《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

第一章概率論的基本概念

§2.樣本空間、隨機事件

1.事件間的關(guān)系則稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生

稱為事件A與事件B的和事件，指當且僅當A,B中至少仃一個發(fā)生時，事件發(fā)生

稱為事件A與事件B的積事件，指當A.B同時發(fā)生時，事件發(fā)生

稱為事件A與事件B的差事件,指當且僅當A發(fā)生、B不發(fā)生時，事件發(fā)生

,則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時發(fā)生，基本事

件是兩兩互不相容的

,則稱事件A與事件B互為逆事件，乂稱事件A與事件B互為對立事件

2.運算規(guī)則交換律

結(jié)合律(AD8)<JC=Au(3uC)(Ac3)C=A(BnC)

分配律4D(5cC)=(4dB)c(AuC)

AC(8DC)=(AC8)(ACC)

德摩根律AD8=ACBAr\B=AuB

§3.頻率與概率

定義在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù),

比值稱為事件A發(fā)生的頻率

概率：設(shè)E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A),稱為事件

的概率

1.概率滿足下列條件：

(I)非負性：對于每一個事件A

<2)規(guī)范性：對于必然事件S

(3)可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，有(可以取)

2.概率的一些重要性質(zhì)：

(i)夕(。)=0

(ii)若是兩兩互不相容的事件，則有(可以取)

(iii)設(shè)A,B是兩個事件若，則，

(iv)對于任意事件A,

(v)P(A)=1-P(A)(逆事件的概率)

(vi)對于任意事件A,B有

§4等可能概型(古典概型)

等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素，試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同

若事件A包含k個基本事件，即，里

（I）§5.條件概率

（2）定義：設(shè)A.B是兩個事件，且，稱為事件A發(fā)生的條件二事件B發(fā)生的條件概率

（3）條件概率符合概率定義中的三個條件

lo非負性：對于某一事件B.有

（4）2。規(guī)范性：對于必然事件S,

3可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有

乘法定理設(shè)，則有稱為乘法公式

全概率公式：

貝葉斯公式：

§6.獨立性

定義設(shè)A,B是兩事件，如果滿足等式，則稱事件A,B相互獨立

定理一設(shè)A.B是兩事件，且，若A.B相互獨立，則

定理二若事件A和B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立：A與

第二章隨機變量及其分布

§1隨機變量

定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，稱為隨機變量

§2離散性隨機變量及其分布凈

離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離

散型隨機變量

L滿足如下兩個條件（1）,（2）=1

2.三種重要的離散型隨機變量

（I）分布

設(shè)隨機變量X只能取0與1兩個值，它的分布律是，則稱X服從以p為參數(shù)的分布或兩點分布.

（2）伯努利實驗、一項分布

設(shè)實驗E只有兩個可能結(jié)果：A與，則稱E為伯努利實驗.設(shè)，此時?將E獨立重復的進行n次，則稱這

一串.重第的獨立實驗為n重伯努利實驗。

滿足條件（1）,（2）=1注意到姑二項式的展開式中出現(xiàn)的那一項，我們稱隨機變量X服從參數(shù)為

n,p的二項分布。

（3）泊松分布

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2…，而取各個值的概率為其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的

泊松分布記為

§3隨機變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是一個隨機變量,x是任意實數(shù)，函數(shù)

稱為X的分布函數(shù)

分布函數(shù)，具有以下性質(zhì)（1）是一個不減函數(shù)（2）（3）

§4連續(xù)性隨機變量及其概率密度

連續(xù)隨機變量：如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F（X）,存在非負可積函數(shù)，使對于任意函數(shù)x有則稱

x為連續(xù)性隨機變量,其中函數(shù)f（x）稱為X的概率密度函數(shù)、簡稱概率密度

I概率密度具有以下性質(zhì)，滿足（1）：

（3）;（4）若在點x處連續(xù)，則有

2,三種重要的連續(xù)型隨機變量

（1）均勻分布

若連續(xù)性隨機變量X具有概率密度，則成X在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布.記為

（2）指數(shù)分布

若連續(xù)性隨機變量X的概率密度為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。

（3）正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的正態(tài)分相或高斯分布，記為

特別，當時稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布

§5隨機變量的函數(shù)的分布

定理設(shè)隨機變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)處處可導且恒有，則Y=是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為

第三章多維隨機變量

§1二維隨機變量

定義設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間是和是定義在S上的隨機變量，稱為隨機變量，由它們構(gòu)

