第3章多元正態(tài)總體的假設(shè)檢驗與方差分析

從本章開始，我們開始轉(zhuǎn)入多元統(tǒng)計方法和統(tǒng)計模型的學習。統(tǒng)計學分析處理的對象是帶

有隨機性的數(shù)據(jù)。按照隨機排列、重復、局部控制、正交等原則設(shè)計一個試驗，通過試驗結(jié)果

形成樣本信息（通常以數(shù)據(jù)的形式），再根據(jù)樣本進行統(tǒng)計推斷，是自然科學和I：程技術(shù)領(lǐng)域

常用的一種研究方法。由于試驗指標常為多個數(shù)量指標，故常設(shè)試驗結(jié)果所形成的總體為多元

正態(tài)總體，這是本章理論方法研究的出發(fā)點。

所謂統(tǒng)計推斷就是根據(jù)從總體中觀測到的部分數(shù)據(jù)對總體中我們感興趣的未知部分作出推測，

這種推測必然伴有某種程度的不確定性，需要用概率來表明其可靠程度。統(tǒng)計推斷的任務是“觀

察現(xiàn)象，提取信息，建立模型，作出推斷”。

統(tǒng)計推斷有參數(shù)估計和假設(shè)檢驗兩大類問題，其統(tǒng)計推斷目的不同。參數(shù)估計問題回答諸如“未

知參數(shù)的值有多大？”之類的問題，而假設(shè)檢驗回答諸如“未知參數(shù)的值是嗎？”之類的問

題。本章主要討論多元正態(tài)總體的假設(shè)檢驗方法及其實際應用，我們將對?元正態(tài)總體情形作

一簡單回顧，然后將介紹單個總體均值的推斷，兩個總體均值的比較推斷，多個總體均值的

比較檢驗和協(xié)方差陣的推斷等。

3.1一元正態(tài)總體情形的回顧

一、假設(shè)檢驗

在假設(shè)檢驗問題中通常有兩個統(tǒng)計假設(shè)（簡稱假設(shè)），一個作為原假設(shè)（或稱零假設(shè)），另

一個作為備擇假設(shè)（或稱對立假設(shè)），分別記為和。

1.顯著性檢驗

為便于表述，假定考慮假設(shè)檢驗問題：設(shè)，，…，來自總體的樣本，我們要檢驗

假設(shè)

，%：〃工4。（31）

原假設(shè)與備擇假設(shè)應相互排斥，兩者有且只有一個正確。備擇假設(shè)的意思是，一旦否

定原假設(shè)，我們就選擇已準備的假設(shè)。

當已知時.，用統(tǒng)計量

在原假設(shè)成立下，統(tǒng)計量服從正態(tài)分布，通過查表，查得的上分位點。

對于檢驗問題（3.1.1）,我們制定這樣一個檢驗規(guī)則（簡稱檢驗）：

當時，拒絕；

當時，接受。（3.2）

我們稱為臨界值，是的上分位點，不同的臨界值代表不同的檢驗。稱拒絕原假設(shè)的

統(tǒng)計量的范圍為拒絕域，稱接受的統(tǒng)計量的范圍為接受域，因此給出一個檢驗，就是給

出一個拒絕域。

2.兩類錯誤

由于樣本具有隨機性，因此在根據(jù)樣本進行判斷時，有可能犯兩種類型的錯誤。一類錯誤

是，原假設(shè)本來正確，但按檢驗規(guī)則卻作出了拒絕的判斷，這類錯誤稱為第一類錯誤（棄

真錯誤），其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率；另一類錯誤時，原假設(shè)本來不正確，但

