第一章概率論的基本概念

在現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)生的現(xiàn)象千姿百態(tài)，概括起來無非是兩類現(xiàn)象：確定性的和隨機(jī)性的.

例如：水在通常條件下溫度達(dá)到100C時必然沸騰，溫度為0C時必然結(jié)冰；同性電荷相互

排斥，異性電荷相互吸引等等，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象，它們在一定的條件下一定會發(fā)生.

另有一類現(xiàn)象，在一定條件下，試驗(yàn)有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)測是哪一種結(jié)果，

此類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.例如：測量一個物體的長度，其測量誤差的大??；從一批電視機(jī)中

隨便取一臺，電視機(jī)的壽命長短等都是隨機(jī)現(xiàn)象.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，就是研究和揭示隨機(jī)

現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門基礎(chǔ)學(xué)科.

這里我們注意到，隨機(jī)現(xiàn)象是與一定的條件密切聯(lián)系的.例如：在城市交通的某一路口，

指定的一小時內(nèi)，汽車的流量多少就是一個隨機(jī)現(xiàn)象，而指定的一小時內(nèi)就是條件，若換

成2小時內(nèi)，5小時內(nèi)，流量就會不同.如將汽車的流量換成自行車流量，差別就會更大，

故隨機(jī)現(xiàn)象與一定的條件是有密切聯(lián)系的.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用是很廣泛的，幾乎滲透到所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，如工業(yè)、農(nóng)業(yè)、

國防與國民經(jīng)濟(jì)的各個部門.例如，工業(yè)生產(chǎn)中，可以應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行質(zhì)量控制，T

業(yè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，產(chǎn)品的抽樣檢查等.還可使用概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行氣象預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)和地震預(yù)

報(bào)等等.另外，概率統(tǒng)計(jì)的理論與方法正在向各基礎(chǔ)學(xué)科、工程學(xué)科、經(jīng)濟(jì)學(xué)科滲透，產(chǎn)生

了各種邊緣性的應(yīng)用學(xué)科，如排隊(duì)論、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息論、控制論、時間序列分析等.

第一節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件

1.隨機(jī)試驗(yàn)

人們是通過試驗(yàn)去研究隨機(jī)現(xiàn)象的，為對隨機(jī)現(xiàn)象加以研究所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)，稱為

試驗(yàn).若一個試驗(yàn)具有下列三個特點(diǎn)：

10可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；

2,每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且事先可以明確試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

3'進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

則稱這一試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)(Randomtrial),記為為

下面舉一些隨機(jī)試驗(yàn)的例子.

石：拋一枚硬幣，觀察正面，和反面7出現(xiàn)的情況.

E：擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

區(qū)：在一批電視機(jī)中任意抽取一臺，測試它的壽命.

4：城市某一交通路口，指定一小時內(nèi)的汽車流量.

區(qū)：記錄某一地區(qū)一晝夜的最高溫度和最低溫度.

2.樣本空間與隨機(jī)事件

在一個試驗(yàn)中，不論可能的結(jié)果有多少，總可以從中找出一組基本結(jié)果，滿足：

1°每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中的一個基本結(jié)果.

2,任何結(jié)果，都是由其中的一些基本結(jié)果所組成.

隨機(jī)試驗(yàn)？的所有基本結(jié)果組成的集合稱為樣本空間(Samplespace),記為Q樣本空

間的元素，即E的每個基本結(jié)果，稱為樣本點(diǎn).卜.面寫出前面提到的試驗(yàn)醺上1,2,3,4,5)

的樣本空間Q:

h

h

口：｛（/,/）I/J=123,4,5,6｝；

a：｛fI/剃；

a：｛0,l,2,3,,力

Q:｛（x,y）I北或予$：?,這里彳表示最低溫度,y表示最高溫度，并設(shè)這一地區(qū)溫度不會

小于力也不會大于T\.

隨機(jī)試驗(yàn)后的樣本空間儆子集稱為后的隨機(jī)事件（Randomevent）,簡稱事件①，通常

用大寫字母48G?表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱

這一事件發(fā)生.例如，在棉骰子的試驗(yàn)中,可以用A表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)'這個事件，若試驗(yàn)

結(jié)果是出現(xiàn)6點(diǎn)'；就稱事件A發(fā)生.

特別地，由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件.例如，試驗(yàn)石有兩個基本事件｛//）、

｛7｝：試驗(yàn)4有36個基本事件｛（1,1）｝、｛（1,2）｝、??、?｛（6,6））.

每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件.樣本空間咆含所有的樣本點(diǎn)，它是小1

身的子集，每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生，故它就是一個必然事件.因而必然事件我們也用〈求示.

