河北省邢臺市質(zhì)檢聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則（

）A． B． C． D．5．“空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)．AQI大于200表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動．某地某天時的空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的趨勢由函數(shù)描述，則這天可開展戶外活動的時長至多為（

）A．6小時 B．8小時 C．16小時 D．18小時6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．7．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若恒成立，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列函數(shù)中，與函數(shù)為同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的取值范圍為B．的取值范圍為C．的取值范圍為D．的取值范圍為11．定義在上的函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞減D．不等式的解集為三、填空題12．已知，則．13．已知且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．14．某品牌的橡膠輪胎經(jīng)自然降解后的殘留量與時間（單位：年）的關(guān)系式為，其中為初始量，為光解系數(shù)．已知該品牌橡膠輪胎5年后的殘留量為初始量的80%．該品牌橡膠輪胎大約需要經(jīng)過年，其殘留量為初始量的10%．（參考數(shù)據(jù)：）四、解答題15．（1）求的值；（2）求的值．16．已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求的取值范圍．17．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．(1)求的值，并求的解析式；(2)若存在，使得，求的取值范圍．18．已知函數(shù)．(1)設(shè)．（i）求的最小值，并求出當(dāng)取得最小值時的值；（ii）求的單調(diào)遞減區(qū)間．(2)對任意、，恒成立，求的取值范圍．19．定義已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間．(2)已知是關(guān)于的方程的三個不同的實(shí)根．（i）求的取值范圍；（ii）已知，求的最小值．

題號12345678910答案CCBADADBBCACD題號11答案BCD1．C根據(jù)集合的元素特征及交集的定義可得.【詳解】由，所以，得.所以．故選：C.2．C根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)的性質(zhì)即得【詳解】令，故的圖象恒過定點(diǎn)．故選：C.3．B根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”的定義，判斷“”和“”的互相推出情況，由此可知結(jié)果.【詳解】若，則，所以，故，但當(dāng)時，可能都是無理數(shù)，不妨設(shè)，此時，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.4．A根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，化簡分析，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以．故選：A5．D當(dāng)AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動；即小于或等于200時適合開展戶外活動，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分情況討論求出不等式解集，再求出區(qū)間長度即可.【詳解】由AQI大于200表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動，得當(dāng)小于或等于200時，可開展戶外活動，即，因?yàn)樗援?dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得．綜上，可開展戶外活動的時長至多為小時．故選:D.6．A根據(jù)的定義得的定義域，進(jìn)而可得所求結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)中的需滿足得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：A.7．D結(jié)合函數(shù)定義域、奇偶性與函數(shù)正負(fù)，借助排除法即可得.【詳解】的定義域?yàn)椋蔅錯誤；又，則為奇函數(shù)，故A錯誤；當(dāng)時，，所以，故C錯誤.故選：D.8．B令由題意零點(diǎn)相同，求得；再分和分析是否恒有即可判斷.【詳解】由題意的定義域?yàn)?，令由題意零點(diǎn)相同，所以，得,若，當(dāng)時，，不符合題意；若，時，，時，，時，.恒有故選：B.9．BC逐項(xiàng)比較定義域與解析式進(jìn)行判斷.【詳解】對于A：，定義域?yàn)椋c已知函數(shù)定義域不同，A錯誤；對于B：，定義域?yàn)?，與已知函數(shù)定義域相同，解析式相同，B正確；對于C：，定義域?yàn)?，與已知函數(shù)定義域相同，解析式相同，C正確；對于D：定義域?yàn)?，與已知函數(shù)定義域不同，D錯誤．故選：BC.10．ACD根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)分析、求解，即可得到答案.【詳解】由實(shí)數(shù)滿足，可得，所以，又由，且，可得，所以，所以的取值范圍為的取值范圍為，所以A正確，B錯誤；由，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍為，所以C正確；由，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，所以的取值范圍為，所以D正確．故選：ACD.11．BCD通過賦值法可判斷A、B；令，，其中，由定義法得到在上單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)B中結(jié)論將轉(zhuǎn)化為，再利用C中結(jié)論得到不等式求解即可判斷D.【詳解】對于A，令，則，令，則，A錯誤．對于B，令，則，所以為偶函數(shù)，B正確．對于C，令，，其中，則，即，因?yàn)椋?，即，所以在上單調(diào)遞減，C正確．對于D，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，所以．又在上單調(diào)遞減，所以，且，解得，且．故不等式的解集為故D正確.故選：BCD.12．根據(jù)函數(shù)解析式直接求值可得.【詳解】因，令，則.所以故答案為：.13．先確定每一段在定義域范圍內(nèi)都是單調(diào)遞增，再根據(jù)左半段函數(shù)在端點(diǎn)處的最大值小于等于右半段函數(shù)在端點(diǎn)處的最小值即可求得.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以解得，即的取值范圍是.故答案為：14．50根據(jù)已知條件可以得出，將代入結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算化簡即可得結(jié)果.【詳解】由，可得，故．當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，兩式相除可得故答案為：50.15．（1）；（2）（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）.（2）16．(1)或(2)（1）求出集合、后，利用并集與補(bǔ)集定義即可得；（2）由題意可得，再分與討論即可得.【詳解】（1）由，解得，則，由可得，故，則或，故或；（2）因?yàn)椋?dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，由，得，所以；綜上，的取值范圍為.17．(1)，(2)（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義直接可得；（2）先將不等式進(jìn)行參數(shù)分離，再由基本不等式可得.【詳解】（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不符合題意．綜上所述，的值為的解析式為.（2）因存在，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即取得最小值.故，即的取值范圍為.18．(1)（i）最小值為，；（ii）(2)【詳解】（1）（i）當(dāng)時，，的定義域?yàn)椋?，，則，當(dāng)，即當(dāng)時，即時，取得最小值，最小值為.（ii）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，令，可化為．記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，由對任意、，恒成立，得恒成立．，其圖象開口向上且對稱軸為直線．①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，可得，，由，得，解得，不符合題意；②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，當(dāng)時，由，可得，所以，解得，此時；當(dāng)時，由，可得，解得，此時；③當(dāng)時，，由，可得，解得，不符合題意．綜上，的取值范圍為.19．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)（i）（0，1）；（ii）2【詳解】（1）解：當(dāng)時，，即，當(dāng)時，令