按檢驗規(guī)則卻作出了接收的判斷，這類錯誤稱為第二類錯誤（存?zhèn)五e誤），其發(fā)生的概率稱

為犯第二類錯誤的概率，記為。

同時控制這兩類錯誤是困難的，當時在樣本容量固定的條件下，要使和同時減小，

通常是不可能的。在假設(shè)檢驗的應用中，由奈曼（NEYMAN）與皮爾遜（PEARSON）提出了一個原則，

即在控制犯第一類錯誤的概率條件下，盡量使犯第二類錯誤的概率小，這種檢驗問題，稱

為顯著性檢驗問題。根據(jù)這一原則，原假設(shè)受到保護，不至于被輕易拒絕，一旦檢驗結(jié)果拒絕

了原假設(shè)，則表明拒絕的理由是充分的，如果接受了原假設(shè)，則只是表明拒絕的理由還不充分,

未必意味著原假設(shè)就是正確的。所以，在實際問題中，為了通過樣本觀測值對某一猜測取得強

有力的支持，通稱我們把這一猜測的否定作為原假設(shè)，而把猜測本身作為備擇假設(shè)。

3.關(guān)于檢驗的值

下面，我們再介紹進行檢驗的另一種方式一一值，我們就以⑶1.1）的檢驗問題為例來

加以說明，對于樣本，我們通過統(tǒng)計量，計算出，是一確定值，這里的是樣本觀測值的均

值，再由統(tǒng)計量服從正態(tài)分布，計算為檢驗的值。

由于等價于=,所以檢驗規(guī)則可以表述為：

當時，拒絕；

當時，接受。接受。（3.3）

上述值的檢驗規(guī)則與（3.1.2）的檢驗結(jié)果相比含有更豐富的信息、，值越小，拒絕原假

設(shè)的理由就充分。通常SAS等軟件的計算機輸出一般只給出值，由你自己給定的值來判斷

檢驗結(jié)果

二、單一變量假設(shè)檢驗的回顧

1、單個正態(tài)總體均值的檢驗

考慮假設(shè)檢驗問題：設(shè)，，…，來自總體的樣本，我們要檢驗假設(shè)

“°：〃=〃o，%

（1）總體方差己知

構(gòu)造統(tǒng)計量

在原假設(shè)成立下，服從正態(tài)分布，可得這樣一個檢驗規(guī)則：

（2）當時，拒絕；

（3）當時，接受。

（4）總體方差/未知

構(gòu)造統(tǒng)計量

在原假設(shè)成立下，服從自由度為的分布可得這樣一個檢驗規(guī)則:

當時，拒絕；

當時，接受。(3.1.4)

2、兩個正態(tài)總體均值的比較檢驗

考慮假設(shè)檢驗問題

“0：=〃2，”1：工〃2（3.1.5）

（1）設(shè)是取自總體的容量為的樣本，是取自的容量為的樣本，給定顯

著性水平。

（2）兩個總體方差。：和（7；已知

文_yz

構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量z=1（3.1.6）

V巧叫

在原假設(shè)成立下，服從正態(tài)分布，檢驗規(guī)則為：

當時，拒絕；

當時，接受.

在方差分析問題中，變量是示性變量，即只取0或1的變量。GLM過程對每一因子的每

一水平，通過CLASS語句產(chǎn)生1個示性變量，也稱分類變量。

GLM過程主要有四個語句：PROCGLM,CLASS,MODEL和LSMEANS語句。

PROCGLM語句用以調(diào)用GLM過程，有許多選項，一般形式是：

Procglm［daia=數(shù)據(jù)集名稱］［。111$3=輸出的統(tǒng)計量］

［oider=foiniatted|fieq|data|internall；

CLASS語句說明哪些變量是分類變量。方差分析中的因素都是分類變量，如：

ClassVIV2V3；

此語句指示計算機把因子VI,V2,V3作為分類變量，可以是字符型變量或數(shù)字型變量。如

果是字符型變量，長度限于10個字符以內(nèi)。

MODEL語句語句中等號前是響應變量，如：

ModelY=A：單因子ANOVA

ModelY=ABC；主效應模型

ModelY=ABA*B；含交互效應的因子模型

ModelY1Y2=AB；多因子方差模型MANOVA

LSMEANS語句用以求待估參數(shù)的最小二乘估計。

LsmcansABA*B；

MANOVA語句用以說明是做多元方差分析。

3.2均值等于常數(shù)向量的檢驗

在經(jīng)濟生產(chǎn)、管理決策中的很多實際問題，通常要選取多個指標進行考察，根據(jù)歷史數(shù)據(jù),

將項指標的歷史平均水平記作，考慮新的項指標平均值是否與歷史數(shù)據(jù)記載的平均值有

明顯差異？若有差異，進一步分析差異主要在哪些指標匕先看下面的實例：

例3.1測量20名健康女性排汗量、鈉含量、鉀含量得表3.1。問健康女性、、

的均值是不是4、50.10?