在每次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件.空集不包含任何樣本點(diǎn)，它作為樣本空

間的子集，在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，故它就是一個不可能事件.因而不可能事件我們也

用表示.

3.事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算

事件是一個集合，因而事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算可以用集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算

來處理.

下面我們討論事件之間的關(guān)系及運(yùn)算.

1’如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件8發(fā)生，則稱事件A包含于事件B（或稱事件8包含事

件力），記作力＜=8（或8=）/）.

月u￡的一個等價說法是，如果事件8不發(fā)生，則事件4必然不發(fā)生.

若4u8且8=4則稱事件月與8相等（或等價），記為止8.

為了方便起見，規(guī)定對于任一事件4有U4顯然，對于任一事件4有AUQ

20事件月與8中至少有一個發(fā)生’的事件稱為力與￡的并（和），記為力U8

由事件并的定義，立即得到：

對任一事件4有

力UQ=^AU=4

止表示力,心，4中至少有一個事件發(fā)生這一事件.

/=1

在表示可列無窮多個事件4中至少有一個發(fā)生'這一事件.

f=\

30事件4與8同時發(fā)生的事件稱為月與8的交（積），記為AC6或（49）.

由事件交的定義，立即得到：

對任一事件4有

Ano=A；AH=.

@嚴(yán)格地說，事件是指C中滿足某些條件的子集.當(dāng)Q是由有限個元素或由無窮可列個元素組成時，每個子

集都可作為一個事件.若。是由不可列無限個元素組成時，某些子集必須排除在外.幸而這種不可容許的子集

在實(shí)際應(yīng)用中幾乎不會遇到.今后，我們講的事件都是指它是容許考慮的那種子集.

h

h

出耳表示瓦”，〃個事件同時發(fā)生這一事件,

/=1

屋與表示可列無窮多個事件8同時發(fā)生這一事件.

1=1

4°事件力發(fā)生而8不發(fā)生’的事件稱為4與8的差，記為力B.

由事件差的定義，立即得到：

對任一事件4有

AA=；A=AxA.

50如果兩個事件力與8不可能同時發(fā)生，則稱事件力與8為互不相容（互斥），記作/!

CB=.

基本事件是兩兩互不相容的.

6°若月且,則稱事件彳與事件8互為逆事件（對立事件）j的對立事件

記為不,可是由所有不屬于才的樣本點(diǎn)組成的事件，它表示才不發(fā)生這樣一個事件.顯然，二

CA.

在一次試驗(yàn)中，若A發(fā)生，則，必不發(fā)生（反之亦然），即在一次試驗(yàn)中，A與可二者

只能發(fā)生其中之一，并且也必然發(fā)生其中之一.顯然有了二A.

對立事件必為互不相容事件，反之，互不相容事件未必為對立事件.

以上事件之間的關(guān)系及運(yùn)算可以用文氏（Venn）圖來直觀地描述.若用平面上一個矩形表示樣

本空間Q矩形內(nèi)的點(diǎn)表示樣本點(diǎn)，圓月與圓8分別表示事件力與事件8,則小與8的各種

關(guān)系及運(yùn)算如下列各圖所示（見圖11~圖16）.

圖11圖12圖13

圖14圖15圖16

可以驗(yàn)證一般事件的運(yùn)算滿足如下關(guān)系：

1°交換律AUB=BUA,AnB=BnA：

2"結(jié)合律AU（BUC）=（AUB）UC，

AA（BAC）=（AnB）nc；

30分配律AU（BAC）=（AUB）n（AUC）,

An（BUC）=（AnB）u（Anc）；

分配律可以推廣到有窮或可列無窮的情形，即

/in）=U（AnA）,”（仆4）=仆（AUA）；

1=1/=1r=!J=1

h

h

An

/n（UA）=U（A）,月）二n（4u4）.

4AB=AB=AAB；

5,對有窮個或可列無窮個4,恒有

0|4=仆4,n4=UA；

UA=riA-riA=UA；

例1.1設(shè)4B,C為三個事件，用月，B,。的運(yùn)算式表示下列事件：

（1）力發(fā)生而8與C都不發(fā)生：力石6或48?；蛄Γ?U。.

（2）48都發(fā)生而。不發(fā)生：月8心或四C.

（3）A,B,，至少有一個事件發(fā)生：A'JBUC.

（4）A,B,。至少有兩個事件發(fā)生：（/切）U（A0U（BO.

（5）4B,。恰好有兩個事件發(fā)生：（加6）UCACB）U（aI）.

（6）4B，O恰好有一個事件發(fā)生：（力56）U（3AC）U（CAB）.

（7）48至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生：（AUB）C.

（8）A,B,。都不發(fā)生：AUBCC或N豆

例1.2在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生.若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示

該生是三年級學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動員.

