高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省菏澤市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（B)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由拋物線的方程可知：，所以準(zhǔn)線方程為.故選：D.2.已知向量是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線的方向向量為可知直線斜率，又因?yàn)閮A斜角，且，所以.故選：C.3.直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線與互相垂直,可得，即.把代入直線，得到.聯(lián)立方程組，解得.把代入，得.所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.4.已知雙曲線的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知：實(shí)軸長為，虛軸長為，故，解得，故雙曲線方程為，故選：C.5.已知圓，圓，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】由題可得：,,,,所以，則，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為相交；故選：C.6.已知橢圓C的長軸的頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)長軸為，焦距為，由題意有，得.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則由，得到，整理得到，又點(diǎn)在圓上，所以與圓有交點(diǎn)，又的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，解得，故選：D.8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】由題意，橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓定義可得，所以，因?yàn)?故在橢圓內(nèi)，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.已知兩條平行直線，，直線，直線，直線，之間的距離為1，則的值可以是（）A. B. C.12 D.14【答案】BD【解析】將直線化，則，之間的距離，即，解得或．故選：BD．10.已知曲線的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓B.當(dāng)時(shí)，曲線表示橢圓C.當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，曲線是，故A正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上雙曲線，故D正確.故選：ACD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.的最小值為D.直線與間的距離最小值為4【答案】ABC【解析】由題設(shè)有過焦點(diǎn)，而，設(shè)，則可得即，此時(shí)且，，故，故A正確；，故B正確；對于C，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為，故C成立；對于D，故直線與間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故直線與間的距離最小值為8，故選：ABC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）12.直線過點(diǎn)，若的斜率為2，則在軸上的截距為______【答案】【解析】由題意知：直線的方程為，即，所以在軸上的截距為.故答案為：.13.拋物線上的點(diǎn)到直線的距離最小，則點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】【解析】設(shè)拋物線上的動點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)，即時(shí)，距離最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．14.取兩顆小釘子并釘在一張平板上（平板上墊有紙），將一條繩子兩端固定在這兩只釘子上，且繩長為12，用鉛筆尖將繩子拉緊，使筆尖順勢在平板上移動一圈，則筆尖在紙上畫出的圖形是一個(gè)橢圓.在上述實(shí)驗(yàn)中，筆尖與兩個(gè)釘子所圍成的三角形的面積的最大值是________.【答案】18【解析】設(shè)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)兩個(gè)釘子之間的距離為.故答案為：18.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）求邊的垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1），，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又設(shè)邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即．邊的垂直平分線所在的直線的方程.（2）邊所在的直線方程為設(shè)邊上的高為即點(diǎn)到直線的距離為且解得解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．16.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以.又因?yàn)?，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，所以，化為.又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，則，故直線的斜率為，所以直線的方程為.整理得．17.在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以（且）代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.已知橢圓：，橢圓：（）是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值.（1）解：對于橢圓：，所以為，故橢圓：（）中，，故，則橢圓的離心率.（2）證明：由題解得，所以橢圓：，設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以，為關(guān)于方程的兩根，所以.又點(diǎn)在橢圓：上，所以，所以，為定值.18.已知圓：.（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，若與垂直，求直線的方程；（3）在（2）的條件下，求弦的長度.解：（1）依題意，圓：，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由消去得，則，?由，得，即，整理得，于是，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與圓交于點(diǎn)，與之一為，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線過圓的圓心，線段為圓的直徑，符合題意，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入圓方程得，不妨設(shè)，，，不符合題意，所以直線的方程為.（3）由（2）知直線，弦為圓的直徑，則，所以弦的長度.19.已知雙曲線，點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E．（二次曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程為）（1）求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；（2）若兩直線與L交于點(diǎn)N，，求的值；（3）若點(diǎn)A、B都在雙曲線C右支上，過點(diǎn)A、B分別作直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：設(shè)，由題意得：切線EA的方程為：，將點(diǎn)E帶入得：，同理可得：，易知點(diǎn)A，B都在直線上，所以直線l的方程為：，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，