表3-120名健康女性排汗量陽、鈉含量工2、鉀含量工數(shù)據(jù)

排汗量再鈉含量乙鉀含量工

3.748.59.3

5.765.18.0

3.847.210.9

3.253.212.0

3.155.59.7

4.636.17.9

2.424.814.0

7.233.17.6

6.747.48.5

5.454.111.3

3.936.912.7

4.558.812.3

3.527.89.8

4.540.28.4

1.513.510.1

8.556.47.1

4.571.68.2

6.552.810.9

4.144.111.2

5.540.99.4

一般的，我們考慮維正態(tài)分布均值等于常數(shù)的檢驗問題：為取自維正態(tài)總體的一

個樣本，要檢驗：

,（3.4）

其中〃。為已知〃維向量。

對于這樣一個檢驗問題，分為以下兩種情形：

一、協(xié)方差陣已知條件下，均值的檢驗

作出假設(shè)后，需要構(gòu)迨一個合適的統(tǒng)計量。要檢驗的假設(shè)在形式上同一維情形是一樣的。

"o：〃二〃o；乩

在一維時構(gòu)造的統(tǒng)計量為且在成立時，服從正態(tài)分布。

依照一維情形，由于成立時服從維正態(tài)分布，。若記，為非奇異對稱陣,

則有服從但用來確定拒絕域不方便，因此，改選用統(tǒng)計量，

/=〃（又—〃0）,￡7（又一〃0）（35）

當成立時，服從-分布。對給定的，從，求出，當

時，要先求，這需要大量的計算。實際計算時，可以不必求出，只要令

即zy=（X-//0）（3.6）

求解方程組（3.2.3）,求出Y后，則

/=〃（9—〃。）『丫

二.協(xié)方差陣未知條件下均值的檢驗

假設(shè)檢驗問題仍然是：

其中〃。為已知〃維向量。

在

回顧一元情況，在原假設(shè)成立下，服從自由度為的分布,

在維正態(tài)情況下，當協(xié)方差已知時，選用時統(tǒng)計量為

/二〃(又一〃。)72"(又一〃。)

現(xiàn)用樣本協(xié)方差代替總體協(xié)方差陣，令

2Tl

T=n(n-l)(X-jLic)S-(X-ju0)

統(tǒng)計量的分布是一元統(tǒng)計中分布的推廣，最早由HOTELLING導出，在上一章中，我們

已經(jīng)給出了這個定義，可以直接用它作為檢驗的統(tǒng)計量，分布已被仔細研究過，幽及5%的

分位點已經(jīng)列成專表，讀者可在［3］中找到這個表。也可以利用HOTELLING分布的性質(zhì)，

.+1尸~F(p,〃-p)(證明參見朱道元P210)

5-1)〃

當不成立時，有變大的趨勢，對給定的，從

求出，當時，拒絕；否則接受。

例3.1測量20名健康女性排汗量、鈉含量、鉀含量得表3.1。問健康女性、、的

均值是不是450、10?

解：建立

用SAS,MATEMATICA,MATLAB等軟件都可算出

-4.64■2879368410.0100000-1.8090526-

x=45.4,S=10.0100000199.7884211-5.6400000

9.965-1.8090526-5.64000003.6276579

T2=20(X一4)'ST(X-//())=9.74。

F=(20-3)*7,2/(19*3)=2.90>A；,,(0.10)=2.44

所以否定原假設(shè)，即在o.10顯著水平下拒絕。

例3.1也可用下列SAS程序計算

datahanye;

inputxl-x3;yl=xl-4;y2=x2-50;y3=x3-10;a=l;

cards;

3.748.59.3

5.765.18.0

3.847.210.9

3.253.212.0

3.155.59.7

4.636.17.9

2.424.814.0

7.233.17.6

6.747.48.5

5.454.111.3

3.936.912.7

4.558.812.3

3.527.89.8

4.540.28.4

1.513.510.1

8.556.47.1

4.571.68.2

6.552.810.9

4.144.111.2

5.540.99.4

procglm;

modelyl-y3=a/noint;

manovah=a/printeprmth;

run;