（1）敘述月8仁的意義.

（2）在什么條件下旬至=，成立？

（3）在什么條件下KuB成立？

解（1）該生是三年級男生，但小是運(yùn)動員.

（2）全系運(yùn)動員都是三年級男生.

（3）全系女生都在三年級.

例1.3設(shè)事件力表示甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷'；求其對立事件

解設(shè)氏甲種產(chǎn)品暢銷'；但乙種產(chǎn)品滯銷'；則走比故

入二前;二方ue=甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷'：

h

h

第二節(jié)概率、古典概型

除必然事件與不可能事件外，任一隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中都有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)

生.人們常常希望了解某些事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小.為此，我們首先引入頻率

的概念，它描述了事件發(fā)生的頻繁程度，進(jìn)而我們再引出表示事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能

性大小的數(shù)TI率.

1.頻率

定義1.1設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了〃次試驗(yàn).若隨機(jī)事件力在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了才

次，則比值〃〃稱為事件月在這〃次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率（Frequency）,記為￡（/!）=㈤〃.

由定義1.1容易推知，頻率具有以下性質(zhì)：

10對任一事件4有0W（月）S；

2°對必然事件口有，（。）二］；

3°若事件48互不相容，則

fn（AUB）=fn（A）+fn（B）

一般地，若事件4,山，4兩兩互不相容，則

m

A（UA）=EZ,（A）.

I=1i=l

事件/!發(fā)生的頻率￡（月）表示力發(fā)生的頻繁程度，頻率大，事件力發(fā)生就頻繁，在一次

試驗(yàn)中，月發(fā)生的可能性也就大.反之亦然.因而，直觀的想法是用以月）表示片在一次試驗(yàn)

中發(fā)生可能性的大小.但是，由于試驗(yàn)的隨機(jī)性，即使同樣是進(jìn)行〃次試驗(yàn)，6（#的值也

不一定相同.但大量實(shí)驗(yàn)記實(shí)，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)〃的增加，頻率￡（用會逐漸穩(wěn)定于某個

常數(shù)附近，而偏離的可能性很小.頻率具有穩(wěn)定性'這一耳實(shí)，說明了刻畫事件月發(fā)生可能性

人小的數(shù)T率具有一定的客觀存在性.（嚴(yán)格說來，這是一個理想的模型，因?yàn)槲覀冊趯?shí)

際上并不能絕對保證在每次試驗(yàn)時，條件都保持完全一樣，這只是一個理想的假設(shè)）.

歷史上有一些著名的試驗(yàn)，德?摩根（DeMorgan）蒲豐（Buffon）和皮爾遜（Pearson）

曾進(jìn)行過大量擲硬幣試驗(yàn)，所得結(jié)果如表1-1所示.

表1-1

試驗(yàn)者擲硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面的頻率

德?摩根204810610.5181

蒲豐404020480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

可見出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近擺動，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，它逐漸穩(wěn)定于0.5.這個

0.5就反映正面出現(xiàn)的可能性的大小.

每個事件都存在一個這樣的常數(shù)與之對應(yīng)，因而可將頻率〃（/1）在〃無限增大時逐漸趨

向穩(wěn)定的這個常數(shù)定義為事件/發(fā)生的概率.這就是概率的統(tǒng)計(jì)定義.

定義1.2設(shè)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)為k,當(dāng)月很大時，頻率kin在某一

數(shù)值0的附近擺動，而隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增加，發(fā)生較大擺動的可能性越來越小，則稱數(shù)0

為事件A發(fā)生的概率，記為尸（月）二0.

h

h

要注意的是，上述定義并沒有提供確切計(jì)算概率的方法，因?yàn)槲覀冇肋h(yuǎn)不可能依據(jù)它確

切地定出任何一個事件的概率.在實(shí)際中，我們不可能先■每一個事件都做大量的試驗(yàn)，況且

我們不知道〃取多大才行；如果〃取很大，不一定能保證每次試驗(yàn)的條件都完全相同.而且

也沒有理由認(rèn)為，取試驗(yàn)次數(shù)為〃+1來計(jì)算頻率，總會比取試驗(yàn)次數(shù)為〃來計(jì)算頻率將會更

準(zhǔn)確、更逼近所求的概率.

為了理論研究的需要，我們從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)，給出概率的公理化

定義.

2,概率的公理化定義

定義1.3設(shè)必樣本空間，/為事件，對于每一個事件/賦予一個實(shí)數(shù).記作尸（4），

如果夕（月）滿足以下條件：

1°非負(fù)性：PCA）券;

2°規(guī)范性：P（0=1;

3°可列可加性:對于兩兩互不相容的可列無窮多個事件4,■,??，?4,??，?有

P（04）這P（4）

〃=1w=l

則稱實(shí)數(shù)產(chǎn)（用為事件月的概率（Probability）.

