式中，單位制是不同的，左邊是60進(jìn)制,右邊是10進(jìn)制為單位，單位不統(tǒng)一的兩個數(shù)學(xué)對象分別放在等式的左右兩側(cè),所以阿耶波多想到了能否對角的度量采用十進(jìn)制.【設(shè)計(jì)意圖】引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識到角度不是實(shí)數(shù)，產(chǎn)生對角的單位有必要重新認(rèn)知的需要，為引入弧度制作準(zhǔn)備.7分鐘探究新知探究活動：根據(jù)角的動態(tài)定義，射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到形成角.在旋轉(zhuǎn)過程中，射線上點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）的軌跡是一條圓弧.記.如果要把角的單位統(tǒng)一成十進(jìn)制，那么就必須借助用十進(jìn)制表示的量，這里很明顯涉及到兩個量：弧長和半徑.問題3：射線上三個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，在這個過程中，都涉及到哪些量，你能發(fā)現(xiàn)它們之間蘊(yùn)含著哪些相等關(guān)系與不等關(guān)系？涉及到三個量：弧長、半徑和圓心角，顯然，弧長、半徑是不等的，也不相等，但角度是相等的.【設(shè)計(jì)意圖】從歷史背景中引出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的生活體驗(yàn)中，用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察相等關(guān)系與不等關(guān)系，為下面挖掘“弧長與半徑比值為定值”這一隱含的數(shù)學(xué)現(xiàn)象做好鋪墊.追問1、圓心角、半徑、弧長這三個量之間存在什么關(guān)系呢？能否用我們以前學(xué)過的數(shù)學(xué)公式來表示他們之間的關(guān)系？在初中我們學(xué)過弧長公式.追問2、你能否用弧長公式解釋在這個運(yùn)動過程中，弧長和半徑都發(fā)生變化，而圓心角不變嗎？圓心角與弧長和半徑有關(guān)，.當(dāng)圓心角不變時，為定值.所以，圓心角所對的弧長與半徑的比值只與角的大小有關(guān).如圖，對同一個圓心角，可得：.因此，弧長與半徑的比值只與圓心角的大小有關(guān)，當(dāng)圓心角確定時，也唯一確定.這就讓我們想到可以用弧長與半徑的關(guān)系度量圓心角.當(dāng)弧長與半徑相等時，是一個定值，此時圓心角等于度.我們把這時的比值1記為1個單位的角,就可以用這個1個單位的角去表示其他的角.比如當(dāng)弧長時，所對圓心角為2個單位的角；當(dāng)弧長時，所對圓心角為個單位的角，這里是一個實(shí)數(shù)，這樣可以用來度量角的大小，解決了用實(shí)數(shù)度量角的大小問題.這就是度量角的另一種單位制——弧度制.弧度單位用符號表示，讀作弧度.規(guī)定：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作.【設(shè)計(jì)意圖】通過對初中所學(xué)的弧長公式的回顧與變形，不僅從代數(shù)關(guān)系上說明了與角的大小有關(guān)，而且這個比值是一個實(shí)數(shù)，有弧長的參與，學(xué)生自然體會到弧度制的合理性，同時讓學(xué)生經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，培養(yǎng)學(xué)生的理性數(shù)學(xué)思維.6分鐘理解新知弧度制的精髓是把角度和弧度的度量統(tǒng)一起來，極大的簡化了與之有關(guān)的運(yùn)算，在高等數(shù)學(xué)里，優(yōu)勢相當(dāng)明顯.問題4：你能否作出大小的角？根據(jù)定義，，即時，弧長所對圓心角為.問題5：任意角都可以用的比值表示嗎？正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)如何規(guī)定呢？任意角都是從旋轉(zhuǎn)角度定義的，當(dāng)半徑一定時，旋轉(zhuǎn)量從弧長可以判斷，符號由旋轉(zhuǎn)方向決定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、負(fù)角分別用正數(shù)、零、負(fù)數(shù)表示.規(guī)定：如果半徑為的圓的圓心角所對弧長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是，這里，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定.追問:反過來任意一個實(shí)數(shù)都可以表示角嗎？這種表示是唯一的嗎？對于任意一個實(shí)數(shù)滿足，那么，此時的絕對值大小確定，再由的旋轉(zhuǎn)方向確定的正負(fù)符號，所以任意一個實(shí)數(shù)都可以表示唯一確定的角.這樣就在角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生進(jìn)一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和實(shí)數(shù)集合建立一一對應(yīng)的關(guān)系.早在18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，在他的名著《無窮小分析引論》中倡導(dǎo)使用弧度制，統(tǒng)一了角與長度的單位，從而使得對三角函數(shù)的研究大為簡化，并提出了弧度制的思想.