執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個表

H=TypeIIISSCPMatrixfora

E=ErrorSSCPMatrix

S=1M=0.5N=7.5

StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>F

Wilks*Lambda0.661127742.903170.0649

Pi1lai'sTrace0.338872262.903170.0649

Hotelling-LawleyTrace0.512566992.903170.0649

Roy'sGreatestRoot0.512566992.903170.0649

可見P值為0.0649,所以否定原假設(shè)，即在0.10顯著水平下拒絕。

在實際工作中，一元檢驗與多元檢驗可以聯(lián)合使用，多元的檢驗具有概括和全面的優(yōu)點，而一

元的檢驗容易發(fā)現(xiàn)各指標之間的關(guān)系和差異，兩者的結(jié)合能給統(tǒng)計人員提供更多的統(tǒng)計分析信

息。

3.3兩總體均值的比較檢驗

例3.2為了研究日美兩國在華企業(yè)對中國經(jīng)營環(huán)境的評價是否存在差異，從兩國在華企

業(yè)對中國的政治、經(jīng)濟、法律、文化等環(huán)境打分，得表3-2。試分析日美兩國在華企業(yè)對中國

經(jīng)營環(huán)境的評價是否存在差異？

表3-2日美兩國在華企業(yè)對中國經(jīng)營環(huán)境的評價

美國企業(yè)號政治環(huán)境XI經(jīng)濟環(huán)境X2法律環(huán)境X3文化環(huán)境X4

美165352560

美275502055

美360453565

美475404070

美570303050

美655403505

美760453060

美865402560

美960503070

美1055553575

日本企業(yè)號政治環(huán)境Y1經(jīng)濟環(huán)境Y2法律環(huán)境Y3文化環(huán)境Y4

日1,55554065

日250604570

日345453575

日450505070

F1555503075

日660404560

日765554575

日850653580

日940453065

日1045504570

假設(shè)服從，服從下，且有10對樣品，要做復合檢

一般情況下，我們考慮為取自維正態(tài)總體的一個樣本，為取自維正態(tài)總體的

一個樣本。假定兩組樣本相互獨立，且

一、有共同已知的協(xié)差陣時

對于例3.2提出的問題，可歸類為假設(shè)檢驗問題：

“0：M=〃2〃1：〃1工〃2其中〃i4為已知'維向量。

在一維情形下，用了統(tǒng)計量，與前面相似的思路，在維時，選用統(tǒng)計量

Z2=^(X_F)7E-1(X_F)

〃+〃2

當成立時，服從-分布。對給定的顯著性水平，從，求出。當時，拒絕

:當<時，接受“

二、有共同的未知協(xié)差陣時

假定兩組樣本相互獨立，己知兩總體有相同的協(xié)方差年>0,但未知，要檢驗的假設(shè)

/：從=〃2W：從其中從生為己知〃維向量。記

r

5)=J(Xf-X)(Xr-X)

i=l

S2=Z(Z-F)(Z—F)T

1=1

采用統(tǒng)計量為

T2=--(〃?+〃一2)(x-y)/(y+s,『(x_y)

m+n

定理3.2若，成立；則

F—+/n-p—\)T2/[p(n+m—2)]?尸(〃，〃十/〃一p—1)

證明參見朱道元P217

定理3.2可用于用做兩總體復合檢驗。

根據(jù)定理3.2,當成立時，統(tǒng)計量

(〃+加一2)一〃+12n+m-p-\

r=------------------------I------------------12

(〃+m-2)〃(〃+in-2)p

二刖加+力/⑸+S,)~\X-Y)?F",〃”一p-l)

p(m+n)

當不成立時，有變大的趨勢，對給定的，從

求出，當時，拒絕；否則接受O

以上有關(guān)的統(tǒng)計量在成立時所服從的分布的相應證明都比較復雜，這里我們只敘述了有

關(guān)結(jié)論，沒有給出證明，可參看第二章的相關(guān)內(nèi)容。這些統(tǒng)計量同一維相應的統(tǒng)計量均有相似

之處，對比兩者的形式有助于理解和應用。

例3.2的解：作假設(shè)

-64-'51'

__43_51

X=r=

30.5740

6370.5

-54.44444444-18.888888汾-13.33333333-27.22222222'

-18.888888?56.666666671.1111111134.44444444

SY=

-13.333333231.1111111135.8333333828.88888889

-27.2222222234.4444444428.888888汾56.66666667

45.833333335.8333333319.44444444-0.83333333

5.8333333355.833333332.7777777826.94444444

Sy二

19.444444羽2.7777777850.000000(1)-11.11111111

-0.8333333326.94444444-11.1111111135.83333333

10*10_———

T2=(X—P7ST(X—y)=29.8625

10+10

F=(10+10-4-l)/(910+10-2)*4)*29.8625=6.2214>^15(0.01)

