北師大版（新教材）數(shù)學(xué)八年級下冊培優(yōu)備課課件1.4.1線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理第一章

三角形的證明及其應(yīng)用情境導(dǎo)入ABP如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？點P是碼頭的位置進(jìn)行新課我們曾經(jīng)探索過線段垂直平分線的性質(zhì)：請你嘗試證明這一結(jié)論，并與同伴進(jìn)行交流。線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一點。求證：PA=PB。ABCMNP知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一點。求證：PA=PB。ABCMNP證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°?！?/p>

AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）。∴

PA=PB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。如果點P與點C重合，那么結(jié)論顯然成立。1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為CD上的一點，PA＝6，則線段PB的長為(

)A．3B．4C．6D．7C返回2．[達(dá)州中考]如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，線段AB的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D，則△BDC的周長為(

)A．21 B．14C．13 D．9C返回定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。幾何語言：∵M(jìn)N⊥AB于點C，且AC=BC，∴PA=PB線段垂直平分線的性質(zhì)：ABCMNP這一點是任意一點練一練如圖，DE是線段AB的垂直平分線，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.ED=CDB.AE=ACC.AD=BDD.BD=ACC3．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分線交BC于點D，那么∠ADC等于________。60°返回4．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，則DC的長是________。

4返回嘗試·思考知識點2線段的垂直平分線的判定你能寫出這個定理的逆命題嗎？定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。逆命題：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。逆命題它是真命題嗎？已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點，且PA=PB。求證：點P

在AB

的垂直平分線上。ABP考慮點P是否在線段AB上。證明：∵PA=PB，∴點P為線段AB的中點，顯然此時點P在線段AB的垂直平分線上。①當(dāng)點P在線段AB上時：ABP②當(dāng)點P在線段AB外時：證法一：過點P

作PC⊥AB，垂足為C。∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC

≌Rt△PBC(HL)?！郃C=BC，即點

P

在線段AB的垂直平分線上。CABP證法二：取AB的中點C，連接PC?！逜P=BP，PC=PC，AC=BC，∴△APC≌△BPC(SSS)?！唷螾CA=∠PCB。又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴點P在線段AB的垂直平分線上。C②當(dāng)點P在線段AB外時：ABP證法三：過點P作∠APB的角平分線，交AB于點C。∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)?！郃C=BC，∠PCA=∠PCB。又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴點P在線段AB的垂直平分線上。C②當(dāng)點P在線段AB外時：5．(4分)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分線DE分別交AC，AB于點D，E，連接BD。求∠CBD的度數(shù)。

解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。返回定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。幾何語言：∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上線段的垂直平分線的判定：ABP歸納總結(jié)：線段的垂直平分線可以看成是到線段兩端距離相等的所有點(無窮個點）的集合。線段是一個軸對稱圖形，垂直平分線是它的一條對稱軸。歸納總結(jié)：到一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，因此只需找出這樣滿足條件的兩個點即可作出線段的垂直平分線。例1

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O

是△ABC

內(nèi)一點，且OB=OC。求證：直線AO

垂直平分線段BC。ABCO證明：∵AB=AC，∴

點A

在線段BC

的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）。∴直線AO

是線段BC

的垂直平分線（兩點確定一條直線）。同理，點O

在線段BC

的垂直平分線上。還有其他證法嗎？證明：設(shè)直線

AO

交

BC

于點

D，∵

AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴

△ABO

≌

△ACO(SSS)?！?/p>

∠BAO

=∠CAO，又∵

AB

=AC，∴

AO

⊥

BC?！逴B=OC，OD=OD，∴Rt△DBO

≌Rt△DCO

(HL)?！?/p>

BD=CD?！?/p>

直線

AO

垂直平分線段

BC。①該直線有兩點到線段兩端點距離相等。②該直線垂直且平分線段。證明直線垂直平分線段

ABCOD6．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(

)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA返回7．[榆林二模]如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O是△ABC內(nèi)一點，連接OB，OC，連接AO并延長交BC于點D，若OB＝OC，BC＝8，則CD的長為(

)A．4 B．5C．2 D．6A返回8．如圖，在△ABC中，點D在BC上，且BD＋AD＝BC，則點D在線段________的垂直平分線上。(填“AB”或“AC”)AC返回9．(4分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于點D。求證：點D在AB的垂直平分線上。

返回10．[威海中考]我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱為“箏形”。如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O。下列條件中，不能判斷四邊形ABCD是箏形的是(

)A．BO＝DO，AC⊥BDB．∠DAC＝∠BAC，AD＝ABC．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCAD．∠ADC＝∠ABC，BO＝DOD返回11．如圖，Rt△ABC的斜邊AB的垂直平分線MN與AC，AB分別交于點M，N，連接BM，∠A＝15°，BM＝2，則△AMB的面積為(

)A．1 B．2C．4 D．5A返回12．[西安鐵一中期中]如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，DE垂直平分AB，交BC于點D，交AB于點E，連接AD，F(xiàn)G垂直平分AC，交AD于點F，交AC于點G，連接CF，∠DCF＝20°，則∠BAC的大小為(

)A．60° B．70°C．80° D．90°C返回13．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，P為直線EF上一動點，則△ABP周長的最小值是________。

7返回14．(8分)[西安高新一中期末]如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，BE2－DC2＝AD2。判斷BE與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

解：BE＝AC。理由如下：如圖，連接AE?！逧F是AB的垂直平分線，∴AE＝BE?！逥為線段CE的中點，∴ED＝CD。∵BE2－DC2＝AD2，∴AE2－ED2＝AD2?！唷鰽ED是直角三角形，且∠ADE＝90°?！郃D⊥BC?！郃D是線段CE的垂直平分線?！郃E＝AC?！郆E＝AC。返回15．(8分)[教材P34“習(xí)題1.4”第4題變式]如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC，AB于點E，M，邊AC的垂直平分線分別交BC，AC于點F，N，∠B＋∠C＝45°。(1)求證：ME與NF的交點在BC的垂直平分線上；證明：設(shè)ME與NF的交點為G，連接AG，BG，CG。∵M(jìn)E是AB的垂直平分線，∴AG＝BG?！逳F是AC的垂直平分線，∴AG＝CG，∴BG＝CG，∴點G在BC的垂直平分線上，即ME與NF的交點在BC的垂直平分線上。(2)若BC＝12，AF＝4，求EF的長。

解：∵邊AB的垂直平分線分別交AB，BC于點M，E，邊AC的垂直平分線分別交AC，BC于點N，F(xiàn)，∴BE＝AE，AF＝FC＝4，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C。又∵∠B＋∠C＝45°，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°，