而弧度這個詞產(chǎn)生于1873年，愛爾蘭工程師詹姆斯·湯姆森（JamesThomson）教授在其編著的一本考試集中創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞.他將“半徑（radius）”的前四個字母與“角(angle)”的前兩個字母組合在一起，構(gòu)成了一個新詞radian，被人們廣泛接受.【設(shè)計(jì)意圖】在通過介紹弧度制及其名稱符號的發(fā)展歷史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化豐富的歷史沉淀.5分鐘應(yīng)用新知問題6：角度制、弧度制都是角的度量單位，它們之間應(yīng)該如何換算呢？當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到周角的弧度數(shù)為，而在角度制下為，即，，所以.反過來可得.例1.（1）把化成弧度（2）把化成角度（用度表示，精確到）借助前面的結(jié)論，可得用弧度表示角的大小時，只要不引起誤解，“弧度”二字或“”可以省略不寫．但是“°”為單位不能省.練習(xí)：填寫下面特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度弧度【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際操作，讓學(xué)生明白角度制與弧度制可以度量同一個角，所以它們之間可以互換并要掌握這種互換，同時要注意規(guī)范及掌握一些特殊角的角度和弧度值.例2利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式（1）；（2）；（3）.其中是圓的半徑，為圓心角，是扇形的弧長，是扇形的面積.解：從我們前面得到的弧度制公式出發(fā)，可得.下面我們證明（2）（3）初中我們學(xué)過，在角度制下，半徑為，圓心角為的扇形的弧長公式和面積公式分別為，.將圓心角轉(zhuǎn)化為弧度，得.所以，代入公式得到.再將代入上式即得.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會弧度制，統(tǒng)一了度量弧與半徑的單位，從而大大簡化了有關(guān)公式及運(yùn)算，通過例題進(jìn)一步讓學(xué)生熟悉公式，學(xué)會應(yīng)用公式解決簡單的實(shí)際問題.2分鐘歸納小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？（1）在數(shù)學(xué)知識上我們學(xué)習(xí)了任意角的新度量制——弧度制.①弧度制的本質(zhì)是用線段的長度度量角的大小，具體來說就是長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號表示，讀作弧度；②如果半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是，這里，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定；③借助公式進(jìn)行任意角的弧度制和角度制之間的互化，在今后的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中要熟練掌握特殊角的弧度數(shù).（2）數(shù)學(xué)知識大多來源于現(xiàn)實(shí)或自然科學(xué)中出現(xiàn)的問題，我們通過對問題的理解、分析，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維思考問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題.在今天的學(xué)習(xí)中，我們運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，在今后的學(xué)習(xí)中我們還要進(jìn)一步熟悉和掌握這些思想方法.布置作業(yè)教科書P175-176，習(xí)題5.1第5、6、7、8題課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.(2021濰坊高一月考)2100°化成弧度是()A.353π B.10π C.283π D.答案A解析2100°=2100×π180=35π2.若α=-3,則角α的終邊在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析因?yàn)?π<-3<-π2,所以α=-3的終邊在第三象限3.將2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.10π-π4 B.10π+C.12π-3π4 D.10π答案B解析2025°=5×360°+225°,又225°=5π4,故2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式為10π+4.(2021吉林高一期末)某市在創(chuàng)建全國文明城市活動中,需要在某老舊小區(qū)內(nèi)建立一個扇形綠化區(qū)域.若設(shè)計(jì)該區(qū)域的半徑為20米,圓心角為45°,則這塊綠化區(qū)域占地平方米.

答案50π解析由題意可得圓心角為π4,則這塊綠化區(qū)域占地面積為12×π4×202=505.設(shè)集合M=αα=kπ2-π5,k∈Z,N={α|-π答案-解析當(dāng)k=-1,0,1,2時M中的角滿足條件,故M∩N=-76.如圖,以正方形ABCD中的點(diǎn)A為圓心、邊長AB為半徑作扇形EAB,若圖中兩塊陰影部分的面積相等,則∠EAD的弧度數(shù)大小為.