所以日美兩國在華企業(yè)對中國經(jīng)營環(huán)境的評價存在顯著差異。

例3.2可用如下SAS程序?qū)崿F(xiàn)

datawul;

inputno$polecnlegculcou$;

cards;

2<6535256o

21

255o2o55

36o453565

4757o

40

5o

3050

6554o3565a

376o453o6oa

65256o

40

96o5o3o7o

:1o55553575a

t

Lt155554o65

Em25o457o

60

日345453575D

日450505070j

日555503075j

日6604045603

日765554575j

日850603580j

口940453065j

日1045504570j

procglm;

classcou;

modelpolecnlegcu_=cou/ss3;

manovah=cou/printeprinth;

run;

執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個表

H=TypeITTSSCPMatrixforcou

E=ErrorSSCPMatrix

S=1M=1N=6.5

StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>F

Wilks'Lambda0.376077346.224150.0037

PillaisTrace0.623922666.224150.0037

Hotelling-LawleyTrace1.659027526.224150.0037

Roy'sGreatestRoot1.659027526.224150.0037

由此可見P值是0.0037,因而日美兩國在華企業(yè)對中國經(jīng)營環(huán)境的評價存在顯著差異。

3.4多個總體均值向量的比較檢驗

在研究作物栽培時，要考慮播種期、品種、土質(zhì)、施肥方式、灌溉方式對產(chǎn)量的影

響；在化學反應中要觀察原料成分、劑量、催化劑、溫度、壓力，攪拌速度等對得

率的影響。在很多應用領(lǐng)域尤其是科學研究中，都遇到過類似的問題，常涉及許多

因素，這類問題要分析出影響最“大”的因素，就是比較各種因素對試驗結(jié)果所起的

作用問題。作為影響試臉結(jié)果的每一因素或因素的某一水平或某一方案，且試驗結(jié)

果都形成一個隨機總體。這樣，比較各種因素對試驗結(jié)果所起的作用問題就變成對

各種因素的試驗結(jié)果所形成的總體的比較問題。

由于試驗指標常為多元指標，故常設(shè)試驗結(jié)果所形成的總體為多元正態(tài)總體。此外,

我們按照隨機排列、重復、局部控制、正交等原則設(shè)計一個試驗，除要考察的因素

外，其他試驗條件均要求一致，即要考察的試驗因素的試驗結(jié)果都是同協(xié)方差陣的

且相互獨立的多元正態(tài)總體。因而，各因素對試驗結(jié)果影響的結(jié)果的比較，就變成

了多個同協(xié)方差陣的多元正態(tài)總體均值向量的比較。統(tǒng)計上解決兩個以上同協(xié)方差

陣多元正態(tài)總體均值向量比較的方法叫做多元方差分析。多個總體均值向量的比較

檢驗，特別是多元方差分析正是本節(jié)的內(nèi)容，這類方法在經(jīng)濟管理，系統(tǒng)控制，生

物醫(yī)藥等許多領(lǐng)域有著廣泛的應用。這里先看一個具體實例。

3.4.1提出問題

例3.3為了研究某種疾病，對三組人測量：第1組是20至35歲女性、第2組是20至25歲

男性、第3組是30至55歲男性。每組取20個人，測量第I組的第J人4個指標是：脂蛋白

（）、甘油三脂（）、脂蛋白（）、前脂蛋門（）。測量結(jié)果見表3-3。問三組

人的指標間有沒有顯著差別？

表3-3夕脂蛋白、甘油三脂、。脂蛋白、前夕脂蛋白數(shù)據(jù)

r(,)X⑴r(,)X⑵r(2)丫⑶（3）丫⑶r⑶

巧4%r

力1勺2勺3人〃勺1為2勺3勺2勺3人J4

2607540183101223021320643917

200723417310603518260593711

2408745181904027153GO88282G

1706539172256534162951003612

2701103924170653716270653221

20513034232108231173801143621

190692715280673718240554210

200464515210383617260553420

25011721202806530232601102920

2001072820200764017295733321

22513036112007639202401143818

21012526172809426113101033218

1706431141906033173301122111

2707633132955530163451272420

1906034162701252421250622216

2808120182801203218260592119

31011925152406232202251003430

270573182806929203451203618

2506731143707030203601072523

26013539292804037172501173616

問題中的3組人的測量值、、，每個隨機向量有4個指標，即4維隨機向量。例3.3要

從每個總體20個樣品值出發(fā)，檢驗是否成立。

3.4.2單因素方差分析的數(shù)學模型

方差分析的目的在于找出自變量與因變量之間的線性關(guān)系，或自變量對因變量的實驗效果。方

差分析是一種處理實驗數(shù)據(jù)的方法，考察一個被稱為因變量或相依變量(depencientvariable,)

