概率統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)匯總

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有nl種不同的方法，在第二類方案中有m2

種不同的方法，……，在第n類方案中有皿)種不同的方法，則完成這件事情，共有N=nil+

m2+…+mn種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事情需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有ml種不同的方法，完成第二步有m2

種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N=mlXm2

X…Xmn種不同的方法.

3.兩個(gè)原理的區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù),它們的區(qū)

別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完

成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這

件事才算完成.

4.排列與排列數(shù)公式

(1)排列與排列數(shù)

所有不同排

列

排列的個(gè)數(shù)數(shù)

(2)排列數(shù)公式

狀=H〃-1)(〃-2)…(〃一9+1)=

(3)排列數(shù)的性質(zhì)

①A=n!；②0!=1.

5.組合與組合數(shù)公式

(1)組合與組合數(shù)

(2)組合數(shù)公式

〃?-2…〃一皿+1〃！

=m\a!n-m!

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

@cS=i；?a=cr>；?c:+cr^c^i.

6.排

列與

組合

問題

識別方法

的識

別方

法

若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列

排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)

若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合

組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān)

7,二項(xiàng)式定理

(1)定理：

(a+b)n=Can+Can—lb+…+Can—kbkd---hCbn(n^N*).

(2)通項(xiàng)：

第k+1項(xiàng)為：Tk+l=Can-kbk.

(3)二項(xiàng)式系數(shù)：

二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C(k=0,l,2,…，n).

8.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

9.概率與頻率

（1）在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的

次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn（A）=為事件A出現(xiàn)的頻率.

（2）對于給定的隨機(jī)事件A,在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會在某

個(gè)常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來刻畫隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，并

把這個(gè)常數(shù)稱為隨機(jī)事件A的概率，記作P（A）.

10.事件的

關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示

如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B

包含卓

包含事件A（或稱事件A包含于事件B）

關(guān)系（或力⑶

相等若B3A且A3B,那么稱事件A與事件B相等

A=B

關(guān)系

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則

并事件AUB

稱此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）

（和事件）（或A+B）

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則

交事件ADB

稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）

（積事件）（或AB）

互斥若ACB為不可能事件，則稱事件A與事件B互承

AdB=0

事件

若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事AdB=0：

對立

件A與事件B互為對立事件P(AUB)=P(A)+P(B)

事件

=1

11.理解事件中常見詞語的含義：

(DA,B中至少有個(gè)發(fā)生的事件為AUB；

(2)A,B都發(fā)生的事件為AB；

(3)A,B都不發(fā)生的事件為；

(4)A,B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為AUB；

(5)A,B至多一個(gè)發(fā)生的事件為AUBU.

12.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率：P(E)=L

(3)不可能事件的概率：P(F)=O.

(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

(5)對立事件的概率

若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)=1-P(B).

13.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系

互斥事件與對立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對立

事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對立事件是

互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.

14.基本事件的特點(diǎn)

(1)任意兩個(gè)基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

15.古典概型

(1)定義：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

(2)古典概型的概率公式：P(A)=.

16.幾何概型

(1)定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱

這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

(2)幾何概型的概率公式：P(A)=.

17.條件概率及其性質(zhì)

(1)對于任何兩個(gè)事件A和B,在己知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,

用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)==.

(2)條件概率具有的性質(zhì)：

①OW/W)W1；

②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A).

18.相互獨(dú)立事件

(1)對于事件A.B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A.B是相互獨(dú)立事件.

(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B),

P(AB)=P(B/A)P(A)=P(A)P(B).

(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B,與也都相互獨(dú)立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.

19.離散型隨機(jī)變量

隨著試驗(yàn)結(jié)果變化血變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X,Y,3%…表示.所有取值

可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.

20.離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)

(1)

一般

地，

若離

散型

隨機(jī)

變量

X可

Xi.???Xi???Xn

能取

的不

同值

為

xl,

x2,

???

>

xi,

???

>

xn,X

取每

一個(gè)

值

xi(i

1,2,

???

n)的

概率

P(X

xi)

pi,

則表

X

??????

PPiA

稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：

@pi20(i=l,2,…，n)；②pi=l.

21.常見離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)兩點(diǎn)分布：

若隨

機(jī)變

IX

服從

兩點(diǎn)01

分

布，

則其

分布

列為

X

P1-PP

其中p=P(X=l)稱為成功概率.

(2)超幾何分布

在

含

有M

件

次

品

的N

件

產(chǎn)

品

中，

任01???m

取n

件，

其

中

恰

有X

件

次

品，

則

事

件

{X

k)

發(fā)

生

的

概

率

為

PCX

k)

,k

0,1

,2,

其

中m

min

{M,

n),

且n

W

N,M

W

N,

n,

M,N

e

N*,

稱

分

布

列

為

超

幾

何

分

布

列.

X

/MJ-

???

P00rg

L#L.v-#

CN~~CT~

(3)二項(xiàng)分布

①獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試

驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，目任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都

是一樣的.

②在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為

P,則P(X=k)=Cpk(l-p)n—k(k=0,l,2,…，n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為

X?B(n,p),并稱p為成功概率.

22.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

若離散型隨機(jī)變量/的分布列為

XXiXi???Xi???Xn

??????

pPPPia

<1>均值：稱E(X)=xlpl+x2P2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它

反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

＜2＞方差:稱D(X)=(xi-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)

的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

＜3＞均值與方差的性質(zhì)

(a,b為常數(shù)).

＜4＞兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差

X~B(n,p)

才服從兩點(diǎn)分布

雙0為成功概率)np

XI-P)np{\-p)

23.正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=u對稱；

(3)曲線在尸4級達(dá)到峰值一75=；

兀

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當(dāng)。一定時(shí)，曲線隨著口的變化而沿x軸平移；

(6)當(dāng)A一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；

。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

(7)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(不需記憶)

①人〃一"層"+")=(].6826；

②人4-2。＜辰〃+267)=0.9544；

③辰4+3。)=0.9974.

24.簡單隨機(jī)抽樣

(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nW

N),且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機(jī)抽樣.

(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.

25.系統(tǒng)抽樣

(1)步驟：①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號；

②根據(jù)樣本容量n,當(dāng)是整數(shù)時(shí)，取分段間隔k=；

③在第1段用簡單桃機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號/(/WA)；

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)適用范圍：適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí).

26.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取

一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個(gè)部分組成時(shí).

27.三種

抽樣方法

各自特點(diǎn)、相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)

的比較

類別

簡單植機(jī)從總體中總體中的個(gè)體

最基本的抽樣方法

抽樣逐個(gè)抽取數(shù)校少

將總體平均分成幾部在起始部分抽樣抽樣過程

系統(tǒng)分，按事先確定的規(guī)則時(shí)，采用簡單隨機(jī)總體中的個(gè)體中每個(gè)個(gè)

抽樣分別在各部分中抽取抽樣數(shù)較多體被抽到

的可能性

將總體分成幾層，按各各層抽樣時(shí)采用簡總體由差異明相等

分層

層個(gè)體單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)顯的幾部分組

抽樣

數(shù)之比抽取抽樣成

28.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).

(2)決定組距與組數(shù).

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表.

(5)畫頻率分布直方圖.

29.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線

圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率

折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

30.莖葉圖

統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊

生長出來的數(shù).

31.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).

(3)平均數(shù)：把稱為al,a2,…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)Xi,x2,x3,…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)

標(biāo)準(zhǔn)差為S=Ai-X'Xi-X---------FX彳

方差為[(方一X)Z+(A2-X)2d-------F(x,-X)2]

32.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)常見的兩變量之間的關(guān)