咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).涂寫在本試卷上無效.4.作答非選擇題時(shí)，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效.5.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試卷不回收.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面的位置關(guān)系可得法向量關(guān)系，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：D.2.若直線與直線平行，則與之間的距離是（）A.3 B.1 C. D.4【答案】A【解析】【分析】先利用平行直線的判定可求出，再利用平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】對(duì)于

：斜率

，對(duì)于

：，斜率

，因?yàn)椋?，即：，因此?/p>

的方程為：，即，兩條平行直線之間的距離為：.故選：A3.已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】題目條件符合橢圓的定義，求出即可寫出軌跡方程【詳解】結(jié)合橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，，，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B4.如圖是濟(jì)新高速黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨(dú)塔地針式回轉(zhuǎn)纜懸索橋.大橋主跨長(zhǎng)約500米，主塔高約100米，纜懸索是以為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一部分，若為拋物線的焦點(diǎn)，則主塔端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離約為（）A.1350米 B.758米 C.725米 D.558米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立直角坐標(biāo)系，求出其準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，直線為軸，過且與主塔平行的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，連接，，則，設(shè)拋物線的方程為，則，解得，因此拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，利用拋物線的定義得：.故選：C5.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的一個(gè)方向向量和平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】直線的方程可化為，所以直線的一個(gè)方向向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，所以.因此，直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義得出，即得出的周長(zhǎng)為，由點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，周長(zhǎng)取最小值，即可求解.【詳解】如下圖所示：在雙曲線中，，，則，則、，由雙曲線的定義可得，所以，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最小值為.故選：C.7.已知圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷圓心到直線的距離，利用距離公式列不等式即解得參數(shù)的取值范圍.【詳解】圓的圓心是，半徑，而圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，滿足，即，解得或.故選：D.8.已知橢圓的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別是，若軸恰與過三點(diǎn)的圓相切，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用過三點(diǎn)的圓恰與軸相切，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)在圓上，坐標(biāo)適合方程即可求解．【詳解】由已知可得：，，，線段的垂直平分線方程為，過三點(diǎn)的圓恰與軸相切，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為，在圓上，所以，整理得：，所以，所以，化為：，由，解得．故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.已知向量，則任意向量都不能與構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則C.“存在實(shí)數(shù)，使”是“與共面”的充分不必要條件D.已知是空間的一個(gè)基底，且，則點(diǎn)在平面內(nèi)，且為的重心【答案】ACD【解析】【分析】A：根據(jù)空間的基底的概念作出判斷；B：根據(jù)直線在平面內(nèi)和不在平面內(nèi)討論；C：根據(jù)互相推出關(guān)系作出判斷；D：先化簡(jiǎn)得到證明點(diǎn)在面內(nèi)，再根據(jù)重心是中線的交點(diǎn)作出判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以共線，所以任意向量與都共面，所以任意向量都不能與構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，此時(shí)或，所以不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：“存在實(shí)數(shù)，使”可以推出“與共面”，但“與共面”不一定能推出“存在實(shí)數(shù)，使”，例如：當(dāng)共線但與不共線時(shí)，與共面，但不存實(shí)數(shù)，使，所以“存在實(shí)數(shù)，使”是“與共面”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，所以，所以共面且有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在平面內(nèi)；取中點(diǎn)，則有，同理取中點(diǎn)，則有，所以為的重心，故D正確；故選：ACD.10.已知圓，則下列結(jié)論正確的有（）A.的取值范圍為B.若，則點(diǎn)在圓內(nèi)C.若，則直線與圓相離D.若，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為【答案】ABD【解析】【分析】A：化簡(jiǎn)得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)半徑大于求解結(jié)果；B：根據(jù)與半徑的大小關(guān)系作出判斷；C：根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系作出判斷；D：先判斷點(diǎn)的位置，然后可求圓的方程.【詳解】，圓心，半徑，對(duì)于A：因?yàn)椋?，故正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，故錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵谥本€上，所以圓關(guān)于的對(duì)稱圓即為圓，所以圓的方程為，故正確；故選：ABD.11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的離心率是，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率的公式以及可求解出的值，則結(jié)果可知.