的連續(xù)響應變量，乂稱反應變量(ResponseVariable),其數(shù)值則是連續(xù)的，它在由分類變量識別的

幾種試驗條件下被測量，這些分類變量被稱為自變量，獨立變量(independentvariable),定性變量

(QualitativeVariable)或分類變量(ClassificationVariable),其數(shù)值多半是不連續(xù)的。這些分

類變量的水平組合形成試驗設(shè)計的單元。例如，某個試驗要測量男人和女人的重量變化〔因變

量)，他們采取了三種不同的減肥方法，這個設(shè)計的6個單元由性別(男、女)和減肥方法(ABC)

6種組合形成。

一項試驗有多個影響因素，因素也可以看成是一種變量，其取值不是數(shù)，而是水平。例如“產(chǎn)地”

是一個變量，它取的值是“北京”、“上?！?、“南京”等。這種變量稱為屬性變量，定性變量或分

類變量.如果只有一個因素在發(fā)生變化，其他因素保持不變，則稱為單因素試驗，與之對應的方

差分析，稱為單因素方差分析。

我們所考察的.影響產(chǎn)品指標的因素(如產(chǎn)地，溫度)也稱為因子，用大寫字母A,B,C表小。

因素所能處的狀況，如甲、乙、丙；60,65,70,75,……,稱為因素的水平，簡稱為水平。水平常

以表示。

一般地，假設(shè)因素A有k個水平：。對第個水平進行試驗，獨立觀察次，,整個試

驗共作了次，且完全隨機排列。

設(shè)4的第/次觀察的試驗指標為p維向量

假設(shè)：

(I)同一個水平下得到的觀測值，…；…：，…，由于實驗過程中各種倡然因

素的干擾及測量誤差所致，每次實驗中這些偶然因素的總和稱為實驗誤差，它們是

方差相同的零均值正態(tài)隨機變最；

(2)所有誤差相互獨立；

由于水平的不同，可能會給一個定量的確定性的影響，其大小是未知的。

假定〃=一工從令〃

〃日

于是有模型：

X?=〃+%+%

?%~Np(0、E)且相互獨立

i=l,2,…,4,7=1,2,…,《

其中稱為總體均值向量，為的主效應向量，為的第次觀察的隨機誤差向量，根據(jù)假設(shè)

相互獨立且均服從。

判斷這個因素的影響是否顯著就是要檢驗假設(shè)：

H0:a[=a2=---=ak=0儲：%%不全為0（3.7）

設(shè)第I組樣本均值X"）=上方X?

總均值又=」￡yX?

flr=lj=l

樣本組內(nèi)差后=之石（X；”—湎）（x,—而y

/=1；=1

樣本組間差3二之〃,（又一尸）（又一尸）、

1=1

A=ti（X?-5）（Xf-又）=5+E,

r=lj=\

對干該檢驗問題的統(tǒng)計量，取WILKS統(tǒng)計量

定理3.3若，則服從WILKS分布

證明參見朱道元第177頁

例3.3為了研究某種疾病，對三組人測量：第1組是20至35歲女性、第2組是20至25

歲男性、第3組是30至55歲男性。每組取20個人，測量第I組的第J人4個指標是：脂蛋

白（）、甘油三脂（）、脂蛋白（）、前脂蛋白（）。測量結(jié)果見表3.3。問三

組人的指標間有沒有顯著差別？

解這兒有3個總體，建立假設(shè)

計算三總體樣本均值

一231.0--253.5--292.75-

89.672.5590.2

X=(2)=,A?(3)=

32.932.4531.75

_17.1_17.9__18.4

計算組內(nèi)差

-305306298-1078195-

15736.8-796.81：387.8

E［二

*95590.2

?.413.8_

?

-517057021.5-1571.5827

12288.95-807.95321.