答案2-π解析設(shè)AB=1,∠EAD=α,∵S扇形ADE=S陰影BCD,則由題意可得12×12×α=12-π×124,∴解得α7.已知α=-800°.(1)把α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;(2)求γ,使γ與α的終邊相同,且γ∈-π解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=14π9,∴α=14π9+(-3)×2π.∵α與14π9(2)∵與α終邊相同的角可寫為2kπ+14π9,k∈Z的形式,而γ與α終邊相同,∴γ=2kπ+14π9,k∈Z.又∴-π2<2kπ+14π9<π2,k∈∴γ=-2π+14π9=-等級考提升練8.集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析k為偶數(shù)時,集合對應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)直線y=x左上部分(包含邊界),k為奇數(shù)時,集合對應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谌笙迌?nèi)直線y=x的右下部分(包含邊界).9.(2021四川成都高一期末)已知扇形的周長是8cm,當(dāng)扇形面積最大時,扇形的圓心角的大小為()A.π3 B.π4 C.1 D答案D解析∵扇形的周長為8cm,扇形半徑為r,弧長為l,∴2r+l=8,即l=8-2r,0<r<2,∴S=12lr=12(8-2r)r=-r2+4r=-(r-2)2+∴當(dāng)半徑r=2cm時,扇形的面積最大為4cm2,此時,α=lr=42=210.(2021內(nèi)蒙古赤峰松山高一月考)《九章算術(shù)》中《方田》章給出了計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=12×(弦×矢+矢2),弧田(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成,公式中的“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有圓心角為23π,矢為4的弧田,按照上述方法計(jì)算出其面積是(A.4+43 B.8+43C.8+83 D.8+163答案D解析如圖所示:由題意可得,∵∠AOB=2π3,∴∠AOD=∵OA=8,OD=4,則AD=OA2-O即弦AB=83,矢CD=4,∴弧田的面積=12×(83×4+42)=163+8.故選D11.(多選題)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是()A.67°30'化成弧度是3B.-10π3化成角度是C.-150°化成弧度是-7D.π12答案ABD解析對于A,67°30'=67.5×π180=3對于B,-10π3=-10π3×180π°=-對于C,-150°=-150×π180=-5π6對于D,π12=π12×180π°=12.(多選題)圓的一條弦的長等于半徑,則這條弦所對的圓周角的弧度數(shù)為()A.π6 B.π3 C.2π3答案AD解析設(shè)該弦所對的圓周角為α,則其圓心角為2α或2π-2α,由于弦長等于半徑,所以可得2α=π3或2π-2α=π3,解得α=π6或α13.(2021天津和平區(qū)校級高一期末)已知扇形的周長是12,面積是8,則扇形的中心角的弧度是.

答案1或4解析設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=12,S=12lr=解得r=2,l=8或r=4,l=4,可得α=lr=1或414.若角α的終邊與角π6的終邊關(guān)于直線y=x對稱,且α∈(-4π,4π),則α=.答案-11π3,解析如圖所示,設(shè)角π6的終邊為OA,OA關(guān)于直線y=x對稱的射線為OB,則以O(shè)B為終邊且在0到2π之間的角為π故以O(shè)B為終邊的角的集合為αα=2kπ+π3,k∈Z.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π∴-136<k<11∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1.∴α=-11π3,-15.如圖,已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長為6,求:(1)AB的長;(2)弓形(陰影部分)的面積.解(1)∵120°=120π∴l(xiāng)AB=6×2π3=∴AB的長為4π.(2)過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,則D為AB的中點(diǎn),AB=2BD=2·OB·cos30°=2×6×32=63OD=OB·sin30°=6×12=3∵S扇形AOB=12lAB·OB=12×4π×6S△OAB=12·AB·OD=12×63×3=9∴S弓形=S扇形AOB-S△OAB=12π-93.∴弓形的面積為12π-93.新情境創(chuàng)新練16.單位圓上有兩個動點(diǎn)M,N,它們同時從點(diǎn)P(1,0)出發(fā),沿圓周運(yùn)動,點(diǎn)M按逆時針方向每秒旋轉(zhuǎn)π6弧度,點(diǎn)N按順時針方向每秒旋轉(zhuǎn)π(1)點(diǎn)M,N首次在點(diǎn)P相遇需要多長時間?(2)在1分鐘內(nèi),點(diǎn)M,N在第二象限內(nèi)相遇的次數(shù)為多少?解(1)設(shè)從點(diǎn)P(1,0)出發(fā),t(t>0)秒后點(diǎn)M,N首次在點(diǎn)P相遇,設(shè)此時是