【詳解】因?yàn)?，解得，所以?shí)軸長(zhǎng)為，故答案為：.13.已知兩點(diǎn)分別在圓和圓上，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】判斷出兩圓外離，根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以圓與圓外離，所以.故答案為：14.已知正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體外接球的球面上一點(diǎn)，為正方體內(nèi)切球的球面上的兩點(diǎn)，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的長(zhǎng)度判斷出其為內(nèi)切球的直徑，然后通過化簡(jiǎn)可得，代入外接球和內(nèi)切球的半徑可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為，所以外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑，因?yàn)?，所以是?nèi)切球的直徑，如圖所示，設(shè)兩個(gè)球心均為，所以，所以，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.（1）求邊上的高所在直線的一般式方程；（2）求的平分線所在直線的斜截式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，可得出邊上的高所在直線的斜率，可得出邊上的高所在直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程即可；（2）由圖可知，所以的平分線所在直線的斜率為，可得到的平分線所在直線的點(diǎn)斜式方程，化為斜截式方程即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、，則，所以，邊上的高所在直線的斜率為，又，所以邊上的高所在直線的方程為，即，即邊上的高所在直線的一般式方程為.【小問2詳解】如圖，可得，所以的平分線所在直線的傾斜角為，斜率為，又，所以的平分線所在直線的方程為，即，即的平分線所在直線的斜截式方程為.16.已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而求解即可；（2）分直線斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點(diǎn)差法求解即可.【小問1詳解】由題意知，，解得，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】①當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，這與矛盾；②當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線方程為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，則，所以，則所求直線方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意.17.已知圓的方程為，其中.（1）若圓和圓的公共弦長(zhǎng)為，求的值；（2）若過點(diǎn)的圓與圓相切，切點(diǎn)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）將兩圓方程作差可得相交弦所在直線的方程，求出圓心到相交弦所在直線的距離，再利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2）記點(diǎn)、，分析可知圓心為直線和線段垂直平分線的交點(diǎn)，聯(lián)立這兩條直線的方程，可得出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓的半徑，即可得出圓的方程.【小問1詳解】因?yàn)閳A的方程為，則，解得，將兩圓方程作差可得，即為兩圓相交弦所在直線的方程，圓的圓心為，半徑為，由勾股定理可知，圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.【小問2詳解】由題意可知，點(diǎn)在圓上，則，解得，故圓的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，記點(diǎn)、，由圓的幾何性質(zhì)可知，圓心在直線上，且，所以直線的方程為，即，因?yàn)閳A過點(diǎn)、兩點(diǎn)，所以圓心在線段的垂直平分線上，線段的中點(diǎn)為，，故線段的垂直平分線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的半徑為，故圓的方程為.18.如圖1，在等腰直角中，分別為的中點(diǎn).將沿向平面上方翻折，得到如圖2所示的四棱錐，且.記的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值；（3）求動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；（3）根據(jù)向量共線求出，利用空間向量表示出點(diǎn)到直線距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)求范圍即可．【小問1詳解】因?yàn)檎郫B前為中點(diǎn)，，所以，折疊后，，所以，所以，在折疊前分別為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)檎郫B前，所以，所以在折疊后，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，為中點(diǎn)，所以，，設(shè)平面的法向量為，又，，所以，即，令，則，，所以，所以，則，所以平面；小問2詳解】設(shè)，由（1）知，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Q在線段上，且，所以，所以，所以，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為；【小問3詳解】設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)Q在線段上，所以，，即，即，所以，，，設(shè)點(diǎn)Q到線段距離為，，，，，，令，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q到線段的距離的取值范圍為．19.已知橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為3和1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線為垂足.求：①已知直線過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，求得，求得直線的方程為，令，得到，即可得到直線過定點(diǎn)；.②利用韋達(dá)定理求得，得到，令，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：由橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為3和1，由橢圓的幾何性質(zhì)，可得，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：①由題意，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，點(diǎn)必在上，且，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，所以，可得，又由，所以直線的方程為，令，則，所以直線過定點(diǎn).②由①知：，可得，所以，令，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，面積取得最大值