E=

2364.95-5.1

■?**133.8

-

■43173.759959-1301.25723

?12441.2-333457.4

4=761.5-112

??476.8

12504.823278.5-395.751748-

40466.395-1937.752166.3

E=E4分卜氏二

2082.5-26.9

*?1024.2

計算組間差

—-

39065.832307.92-724.08786

4017.23-35.82-26.9

B=

13.43-14.7

*?17.2

--

計算總方差

-164474.5825586.42-4674.832534-

?44484.18-1973.572139.4

B+E=

2095.93-41.6

???1041.4

計算統(tǒng)計量，資得〉0.6621；

所以高度顯著否定，故三組人身體指標有顯著差異。

3.5總體協(xié)差陣相等的檢驗

本章第三節(jié)和第四節(jié)中，總假定不同總體的方差是相同的，這一假定是否合理？在一些問題

中應當加以證明。

3.5.1一個正態(tài)總體協(xié)方差陣的檢驗

設(shè)為取自維正態(tài)總體的一個樣本，未知，且。

首先，我們考慮假設(shè)檢驗問題：，

所構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量為

行expTMN*產(chǎn)

其中

r

A=^(X/-X)(X；-X)

2I

然后，我們考慮假設(shè)檢驗問題：，

因為，所以存在非奇異矩陣，使得

令匕=OX,，i=l,2,…，〃

則Yj~Np?i,DXDT)=Np("*￡)

因此檢驗2==等價于￡*=/「

此時構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量為

/l=exp{--rM^}A*|n/2(-)n,V2

21n

其中

A;力(工―力(匕―力，

/=1

給定檢驗水平，因為直接卷的分布計算臨界值很困難，所以通常采用的近似分布。

在成立時，的極限分布是，因此當?，由樣本值計算出值，若〉，即

<,則拒絕，否則不能拒絕。

3.5.2多個協(xié)方差陣相等檢驗

剛才討論的檢驗是一個正態(tài)總體協(xié)方差陣的檢驗，是檢驗當前協(xié)方差陣與過去是否

一樣，在一些實際問題中，可能會遇到多個正態(tài)總體的協(xié)方差陣是否相等的問題。

設(shè)有個正態(tài)總體分別為，…，，且未知，

從第i個總體中?。€樣本

m,□

這里+%+,,?+，”=〃為總樣本容量。

我們考慮假設(shè)檢驗問題為

,不全相等

構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量為

小丁2-

?=%產(chǎn)1----------------

|A|口，產(chǎn)

r=l

其中4=火4

1=1

4=宜(X?—又⑴)(x7_x(i))T,

按照Bartlett的建議，記，得到修正的檢驗統(tǒng)計量

,M產(chǎn)N喇2

2-Jrl___________________

￡一IA|N/2k

i=l

則在成立時，的極限分布是，其中

.f=g〃(P+D伏-1)

2P、3p-l侍1___

6(〃+1)(攵-幅同—片{NJ不必相等;

(2p2+3p-l)(k+l){“相等

6(p+l)M

有甲、乙兩品種，取得如表3-4所示的兩個二元正態(tài)樣本，試檢驗

表3-4方差陣檢驗數(shù)據(jù)

觀察值和百

3002322171002863201455385109

甲⑴26385

X235254310171233417

2001503331502833833503002149635167

乙X⑵161638

5043834173808610055642044

解：

「90163.48540.01

A=

[8540.04297.5

|A|=14892822ln|4,|=16.5164

|闋=460883525ln|4|=17.6461

|41=314545504.1ln|A|=19.5666

由于，，，，，，，故

kk

-21n2'=N(In|A\-p\nN)+收乂lnN女工ln|4|

r-l/=l

=175.1614+43.3371-206.0957=7.815

6/=0.1874

/=gp(〃+l)d)=3

=而3(3)=9.6176

由于，故應拒絕，即認為有顯著差異。

3.6獨立性檢驗

一個隨機向量，若其中兩子向量相互獨立，則可化為兩個低維隨即向量處理，給統(tǒng)計

分析帶來極大的便利，因此檢驗一個隨機向量的子向量之間是否獨立是參數(shù)假設(shè)檢驗中的重大

課題，而當

時，，相互獨立，互不相關(guān)（）。這時，，的獨立性檢驗可歸結(jié)

為參數(shù)假設(shè)檢驗。

一般情況下，設(shè)，正定，將分割成個子向量：

X=(X⑴,X⑵,?.?,X⑹),，

其中的維數(shù)為，,將與也作相應的剖分: