2026屆“皖南八?！备呷诙未舐?lián)考

數(shù)學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區(qū)域內(nèi)作答，超。

獉出獉答獉題獉區(qū)獉域獉書獉寫?yīng)€的獉答獉案獉無獉效獉，在獉試獉題獉卷獉、草獉稿獉紙獉上獉作獉答獉無獉效獉

3.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，向量與

復數(shù)，數(shù)列，立體幾何。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的．

1.已知復數(shù)z1=a-i,z2=1+2i(i為虛數(shù)單位，a∈R),且是純虛數(shù)，則a的值為

A.B.-C.2D.-2

2.已知集合A={x|log2x<1},B={x||x|<2},則A∩（瓓RB)=

A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x≤2}

C.{x|-2<x<2}D.⑦

3.已知函數(shù)f(x)=ln(x2-2x+2),下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是

A.f(x)+1B.f(x)-1

C.f(x+1)D.f(x-1)

111…1

4.在等比數(shù)列{an}中，a1=,a4=4,則+++=

2a1a2a6

A.B.C.D.

5.已知f(x)為奇函數(shù)，當x<0時，f(x)=x+sinx+1,則曲線y=f(x)在x=處的切線方

程是

A.x+y-π-2=0B.x+y-2=0

C.x-y+2=0D.x-y=0

6.已知函數(shù)f(x)=sin2x+acos2x的一個零點是，為了得到y(tǒng)=2cos2x的圖象，需要將函數(shù)

y=f(x)的圖象

A.向左平移個單位長度B.向左平移個單位長度

C.向右平移個單位長度D.向右平移個單位長度

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學第1頁（共4頁）W】

—→—→

7.如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為邊BC的中點，F(xiàn)為邊CD上一點，當AE·AF取得最大

值時，tan∠EAF=

A.1B.C.D.

8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),其中0<a<b<c,若對任意x∈R,f(x-1)·f(4-x)≤

0恒成立，則

B.a+c=3,b=

C.a+c=2,b=1D.a+c=3,b=1

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9.已知正實數(shù)a,,則下列結(jié)論可能成立的是

A.1<b<aB.a<b<1

C.1<a<bD.b<a<1

10.在正四棱錐P-ABCD中，已知E,F分別為PB,PD的中點，點Q為AP上一動點，滿足

—→—→

PQ=λPA(λ∈[0,1]),則下列說法正確的有

1

A.BD⊥平面PACB.當=時，平面QEF∥平面ABCD

λ2

C.不存在λ,使得AC⊥平面QEFD.當λ=時，Q,E,F,C四點共面

11.已知銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2sinC-sinA=槡2sinB,2cosC+

cosA=槡6cosB,且△ABC的面積為3+槡3,則

A.B=B.sinC-cosC=sinA

C.b2=a2+4D.△ABC的周長為3槡2+2槡3+槡6

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．

12.已知向量a=(3,-1),b=(2,1),則a在b方向上的投影向量的模為．

13.如圖，在幾何體ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1,BB1,CC1均垂直于底面ABC,已

知AB=BC=AC=BB1=1,AA1=3,CC1=2,則該幾何體的體積是．

*

14.已知等差數(shù)列{an}的公差為，若集合A={x|x=cosan,n∈N｝={x1,x2},則

x1x2=.

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學第2頁（共4頁）W】

四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

15.(13分）

已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2槡3cos2x-槡3.

(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程；

(2)若，求的值．

16.(15分）

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ab=bcosA+槡3asinB,且a=2.

(1)求A;

(2)若點D在線段BC上，且滿足求△ABC的面積．

17.(15分）

如圖，四邊形ABCD與ABEF為直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF,其

中AB∥CD∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°.

(1)求證：BC⊥AF;

(2)求平面ACF與平面BCE夾角的正弦值；

(3)若空間中存在一點Q,滿足μ∈R),且直線AQ⊥平面BCE,求AQ

的長．

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學第3頁（共4頁）W】

18.(17分）

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S2=4S1,對任意正整數(shù)n,均有a2n=2an+1.

(1)求an和Sn;

２*

(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,且bn·aｎ=an-1·bn-1·an+1(n≥2,n∈N），求數(shù)列{bn}的通項

公式；

(3)記數(shù)列的前n項和為Tn,證明：Tn>ln(n+1).

19.(17分）

已知函數(shù)f(x)=emxcosx-mx+1,g(x)=f(x)+mx(m∈R),其中函數(shù)f(x)的導函數(shù)為

f′(x).

