4.2.2第2課時等差數(shù)列前n項和的應(yīng)用一．選擇題1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a4+a15的值為確定的常數(shù),則下列各數(shù)中也一定是常數(shù)的是()A.S7 B.S8 C.S13 D.S152.《張丘建算經(jīng)》卷上有一題,其意思為現(xiàn)有一善于織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同量的布,第1天織了5尺布.現(xiàn)在一月(按30天計算)共織390尺布,記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為an,則a14+a15+a16+a17的值為()A.55 B.52 C.39 D.263.在數(shù)列{an}中,若an=43-3n,則Sn取得最大值時,n等于()A.13 B.14 C.15 D.14或154.已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn=32n2-12n,設(shè)bn=1anan+1,則數(shù)列{A.n3n+1 BC.n-13n5.已知等差數(shù)列{an}中,a1=11,前7項的和S7=35,則前n項和Sn中()A.前6項和最大 B.前7項和最大C.前6項和最小 D.前7項和最小6.(多選題)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和,a1>0,且S6=S9,則()A.d>0 B.a8=0C.S7或S8為Sn的最大值 D.S5>S67.已知點(n,an)在函數(shù)y=9-2x的圖象上,則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為()A.-14 B.-16 C.14 D.168.已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和為Sn,且點P(an,an+1)在直線x-y+1=0上,則1S1+1S2+A.n(n+1)2C.2nn+1 9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn有最小值,且-1<a11a12<0,則使得Sn>0成立的nA.11 B.12 C.21 D.2210.(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差為d.已知a3=12,S12>0,a7<0,則()A.a6<0B.-247<d<-C.當Sn<0時,n的最小值為13D.數(shù)列Sn二．填空題11.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a4=1,S5=10,則當Sn取得最大值時,n的值為.

12.在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,則S1,S2,…,S9中最小的是.13.(2024·新高考Ⅱ)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=.

三．解答題14.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a3+a5=24,an=an-2-2(n≥3).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.15.設(shè){an}是等差數(shù)列,a1=-10,且(a3+8)2=(a2+10)·(a4+6).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.16.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,(n+1)an+1-nan=n+1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若Sn為數(shù)列1anan+1的前n項和,求證2317.某山村投資64萬元新建一處農(nóng)業(yè)生態(tài)園.建成投入運營后,第一年需支出各項費用11萬元,以后每年支出費用增加2萬元.從第一年起,每年收入都為36萬元.設(shè)f(n)表示前n年的純利潤總和(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出費用-投資額).(1)求f(n)的表達式,計算前多少年的純利潤總和最大,并求出最大值;(2)計算前多少年的年平均純利潤最大,并求出最大值.18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且點(n,Sn)在函數(shù)y=12x2+12x(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列1anan+2的前n項和為Tn,不等式Tn>13loga(1-a4.2.2第2課時等差數(shù)列前n項和的應(yīng)用一．