成的一個向量（X,Y）叫做二維隨機變量

設(shè)（X.Y）是二維隨機變量,對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)

如果二維隨機變量（X,Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X,Y）是離散型的隨

機變量。

我們稱為二維離散型隨機變量（X.Y）的分布律。

對于二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)，如果存在非負可枳函數(shù)f（x,y）,使對于任意x,y有則稱（X,

Y）是連續(xù)性的隨機變量,函數(shù)f（x,y）稱為隨機變量（X.Y）的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合

概率密度。

§2邊緣分布

二維隨機變量（X.Y）作為一個整體，具有分布函數(shù).而X和Y都是隨機變量，各自也有分布函數(shù)，將

他們分別記為，依次稱為二維隨機變量（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。

分別稱為（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。

分別稱，為X,Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。

§3條件分布

定義設(shè)（X,Y）是二維離散型隨機變量，對于固定的j.若

則稱為在條件下隨機變量X的條件分布律，同樣為在條件下隨機變量X的條件分布律。

設(shè)二維離散型隨機變量（X,Y）的概率密度為，（X,Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為，若對于固定的

y.〉0.則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為=

§4相互獨立的隨機變量

定義設(shè)及，分別是：維離散型隨機變量（X.Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于所有x.y有，即,

則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。

對于二維正態(tài)隨機變量（X,Y）,X和Y相互獨立的充要條件是參數(shù)

§5兩個隨機變量的函數(shù)的分布

I.Z=X+Y的分布

設(shè)（X,Y）是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度.則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機變量，其概率密度為或

又若X和Y相互獨立，設(shè)（X,Y）關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為則和這兩個公式稱為的卷積公式

有限個相互獨立的正態(tài)陵機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布

2,

設(shè)（X,Y）是二維連續(xù)型隨機變量,它具有概率密度，則

仍為連續(xù)性隨機變量其概率密度分別為又若X和Y相互獨立，設(shè)（X,Y）關(guān)于X.Y的邊緣密度分別為則可

化為

3M=imx{X,Y}及N=nin[X,y^^)^f

設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為由于不大于z等價于X和Y都不大于z故有乂

山于X和Y相互獨立，得到的分布函數(shù)為

N=min{X,Y}的分布函數(shù)為Fmin(z)=1-[1-Fx(z)Jl-FY(z)]

第四章隨機變量的數(shù)字特在

§i.數(shù)學期里

定義設(shè)離散型隨機變量X的分布律為,k=l,2,…若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期

望，記為，即

設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學期里，記

為.即

定理設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))

(i)如果X是離散型隨機變黃，它的分布律為,k=l,2,…若絕對收斂則有

(ii)如果X是連續(xù)型隨機變量，它的分概率密度為，若絕對收斂則有

數(shù)學期里的幾個重要性質(zhì)

1設(shè)C是常數(shù)，則有

2設(shè)X是隨機變量.C是常數(shù),則有

3設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則芍：

4設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，則有

§2方差

定義設(shè)X是一個隨機變量，若存在，則稱為X的方差，記為D(X)即D(x)=,在應(yīng)用上還引入量，記

為，稱為標準差或均方差。

D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)-(EX)2

方差的幾個重要性質(zhì)

1設(shè)C是常數(shù)，則有

2設(shè)X是隨機變量.C是常數(shù)，則有，

3設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則有特別，若X,Y相互獨立，則有

4的充要條件是X以概率I取常數(shù).即

切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量X具有數(shù)學期望，則對于任意正數(shù)，不等式成立

§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

定義量稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差為，即

而PXY=f°U(X，絲=稱為隨機變量X和丫的相關(guān)系數(shù)

7D(X)7D(Y)

對于任意兩個隨機變量x和Y、

協(xié)方差具有下述性質(zhì)

1Cov(X,Y)=C(?v(y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

2Cov(X}+X2,y)=Cov(Xi,Y)+Cov(X2,Y)

定理

2的充要條件是，存在常數(shù)a,b使

當。時,稱X和Y不相關(guān)

附：幾種

常用的概數(shù)學期

參數(shù)分布律或概率密度方差

率分布表望

分布

兩點分布0<p<lPp(l-p)

/7>1

二項式分

npnp(l-p)

布0</?<1

泊松分布/1>0P(X=Q=F-/=0,12…22

\_l-P

幾何分布O<p<l尸(X=Q=(1-〃)ip,A=l,2「.

PP2

a+b(b-a)?

均勻分布a<b