走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界數(shù)學建模活動是對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.該過程主要包括：在實際情景中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.本章我們將走進豐富多彩的數(shù)學建模世界，感受數(shù)學的力量與美.導語一在日常生活中，大家可能都有過下面的經(jīng)歷：

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在雨中行走的時候，人們通常會選擇以盡可能快的速度行走，以減少淋雨時間(圖6.1-1).我們是否思考過這樣的問題：對于同一段路程，在雨中行走速度越快(即淋雨時間越少)，淋雨量(人在雨中行走時全身所接收到的雨的體積)就一定會越少呢？走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-1一

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在足球比賽中，若球員沿直線帶球跑動，一般需要尋找與球門張成最大角度的位置來射門.你想過沒有，是否可用數(shù)學方法來確定出那個具有最大角度的位置(圖6.1-2)？走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-2一

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人們注意到，蜜蜂在構(gòu)筑巢穴時，蜂房結(jié)構(gòu)為六角柱體，它的開口端是正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個相同的菱形組成.底端菱形的所有銳角均為70°32′，所有鈍角均為109°28′(圖6.1-3).你能從數(shù)學的角度解釋蜜蜂采用上述幾何體作為巢穴的原因嗎？對于上述這些我們身邊的問題，都可以通過數(shù)學建模(即將實際問題抽象成數(shù)學語言來進行描述)，并運用所學的數(shù)學知識使問題得到解決.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-3蜂房結(jié)構(gòu)一利用數(shù)學建模，人們不僅能夠認識自然，有時還會從中受到啟發(fā)來改造自然.以蜂房構(gòu)造為例，當認識到蜂房結(jié)構(gòu)具有容積最大、材料最省等一系列優(yōu)點后，人們將蜂房構(gòu)造原理借鑒到人類的生產(chǎn)生活實際中.例如，在移動通信系統(tǒng)的設(shè)計中，通常把移動電話的服務(wù)區(qū)按照正六邊形區(qū)域分成若干個區(qū)域，每個區(qū)域設(shè)一個基站，形成了形狀酷似“蜂窩”的結(jié)構(gòu)，從而達到節(jié)省資源的目的.這種移動通信方式稱為蜂窩移動通信方式(圖6.1-4).走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-4蜂窩移動通信示意一另外，由于在包括隱形飛機在內(nèi)的航空、航天飛行器的設(shè)計中大量采用蜂房結(jié)構(gòu)，因此，這些航空航天器又被稱為“蜂窩式航空航天器”.除了在人們的日常生活中具有重要的作用以外，數(shù)學建模也為科學的進步起到了重要作用.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一

案例1

(萬有引力定律的發(fā)現(xiàn))萬有引力是英國偉大的物理學家、數(shù)學家和天文學家牛頓提出來的，它是指：任意兩個質(zhì)點通過連心線方向上的引力相互吸引.該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比，而與兩物體的化學組成和其間介質(zhì)種類無關(guān).其數(shù)學表達式為

上式中，F(xiàn)表示兩個物體間的引力，G為萬有引力常數(shù)，m1，m2表示兩個物體的質(zhì)量，r表示兩個物體間的距離(圖6.1-5).走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-5萬有引力示意一牛頓坐在蘋果樹下思考引力問題的傳奇故事世人皆知，但萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)則是一個較為漫長艱辛的數(shù)學建模與求解過程.由于需要的數(shù)學工具大大超出了當時數(shù)學的范圍，經(jīng)過長達近20年的思考，牛頓才利用開普勒第三定律以及牛頓第二定律，從離心力定律演化出來的向心力定律和自己獨立發(fā)明的微積分方法，最終建立了萬有引力定律模型.萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)是人類自然科學發(fā)展史上最偉大的成果之一，這條定律對自然科學，尤其是對物理學與天文學的發(fā)展有著深遠的影響.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一

案例2

(馬爾薩斯人口模型)人口增長問題是一個深受社會學家關(guān)注的問題.英國經(jīng)濟學家、人口學家馬爾薩斯最先研究了這個問題，他發(fā)現(xiàn)人口的自然增長率在一定的時間內(nèi)是一個常數(shù)，人口的變化率和當前的人口數(shù)目成正比.根據(jù)馬爾薩斯的觀點，現(xiàn)在我們來建立一個可用來描述人口數(shù)量隨時間變化的數(shù)學模型.假設(shè)某地區(qū)在時刻t時的人口總數(shù)為N(t)，經(jīng)過時間Δt后該地區(qū)人口的變化率與人口數(shù)成正比，比例系數(shù)為r(r>0)，則人口總數(shù)的增長可用下列數(shù)學模型描述：

