2025年長春一模數(shù)學試卷及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則A∩B=________。2.函數(shù)f(x)=ln(x+1)的定義域是________。3.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，則向量a+b的模長為________。4.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，a_3=11，則公差d=________。5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為________。6.已知圓的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，則圓心坐標為________。7.函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的最大值是________。8.若直線y=kx+3與圓x^2+y^2=4相切，則k的值為________。9.已知三角形ABC的三邊長分別為3，4，5，則該三角形的面積為________。10.在直角坐標系中，點P(1,2)關于y軸對稱的點的坐標為________。二、判斷題（每題2分，共20分）1.若a>b，則a^2>b^2。（）2.函數(shù)f(x)=sin(x)是奇函數(shù)。（）3.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，則向量a與向量b共線。（）4.等比數(shù)列的前n項和公式為S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。（）5.拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為7的概率為1/6。（）6.圓(x-1)^2+(y+2)^2=4的半徑為2。（）7.函數(shù)f(x)=e^x在定義域內(nèi)是增函數(shù)。（）8.已知三角形ABC的三邊長分別為3，4，5，則該三角形是直角三角形。（）9.在直角坐標系中，點P(1,2)關于原點對稱的點的坐標為(-1,-2)。（）10.若直線y=kx+b與x軸平行，則k=0。（）三、選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)2.已知集合A={x|1<x<5}，B={x|x≤3}，則A∪B=（）。A.{x|1<x<5}B.{x|1<x≤3}C.{x|3<x<5}D.{x|x≤3}3.向量a=(2,3)與向量b=(1,1)的夾角是（）。A.0°B.45°C.90°D.135°4.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=8，則a_7=（）。A.12B.14C.16D.185.函數(shù)f(x)=tan(x)的周期是（）。A.πB.2πC.π/2D.2π/36.已知圓的方程為(x-2)^2+(y-3)^2=1，則圓的半徑為（）。A.1B.2C.3D.47.函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[-1,1]上的最小值是（）。A.-1B.0C.1D.28.若直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相切，則k的值為（）。A.1B.-1C.√3D.-√39.已知三角形ABC的三邊長分別為5，12，13，則該三角形是（）。A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形10.在直角坐標系中，點P(2,3)關于x軸對稱的點的坐標為（）。A.(2,3)B.(3,2)C.(-2,3)D.(2,-3)四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)的頂點坐標和對稱軸方程。2.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，求向量a與向量b的夾角余弦值。3.已知等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_3=16，求公比q和a_5的值。4.已知圓的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，求圓上一點P(3,0)到圓心距離。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x的單調(diào)性。2.討論直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1的位置關系。3.討論三角形ABC的三邊長分別為a，b，c時，滿足a^2+b^2=c^2的條件。4.討論點P(x,y)在直線y=x上運動時，點P到原點的距離最小值。答案和解析一、填空題1.{x|2<x<3}2.(-1,+∞)3.5√24.35.1/26.(1,-2)7.18.±2√29.610.(-1,2)二、判斷題1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√三、選擇題1.D2.B3.D4.C5.A6.A7.B8.D9.C10.D四、簡答題1.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3可以寫成f(x)=(x-2)^2-1，所以頂點坐標為(2,-1)，對稱軸方程為x=2。2.向量a與向量b的夾角余弦值為cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a·b=3×1+4×(-2)=-5，|a|=√(3^2+4^2)=5，|b|=√(1^2+(-2)^2)=√5，所以cosθ=-5/(5√5)=-√5/5。3.等比數(shù)列{a_n}中，a_3=a_1q^2，所以16=2q^2，解得q=±2。當q=2時，a_5=a_1q^4=2×2^4=32；當q=-2時，a_5=a_1q^4=2×(-2)^4=32。4.圓心坐標為(1,-2)，點P(3,0)到圓心的距離為√((3-1)^2+(0-(-2))^2)=√(2^2+2^2)=2√2。五、討論題1.函數(shù)f(x)=x^3-3x的導數(shù)為f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。當x<-1或x>1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)增；當-1<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)減。2.直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相切的條件是圓心到直線的距離等于半徑，即|k×0-1|/√(k^2+1)=1，解得k=±√2。當k=±√2時，直線與圓相切；當|k|<√2時，直線與圓相交；當|k|>√2時，直線與圓