專(zhuān)題七立體幾何與空間向量選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（2024福建福州一中模擬，6）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線所成角的余弦值為，且該圓錐的母線是底面半徑的倍，若的面積為，則該圓錐的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根據(jù)條件，求圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，再根據(jù)公式求圓錐的表面積.【詳解】如圖：設(shè)圓錐底面為，母線長(zhǎng)為，母線，夾角為，則，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以.又.所以圓錐的表面積為：.故選：B2.（2024廣東執(zhí)信中學(xué)檢測(cè)，4）已知是空間中三條互不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.，則B.且，則C.，則D.，則【答案】B【分析】A.利用線面的位置關(guān)系判斷；B.由線面垂直的性質(zhì)判斷；C.利用線面的位置關(guān)系判斷；D.利用直線與直線的位置關(guān)系判斷.【詳解】A.若，則或，故錯(cuò)誤；B.若且，則，故正確；C.若，則或或與相交，故錯(cuò)誤；D.若，則或l與n異面，故錯(cuò)誤.故選B.3.（2024重慶八中適應(yīng)性月考，6）已知圓臺(tái)的上底面積為，下底面積為，且其外接球半徑，則該圓臺(tái)的高為（）A.6或7B.8或12C.6或8D.7或12【答案】C【分析】根據(jù)截面圖列出上下底面半徑和球心到上下底面的距離的方程組求解即可.【詳解】截面如圖所示，球心可在截面的內(nèi)部或外部，設(shè)上下底面半徑分別為，則，設(shè)球心到上下底面的距離分別分別為，則，故，于是圓臺(tái)高或.故選C.4.（2024廣東廣雅中學(xué)適應(yīng)性考試，6）在正三棱臺(tái)中，已知，，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則此正三棱臺(tái)的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】先計(jì)算出三棱臺(tái)的上下底面的面積，再根據(jù)底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)求解三棱臺(tái)的高，進(jìn)而計(jì)算出三棱臺(tái)的體積．【詳解】正三棱臺(tái)中，已知，，所以的面積為，的面積為，設(shè)，分別是，的中心，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，，，，，，過(guò)作，垂足為，則，，三棱臺(tái)的高為，三棱臺(tái)的體積為．故選C．5.（2024廣東湛江模擬，8）在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【分析】設(shè)，利用線面角定義，結(jié)合正切函數(shù)的和差公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，因?yàn)榈酌?，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)椋?，解?負(fù)根舍去)，所以故選：D.6.（2024湖南長(zhǎng)沙一中模擬，8）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】解：正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，且，如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，．由題意知，，且，∴平面，由，得點(diǎn)在平面內(nèi)，由，得點(diǎn)在以為球心，半徑為1的球面上，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為平面與球的球面的交線，即在平面內(nèi)的圓，連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，平面截球所得截面圓的半徑為，則由，得，且，∴，則，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選：D．7.（2024遼寧名校聯(lián)盟檢測(cè)，6）如圖，在正三棱臺(tái)中，若，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【分析】在平面中，過(guò)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于，連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，結(jié)合余弦定理可求角的余弦值.【詳解】由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可得四邊形為等腰梯形，其中，如圖，在梯形中，過(guò)作，垂足為，而，故，故.同理，.在平面中，過(guò)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于，連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，因，，故四邊形為平行四邊形，故，，而，故，故，故異面直線與所成角的余弦值為，故選：D.8.（2024河北石家莊適應(yīng)性考試，8）在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案C【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可證明平面，從而得到平面平面，再取的中點(diǎn)，連接、、，推導(dǎo)出為外接圓的圓心，再設(shè)的外接圓的圓心為，四棱錐外接球的球心為，即可求出外接球的半徑，從而求出球的表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，，又，，，所以，在中，由余弦定理，即，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)，連接、、，則、及均為等邊三角形，易知且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以等腰梯形外接圓的圓心為，設(shè)的外接圓的圓心為，則，設(shè)四棱錐外接球的球心為，連接、、，則平面，平面，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積.故選：C選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.（2024重慶南開(kāi)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，9）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.四點(diǎn)共面B.與異面C.D.RS與所成角為【答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)即可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法判斷線線位置關(guān)系判斷AB，求解線線角判斷CD.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，因?yàn)榉謩e為棱、的中點(diǎn)，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，即，正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，所以，設(shè)RS與所成角為，，則，所以，即與所成角為，錯(cuò)誤.故選：AC10.（2024重慶巴蜀中學(xué)月考，10）正方體的棱長(zhǎng)為2，球和球的球心，都在線段上，球，球外切，且球，球都在正方體的內(nèi)部（球可以與正方體的表面相切），記球和球的半徑分別為，，則（）A． B．當(dāng)時(shí)，的最大值是C．的最大值是 D．球和球的表面積之和的最大值是答案AC根據(jù)正方體的性質(zhì)得，故A正確；當(dāng)時(shí)，球與正方體內(nèi)切，當(dāng)與正方體的三個(gè)面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)滿足，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)任意的球，球與正方體的三個(gè)面相切時(shí)半徑最大，故當(dāng)球，球都與正方體的三個(gè)面相切時(shí)取最大值，即，解得，故的最大值是，故選項(xiàng)C正確；由選項(xiàng)B和選項(xiàng)C知，取最大值，此時(shí)，則，當(dāng)或取得最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選AC．11.（2024河北石家莊質(zhì)量檢測(cè)，11）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為B.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為C.