(1)當m=1時，求函數(shù)f′(x)在[0,π]上的單調(diào)性；

(2)證明：當m>0時上存在極大值點x0,且tanx0=m;

(3)證明：Ym>0,3，使得g(x)>e1-恒成立．

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學第4頁（共4頁）W】

2026屆“皖南八?！备呷诙未舐?lián)考·數(shù)學

參考答案、解析及評分細則

1.C===,因為為純虛數(shù)，所以a-2=0且2a+1≠0,所以a=2.

故選C.

2.DA={x|log2x<1}={x|0<x<2},B={x||x|<2}={x|-2<x<2},則瓓RB={xx≤-2或x≥2},

A∩（瓓RB)=⑦.故選D.

3.C因為x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故f(x)的定義域為R,f(x)+1=ln(x2-2x+2)+1,不是偶函數(shù)，故

A錯誤；f(x)-1=ln(x2-2x+2)-1,不是偶函數(shù)，故B錯誤；f(x+1)=ln((x+1)2-2(x+1)+2)=

ln(x2+1),為偶函數(shù)，故C正確；f(x-1)=ln((x-1)2-2(x-1)+2)=ln(x2-4x+5),不是偶函數(shù)，故

D錯誤．故選C.

3n-2

4.A因為a1=,a4=4,所以=q=8,所以q=2,an=2,所以++…+=2+1++…+=

.故選A.

5.D因為f(x)為奇函數(shù)，當x<0時，f(x)=x+sinx+1,則當x>0時，f(x)=-f(-x)=x+sinx-1,

f′(x)=1+cosx.從而f′()=1,又f()=,則曲線y=f(x)在x=處的切線方程是y-=1×

(x-.即x-y=0.故選D.

6.A依題意，得f=sin+acos=a+槡23=0,得a=-槡3,所以f(x)=sin2x-槡3cos2x=

2sin(2x-(2x+=2sin[2(x+-需要將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移

個單位長度．故選A.

7.C以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標

—→—→

系如圖所示，則A(0,0),E(2,1).設(shè)DF=x,則F(x,2),0≤x≤2,故AF=(x,2),

—→—→—→—→—→

AE=(2,1).所以AE·AF=(2,1)·(x,2)=2x+2,當x=2時，AE·AF取得最大

值，此時故選C.

8.B令g(x)=-f(4-x)=-(4-x-a)(4-x-b)(4-x-c)=(x+a-4)(x+b-4)(x+c-4),因為

f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的零點為a,b,c,可知y=f(x-1)的零點為a+1,b+1,c+1,y=g(x)的零點

為4-a,4-b,4-c,又因為0<a<b<c,則1<a+1<b+1<c+1,4>4-a>4-b>4-c,若f(x-1)·f(4

-x)≤0,即f(x-1)·[-g(x)]≤0,則f(x-1)·g(x)≥0,可知y=f(x-1)的零點與y=g(x)的零點

烄a+1=4-c

3

相同，則烅b+1=4-b,可得2b=a+c=3,b=.故選B.

2

烆c+1=4-a

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學試卷參考答案第1頁（共6頁）W】

mm

9.CD由題意，，則a=,b=,當m>0時，0<b<a<1,當m=0時，a=b=1,

當m<0時，1<a<b.故選CD.

10.ABD對A,如圖，連接AC,BD交于點O,連接PO,因為在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，

所以AC⊥BD,又因為PB=PD,O為BD中點，所以PO⊥BD,又因為AC∩PO=O,AC,PO平面PAC,

1

所以BD⊥平面PAC,A正確；對B,連接QE,QF,EF,因為λ=,所以QE∥AB,QF∥AD,又QE,QF平

2

面QEF,AB,AD平面ABCD,QE∩QF=Q,AB∩AD=A,所以平面QEF∥平面

ABCD,B正確；對于C,因為PA=PC,O為AC中點，所以PO⊥AC,因為四邊形

ABCD為正方形，所以AC⊥BD,又因為BD∩PO=O,BD,PO平面PBD,所以AC

⊥平面PBD,則AC⊥平面PEF,所以當λ=0,即點Q與P重合時，AC⊥平面QEF,

1—→1—→—→—→—→—→

C錯誤；對D,設(shè)EF與PO的交點為H,當λ=,時PQ=,PAQC=PC-PQ=PC

33

——→—→——→——→——→—→——→———→——→—→—→

-ＰＡ,QＨ=ＰＨ-ＰＱ=(ＰＡ+ＰＣ)-ＰＡ=ＰＣ-ＰＡ,則QＣ=4QＨ,所以Q,H,C共線，所以

Q,E,F,C四點共面，D正確．故選ABD.