即N(t+Δt)－N(t)=rΔtN(t).如果讓Δt充分小，可以得到下面被稱為馬爾薩斯方程的人口增長模型：，其中N0為開始時刻該地區(qū)的人口總數(shù).走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一馬爾薩斯人口增長模型是一個指數(shù)型函數(shù)，因此又被稱為指數(shù)增長模型(如圖6.1-6).大量數(shù)據(jù)表明，在自然狀態(tài)下，上述模型既可以用來描述某種生長過程，如人口等生物種群的數(shù)量變化，某人在銀行存款數(shù)量的變化等，也可以描述某種傳播過程，例如疾病傳染、信息的傳播等.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-6人口增長與資源增長曲線一馬爾薩斯模型在一個種群的發(fā)展初期是合理的，其結(jié)論對人類的發(fā)展具有啟示作用，它提醒人們要防止人口的過快增長，注意人口與生活資源比例協(xié)調(diào).但發(fā)展到一定時期后，其缺陷便會凸顯出來.由于沒有考慮自然條件與生存環(huán)境對人口的制約，人口可以無限制增長，顯然用該模型來作為長期的人口預測是不合理的，需要進一步修改.但不能否認的是，馬爾薩斯人口模型是人類關(guān)于人口理論研究的開創(chuàng)性模型.在一般情況下，馬爾薩斯人口模型中的參數(shù)，即增長率是未知的，如何求解增長率，則是求解數(shù)學模型時需要解決的問題.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一

案例3

(哥尼斯堡七橋問題)18世紀時的哥尼斯堡是東普魯士的一座風景優(yōu)美的小城，穿過該小城的普雷格爾河的中心有一座美麗的小島，河流及其兩條支流把包含島區(qū)在內(nèi)的哥尼斯堡城分為四個區(qū)域：東區(qū)(A)，北區(qū)(B)，島區(qū)(C)以及南區(qū)(D).架在河流上的七座橋?qū)⑦@四個區(qū)域連接起來，如圖6.1-7所示.市民在哥尼斯堡城行走時提出這樣的問題：是否能一次走遍這七座橋，每座橋只允許走一次，最后回到原出發(fā)點？這就是著名的哥尼斯堡七橋問題.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-7一當?shù)厝藷嶂杂谏鲜鰡栴}的解決，嘗試了各種不同的行走路線都不得其解.該問題引起了瑞士數(shù)學家歐拉的強烈興趣.開始時，歐拉試圖將所有的走法一一列舉出來，然后對這些走法進行驗證，經(jīng)過計算后歐拉發(fā)現(xiàn)不同的走法共有5040種，這樣做既浪費時間，而方法也沒有通用性.經(jīng)過大約一年時間的思考，歐拉將該實際問題抽象成一個數(shù)學問題，通過建立數(shù)學模型完全解決了哥尼斯堡七橋問題.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一歐拉的做法是，首先將島嶼和岸抽象為點，將橋抽象成線，從而將七橋問題抽象成如下一筆畫問題：是否可以筆尖不離開紙面，一筆(不重復經(jīng)過任何一條路線)畫出如圖6.1-8所示的圖形？這就是歐拉為了求解七橋問題而建立的數(shù)學模型.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界圖6.1-8一進一步，歐拉得到了上述數(shù)學模型的求解方法.從圖6.1-8中可以看出，每個點都是某些曲線的端點，歐拉將連接點的曲線為偶(奇)數(shù)條時命名為偶(奇)頂點.容易看出，除去起點和終點外，對于其余的每一個點，如果筆沿某條線進入該點的話，則它必須沿著另一條線出來，從而該頂點一定是偶頂點.從而得到“一筆畫”的充分必要條件為：奇頂點個數(shù)為0或2，其中奇頂點個數(shù)為0意味著任意一點都可以作為起點、終點以及中間點，而奇頂點個數(shù)為2時，其中一個奇頂點為起點(即只有出線)，另一個奇頂點為終點(即只有入線).走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一由于七橋問題對應的圖形中有4個奇頂點，不滿足“一筆畫”的要求，如此說來人們希望找到的不重復路線根本不存在.對于長久困擾人們的哥尼斯堡七橋問題，歐拉將其抽象成一個簡單的數(shù)學模型就輕易解決了.這表明，用數(shù)學的眼光觀察問題，用適當?shù)臄?shù)學語言、模型描述問題，并運用數(shù)學的思想、方法解決實際問題，在我們的生產(chǎn)生活中具有多么強大的威力.歐拉所提出的數(shù)學模型具有深遠的意義，由此開創(chuàng)了一個新的數(shù)學分支——圖論，該模型也為新的數(shù)學分支——拓撲學的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ).走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一作為本節(jié)的結(jié)束，我們來對數(shù)學模型做一個一般的表述：數(shù)學模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律做出一些必要的簡化假設(shè)，并運用合適的數(shù)學工具得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu).而數(shù)學建模過程，則是應用數(shù)學方法，通過建立數(shù)學模型來解決實際問題的過程.走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界一走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界

問題研究一：人口增長變化曲線下圖為世界各洲在一段時間內(nèi)人口數(shù)量隨時間變化的曲線，這些曲線描述的人口變化規(guī)律與圖6.1-6中的曲線有何不同？試分析原因.練習一走進異彩紛呈的數(shù)學建模世界

問題研究二：測量學校某建筑物的高度

(1)測量本校的一座教學樓的高度；

(2)測量本校的旗桿的高度；

(3)測量學校墻外一座不可及，但在學校操場上可以看得見的高大寫字樓(或其他可見的高大建筑)的高度.要求同學們組成2～3人的測量小組，以小組為單位完成實際測量，獲取相應的數(shù)據(jù)，每人分別填寫測量報告表(含測量方法、計算過程、計算的數(shù)據(jù)和結(jié)果)，一周后上交.練習一走進異彩紛呈的數(shù)學建