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面與四邊形的交線長(zhǎng)為D.若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BD【分析】取中點(diǎn)，連接，為異面直線與所成角，可判斷A；將側(cè)面延旋轉(zhuǎn)至與平面共面，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可判斷B；對(duì)于C，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取靠近的四等分點(diǎn)，則可證明，判斷C；并確定點(diǎn)的軌跡為直線在正方形內(nèi)的線段，判斷D.【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，則，所以為異面直線與所成角，在中，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將側(cè)面延旋轉(zhuǎn)至與平面共面，如圖連接，交與點(diǎn)，此時(shí)最小，且，故B正確；對(duì)于C，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面與平面的交線為過(guò)點(diǎn)且平行于的直線，取靠近的四等分點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，由，所以，則，則，所以為平面與平面的交線，則為平面與平面的交線，所以為平面與四邊形的交線，由于，所以，又，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)，設(shè)，則，因?yàn)椋?，化?jiǎn)，則點(diǎn)的軌跡為直線在正方形內(nèi)的線段，其長(zhǎng)度為，故D正確.故選：BD填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.（2024福建南平模擬，13）已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長(zhǎng)為16，則該圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，然后根據(jù)軸截面周長(zhǎng)為16，可求出，從而可求出上下底面的面積和側(cè)面積，進(jìn)而可求出其表面積.【詳解】設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，故軸截面周長(zhǎng)為，解得，所以上、下底面圓的面積分別為，圓臺(tái)側(cè)面積，所以圓臺(tái)的表面積為13.（2024重慶南開(kāi)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，13）已知一個(gè)表面積為的球與正三棱柱的各個(gè)面都相切，則此正三棱柱的體積為_(kāi)_____.【答案】【分析】由內(nèi)切球的表面積得球的半徑，從而求出正三棱柱的高，再根據(jù)底面正三角形內(nèi)切圓的半徑求得正三角形的邊長(zhǎng)，代入棱柱體積公式求解即可.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面棱長(zhǎng)為，高為，內(nèi)切球的半徑為，依題意，解得，所以正三棱柱的高，正三棱柱底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，由題意，所以，所以正三棱柱的體積.14.（2024湖南長(zhǎng)沙一中模擬，14）在直三棱柱中，，，，是棱上一點(diǎn)，平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分．若，，，四點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為_(kāi)_________．【答案】【解析】在直三棱柱中，，，，是棱上一點(diǎn)，平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分，如圖，連接，，因?yàn)椋?，所以，所以，因此，即為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，所以平面，則平面，因?yàn)槭堑耐庑?，且的外接圓半徑，三棱錐的高，設(shè)球的半徑為，則，則，所以球的體積．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（2024遼寧東北育才學(xué)校適應(yīng)性測(cè)試，15）【解析】（1）設(shè)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾橹悬c(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向分別為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為：，且，令，解得：；設(shè)直線與平面所成角為，所以.則直線與平面所成角的正弦值為.16.（2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬，15）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，，點(diǎn)M在PD上．(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若平面與平面所成角為45°，求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（1）取中點(diǎn)為E，連接，說(shuō)明，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論；（2）求出向量，即可根據(jù)空間角的向量求法，求得答案；（3）設(shè)，根據(jù)平面與平面所成角為45°，結(jié)合空間角的向量求法，求出，再根據(jù)二面角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)為E，連接，由題意可知，即四邊形為平行四邊形，故，而，故；又平面ABCD，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，故，故，則；（2）由（1）知，設(shè)異面直線與所成角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為；（3）由題可設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，由，得，取，則，平面的法向量可取為，平面與平面所成角為45°，則，解得，則，，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.17.（2024福建南平模擬，16）如圖，在四棱錐中，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析】（1）通過(guò)，證平面，即可證面面平行；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)得點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算平面和平面的法向量，根據(jù)向量垂直確定，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，，所以，，又，所以四邊形為菱形，所以，，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，故四邊形為正方?不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?，又平面，又平面平面，且平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且，，由，得，即，解得，，，所以，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，可取.設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，解得或（舍去），所以在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且.18.（2024黑龍江部分學(xué)校三模，17)在如圖所示的多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明四邊形為矩形，求出，結(jié)合勾股定理和線面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.【解析】（1）連接.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以四邊形為矩形，則.因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，，所以.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.又平面，所以平面.（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，可得，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為.19.（2024安徽合肥一六八中學(xué)模擬，17）如圖，在三棱臺(tái)中，，平面平面，．（1）