222

烄2sinC-sinA=槡2sinB,烄4sinC-4sinCsinA+sinA=2sinB,

11.BCD由烅得烅兩式相加得4+4cos(C+

222

烆2cosC+cosA=槡6cosB,烆4cosC+4cosCcosA+cosA=6cosB,

221

A)+1=2+4cosB,得4cosB+4cosB-3=0,得(2cosB-1)(2cosB+3)=0,得cosB=,或cosB=

2

烄槡6烄槡6

2sinC-sinA=,2sinC=+sinA,

22

-（舍去），因為0<B<,所以B=,故A錯誤；則烅得烅得

66

2cosC+cosA=槡,2cosC=槡-cosA,

烆2烆2

6262

4sin2C+4cos2C=槡+sinA+槡-cosA,得4=+6sinA+sin2A+-6cosA+cos2A,得

（2)（2)槡槡

ππππ5π

sinA=cosA,即tanA=1,因為0<A<所,以A=,得C=π--=,則sinC-cosC=

243412

槡2sin(C-=槡2sin-=槡2sin=槡22=sinA=槡22,故B項正確；由銳角△ABC的面積為3+

槡3,得acsinB=3+槡3,得ac=4（槡3+1),設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則2RsinA·2RsinC=

槡6槡22槡6槡2

4（槡3+1),而sinA=槡22,sinC=sin=sin=sin+=,則4R·槡22×=

4（槡3+1),得R=2,得a=2RsinA=2×2×槡22=2槡2,b=2RsinB=2×2×槡23=2槡3,c=2RsinC=2×2×

槡6槡22222

=槡6+槡2,得b-a=(2槡3)-(2槡2)=4,故C項正確；△ABC的周長為a+b+c=2槡2+2槡3+

槡6+槡2=3槡2+2槡3+槡6,故D正確．故選BCD.

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學試卷參考答案第2頁（共6頁）W】

a·b

12.\i5因為a=(3,-1),b=(2,1),a在b方向上的投影向量的模為acos〈a,b〉==\．

b

13.如圖所示，構(gòu)造一個底面是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為4的正三棱柱ABC-DEF,

，11,11,11,ABC-ABCABC-DEF,

其中BE=4-1=3=AAAD=4-3=1=BBCF=4-2=2=CC因此V111=V111即

VABC-A1B1C1=VABC-DEF,根據(jù)三棱柱體積公式，VABC-DEF=×1×1×sin60°×4=\，故該幾何體的體積

1\/3

是VABC-ABC=×\=.

11122

14.-an=a1+(n-1)d=a1+(n-1),則cosan=cos[a1+(n-1)]=cosn+a1-,其周期為

2π**

=3,而n∈，即cosan最多3個不同取值，由題可知集合A={x|x=cosan,n∈｝有且僅有兩個元

2πNN

3

素，A={x1,x2},則在cosan,cosan+1,cosan+2中，cosan=cosan+1≠cosan+2或cosan≠cosan+1=

cosan+2,或cosan=cosan+2≠cosan+1,又cosan=cosan+3,即cosan+3=cosan+2≠cosan+1,一定會有相鄰

的兩項相等，設(shè)這兩項分別為cosθ,cos(θ+于是有cosθ=cos(θ+即有θ+(θ+=2kπ,k∈Z,

θ=kxkk

解得π-,k∈Z,不相等的兩項為cosθ,cos(θ+故x12=cos(π-cos[(π-+=

-cos(kπ-coskπ=-cos2kπcos=-.

15.解：(1)f(x)=sin2x+\cos2x=2sin(2x+,…………3分

令2x+=+kπ,k∈Z,……………………4分

解得x=+,k∈Z,

故函數(shù)f(x)的對稱軸為直線x=+,k∈Z.…………6分

xx

(2)因為f=2sin(0+=,即sin(0+=,………………8分

xx

且0∈(-π,0),則0+∈(-,,

可得x+∈0則cosx+==……10分

0(,(0\,

則f(x0+=2sin[2(x0++=2sin2(x0+

xx

=4sin(0+cos(0+=4××=,

………………………分

所以f(x0+=.13

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學試卷參考答案第3頁（共6頁）W】

16.解：(1)根據(jù)題意2b=bcosA+\asinB,

則由正弦定理得，2sinB=cosAsinB+\sinAsinB,……………………2分

因為sinB≠0,所以2=cosA+\sinA,…………………3分

所以sin(A+=1,…………………………5分

由A∈(0,π),所以A=.…………………7分

—→—→

—→AB—→AC—→—→

(2)令A(yù)E=—→,AF=—→,則AE=AF=1.