在第五章中將證明，當(dāng)〃一用J.頻率〃（月）在一定意義下接近于概率，3）.基于這一事

實(shí)，我們就有理由用概率尸（月）來表示事件力在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小.

由概率公理化定義，可以推出概率的一些性質(zhì).

性質(zhì)1a）=0

證令兒Q（77=1,2,?九

U—=，且44=（i書，.

rr=l

由概率的可列可加性得

R）=P（0A）=￡P(guān)（A”）=￡P(guān)（）,

n=lH=1.1=1

而）至及上式知P（）=0.

這個性質(zhì)說明：不可能事件的概率為0.但逆命題不一定成立，我們將在第二章加以說

明.

性質(zhì)2（有限可加性）若4,4,4為兩兩互不相容事件，則有

&Cl4）=為尸⑷）.

k=l?=1

證令4g4即七，則44二.當(dāng)萬，八六1,2,?時，由可列可加性，得

地4）=P（U4）=￡p（&）這P（A）.

t=lfc=ljt=li=l

性質(zhì)3設(shè)48是兩個事件，若AuB,則有

P（B—A）=P（B）—P（A）;或P（A）<P（B）.

h

h

證由AU反知壓力u（8?m且（岳月）二.

再由概率的有限可加性有

P（B）=P（AU（8?A））=RA）+HRA）,

即PCB-A）二尸（皮-P（A）;

又由RBd）尋得「（月）望（8）

性質(zhì)4對任一事件,4,尸3）4

證因?yàn)閚uC,由性質(zhì)3得尸（力）陽。）=1

性質(zhì)5對于任一事件4有

P（A）=1-PU）

證因?yàn)閆u止C,ADA=,

由有限可加性，得

1=P（。）=尸（.UA）;尸（.）+P3）,

即尸（.）=1-AM）

性質(zhì)6（加法公式）對于任意兩個事件（夕有

代月口與="月）+氏3）-只片為

證因?yàn)榍?C（8/8）二.

由性質(zhì)2,3得

P（AUB）=P[A^[B-AB））=RA）+RB-AE）=RA）+R8）-RA協(xié)

性質(zhì)6還可推廣到三個事件的情形.例如，設(shè)A,4,4為任意三個事件，則有

R4U4U4）二尸（4）+P（A2）+夕（4）?23出）

-尸（44）-尸（44）+尸（/MM）

一般地，設(shè)4,4,1?4為任意〃個事件，可由歸綱法證得

尸（45燈4）=￡尸（4）一ZP（AA/）+ZP（A￡A）-----+（-l）"7p（A]A2…4”）.

r=l1^/<j<.n1^J<j<k^n

例1.4設(shè)48為兩事件，尸3）=0.5,A8）=0.3,R超）=0.1,求：

（1）月發(fā)生但8不發(fā)生的概率；

（2）月不發(fā)生但8發(fā)生的概率；

（3）至少有一個事件發(fā)生的概率；

（4）A,8都不發(fā)生的概率；

（5）至少有一個事件不發(fā)生的概率.

解（1）PCAB）=P（小皮=P（小力皮=P（J）-P（AB）=0.4；

（2）P（汗B）=P（E-AB）=P（B）-P（AB）=0.2;

（3）/（JU5）=0.5+0.3-0.1=0.7；

（4）I\AB）=aAUS）=1-7T/1U^）=1-0.7=0.3;

（5）AUB）=/（AB）=1-^/15）=l-0.1=0.9.

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3.古典概型

定義1.4若隨機(jī)試驗(yàn)￡滿足以下條件：

1,試驗(yàn)的樣本空間C只有有限個樣本點(diǎn)，即

。=｛3,3，*,1,3｝；

2°試驗(yàn)中每個基本事件的發(fā)生是等可能的，即

2（｛3｝）（｛3｝）二七尸（[3｝）,

則稱此試驗(yàn)為古典概型，或稱為等可能概型.

由定義可知｛3｝,｛3｝,??:｛3｝是兩兩互不相容的，故有

1二戶（一=R｛3｝U?+J（3｝）=只｛3｝）+?中A｛3｝）,

又每個基本事件發(fā)生的可能性相同，即

P（｛<*）｝）孑（｛3｝）二?二只｛0>｝）,

故1=研｛3｝）,

從而P（｛to｝）=1//?,i=l,2/VZJ

設(shè)事件月包含4個基本事件

則有

P（J）二尸（｛5｝U｛32｝U-U｛3H）=H｛3I｝）+H｛32｝）+^H｛3H）

=1/〃+1/〃十???十1/〃-kin

由此，得到古典概型中事件A的概率計(jì)算公式為

P（A）=kln=A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)/Q中樣本點(diǎn)總數(shù)（1.1）

稱古典概型中事件A的概率為古典概率.一般地，可利用排列、組合及乘法原理、加法

原理的知識計(jì)算A和〃，進(jìn)而求得相應(yīng)的概率.

例1.5將一枚硬幣拋擲三次，求：

（1）恰有一次出現(xiàn)正面的概率；

（2）至少有一次出現(xiàn)正面的概率.

解將一枚硬幣拋擲三次的樣本空間

gHHH,HHT,HTH,THH,HTT,協(xié)1TH,777｝

。中包含有限個元素?，且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同.

（1）設(shè)力表示恰有一次出現(xiàn)正面

則A=｛HTT,THT,TTH],

故有PCA）=3/8.

（2）設(shè)8表示至少有一次出現(xiàn)正面'；

由方二｛77力，得

P（玲=I-P（B）=1-1/8=778

當(dāng)樣本空間的元素較多時，我們一般不再將計(jì)1的元素一一列出，而只需分別求出5

與片中包含的元素的個數(shù)（即基本事件的個數(shù)），再由（1.1）式求出力的概率.

例1.6一口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球.從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取

一只,考慮兩種取球方式：

（a）第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再任取一球.這種取球方式叫做

有放回抽取.

（b）第一次取一球后不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不

h

h

放回抽取.

h

h

試分別就上面兩種情形求：

(1)取到的兩只球都是白球的概率；

(2)取到的兩只球顏色相同的概率；

(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.

解(a)有放回抽取的情形：

設(shè)力表示事件取到的兩只球都是白球8表示事件取到的兩只球都是紅球'；。表示事件

取到的兩只球中至少有一只是白球':則4U8表示事件收到的兩只球顏色相同而C=B.

在袋中依次取兩只球，每一種取法為一個基本事件，顯然此時樣本空間中僅包含有限個

元素，且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，因而可利用(1.1)式來計(jì)算事件的

概率.

第一次從袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取.由乘法原理知共有

6x6種取法，即基本事件總數(shù)為6x6.對于事件力而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第

二次也有4只門球可供抽取，由乘法原理知共有4x4種取法，即力中包含4x4個元素.同理,

8中包含2x2個元素，于是

，(月)=(4x4)/(6x6)=4/9，

P(B)=(2x2)/(6x6)=1/9

由于月出，故

P(AUB)=P(A)MB)=5/9,

尸(。二尸(耳)=8/9.

(b)不放回抽取的情形：

第一次從6只球中抽取，第二次只能從剩下的5只球中抽取，故共有6x5種取法，即樣本點(diǎn)

總數(shù)為6x5.對于事件月而言，第一次從4只白球中抽取，第二次從剩下的3只白球中抽取,

故共有4x3種取法，即/中包含4x3個元素，同理B中包含2x1個元素，于是

P2

尸(月)=(4x3)/(6x5)=吟=2/5,

「6

■0=(2xl)/(6x5)二"二"15.

P6

由于AB=,故

RAUB)=P(A)+P(B)=7/15,

=14/15.

在不放回抽取中，一次取一個，一共取用次也可看作一次取出勿個，故本例中也可用組

合的方法，得

C2

P⑷=得=2/5,

2

5r

C2

P(B)T=l/15.

c；

h

h

例1.7箱中裝有〃只白球，。只黑球，現(xiàn)作不放叵抽取，每次一只.

(1)任取眥〃只，恰有勿只白球，〃只黑球的概率(加書,〃題)；

(2)第左次才取到白球的概率(^1);

(3)第k次恰取到白球的概率.

解(1)可看作一次取出帆〃只球，與次序無關(guān)，是組合問題.從a+b只球中任取

只，所有可能的取法共有CT；種，每一種取法為一基本事件且由于對稱性知每個基本事件

發(fā)生的可能性相同.從方只白球中取勿只，共有C：種不同的取法，從5只黑球中取〃只，

共有C；；種不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，刀只黑球的取法共有C：C；種，于是

所求概率為

y「"】十刀

(2)抽取與次序有關(guān),每次取一只，取后不放回，一共取A次，每種取法即是從a〃個

不同元素中任取k個不同元素的一個排列，每種取法是一個基本事件，共有P,3,個基本事

件，且由于對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同.前hl次都取到黑球，從b只黑球中

任取hl只的排法種數(shù)，有匕7種，笫4次抽取的白球可為a只白球中任一只，有P：種不

同的取法.由乘法原理，前hl次都取到黑球，第&次取到白球的取法共有種，于是

所求概率為

加警.

Ta+b

(3)基本事件總數(shù)仍為P：+〃.第才次必取到白球，可為z只白球中任一只，有P：種不同

的取法，其余被取的hi只球可以是其余R力1只球中的任意A1只，共有琮人種不同的

取法，由乘法原理，第上次恰取到白球的取法有種，故所求概率為

%一…，

例1.7(3)中值得注意的是p，與&無關(guān)，也就是說其中任一次抽球，抽到白球的概率都

跟第一次抽到白球的概率相同，為」一，而跟抽球的先后次序無關(guān)(例如購買福利彩票時,

a+b

盡管購買的先后次序不同，但各人得獎的機(jī)會是一樣的).

例1.8有〃個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的任一間中，

求恰好有〃個房間，其中各住一人的概率.

解每個人都有N種分法，這是可重復(fù)排列問題，q個人共有M種不同分法.因?yàn)闆]有

指定是哪幾間房，所以首先選出口間房，有種選法,對于其中每一種選法，每間房各住

h

h

一人共有

h

h

加種分法，故所求概率為

%

7N”.

許多直觀背景很不相同的實(shí)際問題，都和本例具有相同的數(shù)學(xué)模型.比如生FI問題：假

設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，那么隨機(jī)選取〃（〃465）個人，他們的

生日各不相同的概率為

。GM

365"

因而〃個人中至少有兩個人生日相同的概率為

例如加64時R=0.997,這表示在僅有64人的班級里，至少有兩人生日相同'的概率與

1相差無幾，因此幾乎總是會出現(xiàn)的.這個結(jié)果也許會讓大多數(shù)人驚奇，因?yàn)樾l(wèi)個班級中至

少有兩人生口相同’的概率并不如人們直覺中想象的那樣小，而是相當(dāng)大.這也告訴我們，直

覺”不很可靠，說明研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律是非常重要的.

例1.912名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個班中去，試求：

（1）每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；

（2）3名優(yōu)秀生分配到同一個班的概率.

解12名新生平均分配到三個班的可能分法總數(shù)為

「4p4p4_12!

55J—

(4廳

（1）設(shè)4表示每班各分配到一名優(yōu)秀生”

3名優(yōu)秀生每一個班分配一名共有3!種分法，而其他9名學(xué)生平均分配到3個班共

有百J種分法，由乘法原理，力包含基本事件數(shù)為

3L2.且

(3!>(3!)2

故有

9!12?

尸3）=而二電55

（2）設(shè)8表示3'名優(yōu)秀生分到同一班'；故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其

QI

他9名學(xué)生分法總數(shù)為C：C；C：二=—，故由乘法原理，5包含樣本總數(shù)為3?9!

1!4!4!1!4!4!

3.9!12!

故有

P=7("附⑷/7"丫vT=3/55

4.幾何概型

h

h

上述古典概型的計(jì)算，只適用于具有等可能性的有限樣本空間，若試驗(yàn)結(jié)果無窮多，它

顯然已不適合.為了克服有限的局限性，可將古典概型的計(jì)算加以推廣.

設(shè)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：

（1）樣本空間混一個幾何區(qū)域，這個區(qū)域大小匕以度量（如長度、面積、體積等）,

并把處勺度量記作加（。）.

（2）向區(qū)域W9任意投擲一個點(diǎn)，落在區(qū)域內(nèi)任一個點(diǎn)處都是等可能的”.或者設(shè)落在

。中的區(qū)域月內(nèi)的可能性與月的度量加力）成正比，與力的位置和形狀無關(guān).

不防也用A表示擲點(diǎn)落在區(qū)域/內(nèi)的事件，那么事件A的概率可用下列公式計(jì)算：

P二雙月）/雙

稱它為幾何概率.

例1.10在區(qū)間（0,1）內(nèi)任取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)的乘積小于1/4的概率.

解設(shè)在（0,1）內(nèi)任取兩個數(shù)為10，則

0<A-<1,0</<1

圖1-7

即樣本空間是由點(diǎn)（筋y）構(gòu)成的邊長為1的正方形Q其面積為1.

令力表示兩個數(shù)乘積小于1/4'；則

A={（J,y）IO<^y<l/4,O<^<1,0<y<l}

事件4所圍成的區(qū)域見圖1-7,則所求概率

只月）=1--+f'—dr=-+-ln2

114J'/44x42

圖1-8

例1.11兩人相約在某天下午2：00?3:00在預(yù)定地方見面，先到者要等候20分鐘,

過時則離去.如果每人在這指定的一小時內(nèi)任一時刻到達(dá)是等可能的，求約會的兩人能會到

面的概率.

解設(shè)為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時刻，那么，兩人到達(dá)時間的一切可能結(jié)果落在邊長為

60的正方形內(nèi)，這個正方形就是樣本空間Q而兩人能會面的充要條件是Ix-yl或0,即

令事件4表示兩人能會到面'；這區(qū)域如圖1-8中的4則

h

h

m(A)_602-4025

KA)

二〃?(Q)-—6O3~-9,

第三節(jié)條件概率、全概率公式

1.條件概率的定義

定義1.5設(shè)力，8為兩個事件，且尸（皮＞0,則稱。（43）/夕（皮為事件月已發(fā)生的

條件下事件力發(fā)生的條件概率，記為尸（山皮，即

尸3IB）=RAB）IRE）

易驗(yàn)證，PTI與符合概率定義的三條公理，即：

r對于任一事件4有H418）多：

2°RCI歷=1;

3-（。4網(wǎng)=方尸（八忸），

?=|

其中4,4,4,?為兩兩互不相容事件.

這說明條件概率符合定義1.3中概率應(yīng)滿足的三個條件，故對概率已證明的結(jié)果都適用

于條件概率.例如，對于任意事件4,4,有

尸（4U4IB）;P（4I皮-P（44l皮

又如，對于任意事件4有

尸（X1皮=1-尸（川皮.

例1.12某電子元件廠有職工180人，男職工有100人，女職工有80人，男女職工中

非熟練工人分別有20人與5人.現(xiàn)從該廠中任選一名職工，求：（1）該職工為非熟練

工人的概率是多少？（2）若已知被選出的是女職工，她是非熟練工人的概率又是多少？

解題（1）的求解我們已很熟悉，設(shè)月表示任選一名職工為非熟練工人’的事件，則

P（A）=25/180=5/36

而題（2）的條件有所不同，它增加了一個附加的條件，已知被選出的是女職工，記也

出女職工為事件8,則題（2）就是要求出在已知8事件發(fā)生的條件卜.小事件發(fā)生的概率'；

這就要用到條件概率公式，有

P（A\B）;R砌/a，/=（5/180）/（80/180）=1/16

此題也可考慮用縮小樣本空間的方法來做，既然已知選出的是女職工，那么男職工就可

排除在考慮范圍之外，因比夕已發(fā)生條件下的事件力就相當(dāng)于在全部女職工中任選一人，并

選出了非熟練工人.從而傘樣本點(diǎn)總數(shù)不是原樣本空間弼180人，而是全體女職工人數(shù)80

人，而上述事件中包含的樣本點(diǎn)總數(shù)就是女職工中的非熟練工人數(shù)5人，因此所求概率為

P（A\B）=5/80=1/16

例1.13某科動物出生之后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)年

為20歲的動物活到25歲的概率.

解設(shè)力表示活到2。歲以上’的事件，8表示活到25歲以上'的事件，則有

h

h

P（A）=0.7,厘8）=0.56旦8u/L

得PCB\A）;RAB）/RA）=RBNRA）=0.56/0.7=0.8.

例1.14一盒中裝有5只產(chǎn)品，其中有3只正品，2只次品，從中取產(chǎn)品兩次，每次取

一只，作不放回抽樣，求在第一次取到正品條件下，第二次取到的也是正品的概率.

解設(shè)力表示第一次取到正品’的事件，8表示第二次取到正品的事件

由條件得

尸（月）=（3x4）/（5x4）=3/5,

RAB）=（3x2）/（5x4）=3/10,

故有P（814）=P（您IP（4）=（3/10）/（3/5）=1/2.

此題也可按產(chǎn)品編號來做，設(shè)1,2,3號為正品，4,5號為次品，則樣本空間為魚”，

2,3,4,5｝，若力已發(fā)生，即在1,2,3中抽走一個，于是第二次抽取所有可能結(jié)果的集

合中共有4只產(chǎn)品，其中有2只正品，故得

P（B\A）=2/4二1/2.

2.乘法定理

由條件概率定義尸（*A）=P（AB）/PT）,P（A）>0,兩邊同乘以P3）可得P36）

=尸（月）由此可得

定理1.1（乘法定理;設(shè)P（A）>0,則有

PQAB）=，3）4）

易知，若尸（8）>0,則有

P（期=P（皮P\3）

乘法定理也可推廣到三個事件的情況，例如，設(shè)4B,C為三個事件，且尸38）>0,

則有

P（ABC）=P（C\AB）P（AB）=P（ClAB）尸（8l冷尸（力）

一般地，設(shè)〃個事件為4,Aiy'VAm若尸（44%］）>0,則有

P（力加玲）:P（4）尸（4I4）尸（4IAiA>）?尹（414出?泡Q.

事實(shí)上，由4z>44m44?4.I,有

尸（4）孕（出心）多孕（44?%“）>0

故公式右邊的條件概率每一個都有意義，由條件概率定義可知

尸（4）尸（4I力）尸（4I44）?尹（4I月加班」）

P（A4??4）

p（A）P（A4）P（44…*）

例1.15一批彩電，共100臺，其中有10臺次品，采用不放回抽樣依次抽取3次，每

次抽一臺，求第3次才抽到合格品的概率.

解設(shè)4（片1,2,3）為第/次抽到合格品的事件,則有

C.）:P（X）P（國對尸⑷同4）=10/100.9/99-90/98^.0083.

例1.16設(shè)盒中有勿只紅球，〃只白球，每次從盒中任取一只球，看后放回，再放入A

只與所取顏色相同的球.若在盒中連取四次，試求第一次，第二次取到紅球，第三次，第四

次取到白球的概率.

解設(shè)膽（上1,2,3,4）表示第/次取到紅球的事件，&（/=1,2,3,4）表示第/次取到白

球的事件.則有

h

h

p（K—一瓦）=p（a）p（4國）p（瓦因&）p（冗N&冗）

mm+knn+k

m+nin+n+k〃？+〃+22/??+??+3k

例1.17袋中有〃個球，其中〃-1個紅球，1個白球.〃個人依次從袋中各取一球，每

人取一球后不再放回袋中，求第/（/二1,2「;〃）人取到白球的概率.

解設(shè)4表示第/人取到白球”3=1,2,??;〃）的事件，

顯然/（4）=1/77.

由An4,故4=44，于是

———>7-1|

P（月2）-P（Ai4）-P{A\P（出IAi）=---------------\ln.

nn-\

類似有

P（4）=P（AiAi4）=P（7i）P（A2IZ）尸（4IAiA2）

nn-\〃一2

———it-1n—2

R4）=RAiA2?4-14）=---------------.??.?一?1=1//?

nn-12

因此，第/個人（/二1,2「;〃）取到白球的概率與/無關(guān)，都是1/〃.

這個例題與例1.7（3）實(shí)際上是同一個概率模型.

3,全概率公式和貝葉斯公式

為建立兩個用來計(jì)算概率的重要公式，我們先引入樣本空間儆劃分的定義.

定義1.6設(shè)媯樣本空間，4,Ai,4為F勺一組事件，若滿足

13,4=,/吮/,/=1,2,??;〃，

n

2>Ua=Q

1=1

則稱4,4,4為樣本空間41勺一個劃分.

例如：4.就是5勺一個劃分.

若4,4,4是Oft一■個劃分，那么，對每次試驗(yàn)，事件4,4,4中必有一個且

僅有一個發(fā)生.

定理1.2（全概率公式）設(shè)8為樣本空間。中的任一事件.4,4,4為啪一個劃

分，且/（4）>0（/=1,2,??;〃），則有

P（B）二尸（4）P（8l4）+P（心）尸（*心）+.”（4）氏方14）;2尸（4）2（回4）?

?=1

稱上述公式為全概率公式.

全概率公式表明，在許多實(shí)際問題中事件8的概率不易直接求得，如果容易找到內(nèi)勺一

個劃分4,且尸（4）和尸（814）為已知，或容易求得，那么就可以根據(jù)全概率公

式求出產(chǎn)（6）.

證尸（皮=P（&）=。（8（4口45乜4,））=P（￡4U^UW周”）

=P（朋。+尸（期2）+?中P（胡”

h

h

二只4）+?中〃（A）P（8I4）

另一個重要公式叫做貝葉斯公式

定理1.3（貝葉斯（Bayes）公式）設(shè)樣本空間為C,8為。中的事件，4,4,兒為。

的一個劃分，且夕（8）>0,尸（4）>0,/=1,2,二?〃，則有

尸⑴陽戶咽"⑷，,2?》

￡P(guān)（B|A.）P（A.）

六1

稱上式為貝葉斯（Bayes）公式,也稱為逆概率公式.

證由條件概率公式有

人"五3二邢）

7=1,2,

p（8）fp閨Aj）P（A1）

月

例1.18某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4

件，且具有如下的概率：

一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234

概率0.10.20.40.20.1

現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，從每批中隨機(jī)取出10件來檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為該批產(chǎn)品不

合格，求一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率.

解以4表示一批產(chǎn)品中有/件次品，/=0,1,2,3,4,8表示通過檢驗(yàn)，則由題意得

。（4））=0.1,P[B\4）=1,

「10

A4)=0.2,只創(chuàng)4)=靜=0.9,

C】oo

「10

只加)=0.4,只614)==0.809,

C]QO

plO

A,43)=0.2,HB\Ay)=滯=0.727,

joo

plO

R4)=0.1,F\B\/|4)=—=0.652.