交大附中2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)周練一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知集合，則．

2．不等式的解集為.

3．若集合，且，則．

4．設(shè)集合，若，則的取值范圍是．

5．已知，則的取值范圍是．

6．已知為實(shí)數(shù)且，給出下列不等式：①；②；③；④．其中不正確的為．（填寫相應(yīng)的序號(hào)）

7．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．

8．已知，則的最小值為．

9．設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，則實(shí)數(shù)的值為．

10．若＂存在，使得＂為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.11．若集合中恰含有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

12．已知表示中的最小值若，則的最大值是.

二、選擇題（本大題滿分18分，前2題每題4分，后2題每題5分，每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）

13．＂＂的一個(gè)充分非必要條件是（）.

A．B．C．D．

14．設(shè)集合，則（）.

A．B．C．D．

15．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）.

A．9B．8C．6D．5

16.已知為實(shí)數(shù)，若同時(shí)滿足不等式與的全體實(shí)數(shù)所組成的集合等于．則關(guān)于結(jié)論：

①至少有一個(gè)為0；②．下列判斷中正確的是（）.

A．①和②都正確B．①和②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤D．①錯(cuò)誤，②正確三、解答題（本大題滿分78分，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要步驟）

17．（本題滿分14分，題（1）滿分7分，題（2）滿分7分）

（1）設(shè)，求關(guān)于的方程的解集；

（2）已知，若．證明：中至少有一個(gè)不小于0．

18．（本題滿分14分，題（1）滿分6分，題（2）滿分8分）

設(shè)全集，集合，其中．

（1）若，求；

（2）若是的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19．（本題滿分14分，題（1）滿分6分，題（2）滿分8分）

設(shè)集合．

（1）若集合至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（本題滿分18分，題（1）滿分4分，題（2）滿分6分，題（3）滿分8分）

假設(shè)克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常識(shí)告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會(huì)更甜.

（1）根據(jù)這個(gè)生活常識(shí)，提煉出一個(gè)不等式；

（2）證明你提煉出的不等式；

（3）運(yùn)用你提煉出的不等式證明：，其中且．

21．（本題滿分18分，題（1）滿分4分，題（2）滿分6分，題（3）滿分8分）

若集合中有且僅有三個(gè)元素，且同時(shí)滿足①；②；

③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì)．

設(shè)集合，其中且，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均為集合的元素，則稱集合是集合的＂期待子集＂．

（1）對(duì)于集合，是否存在具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的＂期待子集＂；

（3）證明：＂集合存在具有性質(zhì)＂的充要條件是＂集合是集合的＂期待子集＂．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12．已知表示中的最小值若，則的最大值是.【答案】【解析】令，因?yàn)?，所以?/p>

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)且，即時(shí)，的最大值為．二、選擇題13.C14.A15.C16.A15．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）.

A．9B．8C．6D．5【答案】C【解析】因?yàn)榧?/p>

共6個(gè)元素．故選：．16.已知為實(shí)數(shù)，若同時(shí)滿足不等式與的全體實(shí)數(shù)所組成的集合等于．則關(guān)于結(jié)論：

①至少有一個(gè)為0；②．下列判斷中正確的是（）.

A．①和②都正確B．①和②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤D．①錯(cuò)誤，②正確【答案】A【解析】將三個(gè)不等式相加可得：恒成立，∴中至少有一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，

若，則原三個(gè)不等式的解集都是，，或的形式，

它們的交集不可能為的形式；

若，則的解集是，或形式，它們的交集也不可能為的形式；同理若，也不滿足題意，綜合可得中至少有一個(gè)為0，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，解得，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，解得，滿足題意，綜上所述可得：①②都正確．故選：．三、解答題17.（1）當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為（2）證明略18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本題滿分18分，題（1）滿分4分，題（2）滿分6分，題（3）滿分8分）

假設(shè)克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常識(shí)告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會(huì)更甜.

（1）根據(jù)這個(gè)生活常識(shí)，提煉出一個(gè)不等式；

（2）證明你提煉出的不等式；

（3）運(yùn)用你提煉出的不等式證明：，其中且．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）提煉出的不等式為．

（2）證明：．

因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，所以，可得，所以．

（3）證明：由（2）可知．取，則，故有，則有先證明左邊：

因?yàn)?/p>

所以，故；

再證明右邊：

因?yàn)?/p>

所以，故．

綜上，21．（本題滿分18分，題（1）滿分4分，題（2）滿分6分，題（3）滿分8分）

若集合中有且僅有三個(gè)元素，且同時(shí)滿足①；②；

③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì)．

設(shè)集合，其中且，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均為集合的元素，則稱集合是集合的＂期待子集＂．

（1）對(duì)于集合，是否存在具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的＂期待子集＂；

（3）證明：＂集合存在具有性質(zhì)＂的充要條件是＂集合是集合的＂期待子集＂．【答案】（1）不具有，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）集合不具有性質(zhì)，理由如下：

（i）從集合中任取三個(gè)元素均為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不滿足條件③，（ii）從集合中任取三個(gè)元素有一個(gè)為2，另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，

則有，即，不滿足條件②，綜上所述，可得集合不具有性質(zhì).

（2）證明：由是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)是奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，不合題意，

當(dāng)時(shí)，由，得，即，或（舍），

因?yàn)槭桥紨?shù)，所以集合

令，解得，，

顯然，所以集合是集合的＂期待子集＂得證．

（3）證明：先證充分性：當(dāng)集合是集合的＂期待子集＂時(shí)，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，

不妨設(shè)，令，則，即滿足條件①，

因?yàn)?，所以，即滿足條件②，

因?yàn)?，所以為偶?shù)，即滿足條件③，

所以當(dāng)集合是集合