AＢAＣ

—→—→—→

又AD=AE+AF,則四邊形AEDF為菱形，AD為∠BAC的角平分線．…………………8分

—→—→—→—→—→—→—→

AD2=(AE+AF)2=AE2+AF2+2AE·AF=1+1+2×1×1×cos=3,

AD=\，……………………10分

S△ABC=bcsin=(b+c)·AD·sin,即bc=b+c,………………12分

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos=4,

即(b+c)2-3bc=(bc)2-3bc=4,解得bc=4,……………14分

1π

所以S△ABC=bcsin=．………………15分

23\

17.解：(1)因為∠BAF=90°,所以AB丄AF,

因為平面ABCD丄平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AF平面ABEF,

所以AF丄平面ABCD.………………………2分

因為BC平面ABCD,所以BC丄AF.……………………3分

(2)由(1)知AF丄平面ABCD,AD平面ABCD,所以AF丄AD,

因為∠BAD=∠BAF=90°,所以AB丄AF,AB丄AD,

以點A為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，

因為AB∥CD,AB∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,

所以A(0,0,0),D(2,0,0),F(0,0,2),C(2,1,0),E(0,1,2),B(0,2,0),

—→—→

CE=(-2,0,2),CB=(-2,1,0),…………………5分

設(shè)平面BCE的一個法向量為m=(x,y,z),

(—Ｃ→·０,－2ｘｙ0,

即令,得,,,………………分

則〈—x=1m=(121)6

!Ｃ·０,{－2ｘ２ｚ0,

同理易知平面ACF的一個法向量為n=(-1,2,0),………7分

m·n3\/30

所以cos〈m,n〉===,………………8分

mn\i6×\510

所以平面ACF與平面BCE的…………………9分

——

(3)設(shè)Q(a,b,c),由題可知DQ=λDF+μDB,

即(a-2,b,c)=λ(-2,0,2)+μ(-2,2,0)→a=2-2λ-2μ,b=2μ,c=2λ,……………11分

—→

即Q(2-2λ-2μ,2μ,2λ),所以AQ=(2-2λ-2μ,2μ,2λ).………………12分

—→—→

因為AQ丄平面BCE,所以AQ是平面BCE的一個法向量，所以AQ∥m,

即＝＝，解得λ=,μ=,………………14分

—→—→

故AＱ=,1,,AＱ=\=.…………15分

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學試卷參考答案第4頁（共6頁）W】

18.解：(1)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，不妨設(shè)an=xn+y(x,y∈R),

由a2n=2an+1可得2xn+y=2(xn+y)+1=2xn+2y+1,故y=2y+1,解得y=-1,

所以an=xn-1,………………1分

S2=4S1,即a2+a1=4a1,即a2=3a1,

所以2x-1=3(x-1),解得x=2,…………2分

2

故an=2n-1,Sn===n.………4分

(2)方法一：由(1)得：an=2n-1,

bn(2n+1)(2n-3)

∴當n≥2且n∈N*時，=

2,

bn-1(2n-1)

bn·bn-1·bn-2·…·b3·b2

∴bn=·b1…………………6分

bn-1bn-2bn-3b2b1

=×××…×××1=×=,

………………9分

2n+1

當n=1時，b1=1滿足bn=,

6n-3

綜上所述……………10分

方法二：由(1)得：an=2n-1,

２*

∵b1=1,an>0,bnaｎ=bn-1an-1an+1(n≥2,n∈N），

·an·an-1

∴bn=bn-1,……………………6分

an+1an

an

令cn=bn·,則數(shù)列{cn}為常數(shù)列，……………………7分

an+1

cn=bn·=bn-1·=…=b1·=1×=,……………………9分

an+1

12n+1……………………分

∴bn=×=.10

3an6n-3

(3)由(1)知，＝，下面證明＞ln1+,…………11分

槡(

設(shè)f(x)=x-ln(x+1),x>0,

x

則f′(x)=,當x>0時，f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

x+1

所以f(x)>f(0)=0,………………………13分

所以f=-ln(1+>0,即＞ln(1+,……………………15分

所以Tn=1+++…+>ln(1+1)+ln(1++ln(1++…+ln(1+

=ln(2×××…×=ln(n+1),

所以Tn>ln(n+1).…………………………17分

19.解：(1)當m=1時，f(x)=excosx-x+1,f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,

令h(x)=f′(x),則h′(x)=[(cosx-sinx)+(-sinx-cosx)]ex=(-2sinx)ex,………………2分

當x∈[0,π]時，h′(x)≤0,

所以h(x)=f′(x)在[0,π]上單調(diào)遞減．……………………4分

(2)證明：g(x)=f(x)+mx=emxcosx+1,g′(x)=emx(mcosx-sinx)=-槡m2+1sin(x+θ)emx,

其中θ滿足tanθ=-m,m>0,θ∈(-,0),………………6分

令g′(x0)=0,得x0=-θ,當x∈(0,-θ)時，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

【“皖八”高三二聯(lián)·數(shù)學試卷參考答案第5頁（共6頁）W】

當x∈