選擇題1.C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意可知a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7為常數(shù),又S13=13(a1+a13)2=132.B由題意可得{an}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.a1=5,S30=30×5+30×292d=390,解得d=1629,故a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×16293.B當n≥2時,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,當n=1時,a1=40,即{an}是以40為首項,-3為公差的等差數(shù)列,故Sn=(a1+an)n2=-32n2+832n=-34.A當n≥2時,an=Sn-Sn-1=32n2-12n-32(n-1)2-12(n-1)=3n-2,當n=1時,a1=3×1-2設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,則Tn=131?5.A由題意知S7=(a1+a7)×72=35,則a7=-1,因為a1=11,所以公差d=a7-a17-1=-2,即an=-26.BC因為Sn=na1+n(n-1)2d,所以Sn=d2n2+a1-d2n,則Sn是關(guān)于n(n∈N*)的一個二次函數(shù),又a1>0,且S6=S9,則二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線n=6+92=152,開口向下,則d<0,故A錯誤;因為n為整數(shù),所以當n∈N*,且n≤7時,Sn單調(diào)遞增,當n∈N*,且n≥8時,Sn單調(diào)遞減,所以S5<S6,故D錯誤;當n=7或n=8時,Sn最大,故C正確;7.D根據(jù)題意,得an=9-2n,令an=9-2n≥0,解得n≤92故當n=4時,Sn取最大值,且最大值為S4=4×(7+1)8.C由于點P(an,an+1)在直線y=x+1上,則an+1-an=1,即{an}為等差數(shù)列,其中首項a1=1,公差為1,得an=n,即數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(則1Sn=2故1S1+1S2+…+1Sn=21-12+9.D由題意,可得等差數(shù)列{an}的公差d>0.因為-1<a11a12<0,所以a12>0,a11<0,即a11+a則S22=22(a11+a12)2=11(a11+a12)>0,S故使得Sn>0成立的n的最小值是22.10.BC依題意得a3=a1+2d=12,a1=12-2d,S12=a1+a122×12=6(a6而a7<0,所以a6>0,a1>0,d<0,A選項錯誤;由a解得-247<d<-3,B選項正確因為S13=a1+a132×13=13a7<0,而S12>0,所以當Sn<0時,由上述分析可知,當n≤6,且n∈N*時,an>0,當n≥7,且n∈N*時,an<0;當n≤12,且n∈N*時,Sn>0,當n≥13,且n∈N*時,Sn<0,故當7≤n≤12,且n∈N*時,an<0,Sn>0,Snan<0,|an|單調(diào)遞增,Sn為正數(shù)且單調(diào)遞減,得數(shù)列Snan中的最小項為第二．填空題11.4或5設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a4=則a5=a1+4d=0,即S4=S5同時最大.故n=4或n=5.12.S5在等差數(shù)列{an}中,由于a3+a8>0,S9<0,則a5+a6=a3+a8>0,S9=9(a1+a9即a5<0,a6>0,故S1,S2,…,S9中最小的是S5.13.95設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.(方法一)由條件得2a1+5d=7,4a1+7d=5,解得a1(方法二)a3+a4=a2+a5=7,3a2+a5=5,解得a三．解答題14.解(1)因為a1+a3+a5=24,所以3a3=24,得a3=8.設(shè){an}的公差為d,因為an=an-2-2,即an-an-2=2d=-2,所以d=-1,an=a3+(n-3)d=11-n.(2)由(1)可知an=11-n,則|an|=|11-n|,當n≤11時,Sn=n(a1+an)2當n>11時,Sn=S11+|a12+…+an|=55+(n-11)(a12+綜上所述,Sn=n15.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),a1=-10,得(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2,故an=-10+2(n-1)=2n-12.(2)由(1)知an=2n-12,則Sn=-10+2n-122×n=n2故當n=5或n=6時,Sn取得最小值-30.16.(1)解由于(n+1)an+1-nan=n+1,取n=1,2,3,…,n-1,得2a2-a1=2,3a3-2a2=3,4a4-3a3=4,……nan-(n-1)an-1=n,累加得nan=1+2+…+n=n(n+1)2,故(2)證明由(1)得1anan則Sn=4[12-13+13-14因為Sn隨著n的增大而增大,所以Sn≥S1=23又Sn<2,所以23≤Sn<217.解(1)由題意可知,每年的支出費用組成首項為11,公差為2的等差數(shù)列,故前n年的總支出費用為11n+n(n-1)2×2=n2+10n,則f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64,n∈N*.f(n)=-(n-13)2+105,故當n=13時,f(n)取得最大值105,即前13(2)由(1)知,前n年的年平均純利潤為f(n)n由于n+64n≥2n·64n=16,當且僅當n=64n,即n=則f(n)n≤-16+26=10,即前8年的年平均純利潤最大,18.解(1)由于點(n,Sn)在函數(shù)y=12x2+12x的圖象上,則Sn=12n2