高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市2026屆高三上學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所?故選：B.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】復(fù)數(shù)，故虛部為.故選：A.3.已知，，若，則（）A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】因?yàn)?，，且，則，解得，所以，則，故選：C.4.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A.0 B.20 C.10 D.【答案】A【解析】由題意得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，，令，，所以的系數(shù)為0.故選：A.5.下面四個(gè)條件中，使成立的必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，，而不能推出，例如而.所以是的充分不必要條件，故A不正確對(duì)于B，不能推出，例如，但；而所以是的必要不充分條件，故B正確.對(duì)于C，不能推出，例如但；不能推出，例如，但.所以是的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故是的充要條件.所以D不正確.故選：B.6.大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（Pa），它隨海拔高度h（m）的變化規(guī)律可以近似的表示為（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是海平面大氣壓強(qiáng)，為常數(shù)）.已知寧波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一處的海拔約為1018m，大氣壓強(qiáng)為90900Pa，寧波城區(qū)一處的海拔約為4m，大氣壓強(qiáng)為101000Pa.現(xiàn)測(cè)得某山峰上一處的大氣壓強(qiáng)為80800Pa，請(qǐng)估計(jì)該處的海拔高度（單位：m）位于以下哪個(gè)范圍內(nèi)？（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)城區(qū)的壓強(qiáng)為，四明山的壓強(qiáng)為，由題意得，，兩式作除法可得，解得，對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)，可得，由已知得，兩式作除法可得，解得，則，在內(nèi)，故C正確.故選：C.7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是以為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)在軸右側(cè)，則，因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以是直角三角形，，即，化簡(jiǎn)得，所以離心率.故選：D.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，且當(dāng)時(shí)，取到最大值，則的所有可能取值構(gòu)成的集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，對(duì)任意的恒成立，函數(shù)周期滿足，，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，，，即，，，則的可能值為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，值循環(huán)出現(xiàn)．的所有可能取值集合為：．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列，滿足，則下面說(shuō)法正確的是（）A.若，則數(shù)列是遞減數(shù)列B.若，則數(shù)列是遞減數(shù)列C.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列D.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【解析】由等比數(shù)列，則公比，對(duì)于選項(xiàng)，若，則公比，故，又，數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)，若，則公比，又，數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)，若，則公比，故，又，數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)，若，則公比，故，又，數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)正確.故選：.10.在某次校園十佳歌手比賽中，八名評(píng)委根據(jù)參賽選手的表現(xiàn)在5，6，7，8，9，10這六個(gè)分值中選擇一個(gè)作為選手分?jǐn)?shù)，按照規(guī)則，八個(gè)得分中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分（如有同分，則只去掉同分中的一個(gè)），剩下的六個(gè)分?jǐn)?shù)作為有效得分.現(xiàn)對(duì)某名選手的六個(gè)有效得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)其平均值為.在對(duì)這六個(gè)有效得分統(tǒng)計(jì)的下述結(jié)論中，一定能判斷六個(gè)有效得分的中位數(shù)不超過(guò)8的是（）A.僅出現(xiàn)一個(gè)分?jǐn)?shù)是5 B.極差為4C.眾數(shù)為7 D.方差不超過(guò)3【答案】ACD【解析】因?yàn)槠骄鶖?shù)為，所以六個(gè)數(shù)據(jù)的總和為，六個(gè)有效得分的中位數(shù)如果超過(guò)，則六個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后的第三、第四個(gè)數(shù)據(jù)只能為或或或，以下分四種情況討論：（1）若為，因?yàn)橹荒軓?，6，7，8，9，10中取，則前兩個(gè)數(shù)據(jù)的和最小為，此時(shí)四個(gè)數(shù)據(jù)的和為，則剩下的兩個(gè)數(shù)據(jù)和為，所以這組數(shù)據(jù)只能為；（2）若為，因?yàn)橹荒軓?，6，7，8，9，10中取，則前兩個(gè)數(shù)據(jù)的和最小為，此時(shí)四個(gè)數(shù)據(jù)的和為，則剩下的兩個(gè)數(shù)據(jù)和為，因?yàn)楹髢蓚€(gè)數(shù)據(jù)不小于，因此不存在第三、第四個(gè)分?jǐn)?shù)為的有效得分；（3）若為，因?yàn)橹荒軓?，6，7，8，9，10中取，則前兩個(gè)數(shù)據(jù)的和最小為，此時(shí)這六個(gè)數(shù)據(jù)為，和為，因此不存在第三、第四個(gè)數(shù)據(jù)為的有效得分；（4）若為，因?yàn)橹荒軓?，6，7，8，9，10中取，則前兩個(gè)數(shù)據(jù)的和最小為，此時(shí)這六個(gè)數(shù)據(jù)為，和為，因此不存在第三、第四個(gè)數(shù)據(jù)為的有效得分；綜上所述，要使得中位數(shù)超過(guò)，則這六個(gè)有效得分只能是，中位數(shù)為因此，只要不是這組數(shù)據(jù)，即可保證中位數(shù)不超過(guò)，這組數(shù)據(jù)中有個(gè)，極差為，眾數(shù)為，方差為，所以僅出現(xiàn)一個(gè)分?jǐn)?shù)是5的數(shù)據(jù)中位數(shù)不會(huì)超過(guò)8，A正確；極差為4的數(shù)據(jù)可以是，中位數(shù)，B錯(cuò)誤；眾數(shù)是7的數(shù)據(jù)中位數(shù)不會(huì)超過(guò)8，C正確；方差不超過(guò)的數(shù)據(jù)中位數(shù)不會(huì)超過(guò)8，D正確；故選：ACD.11.在圓臺(tái)中，，AB，CD分別為上、下底面的直徑，，且，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段AC和上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），滿足，則（）A.圓臺(tái)的體積為B.四面體外接球的表面積為C.射線PQ交圓臺(tái)側(cè)面于點(diǎn)M，則PM的最小值為D.射線QP交圓臺(tái)側(cè)面于點(diǎn)N，則PN的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由已知，故A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱性可知球心在直線上，設(shè)半徑為r，則，解得，故四面體外接球的表面積為，故B正確；對(duì)于C，如圖圓所在平面平行于底面，則圓所在平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，設(shè)，所以，則，由相似可得圓的半徑，，則，令，則在上單調(diào)遞減，所以，則PM的最小值為2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C，同理可得，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，則PN的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在拋物線上，則到的焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_________.【答案】2【解析】由題意知，將點(diǎn)代入拋物線，可得，拋物線，可知拋物線的準(zhǔn)線方程：，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，即.故答案為：.13.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)不同的根，當(dāng)時(shí)，左邊為，右邊為，左邊不等于右邊，故不是方程的解；當(dāng)時(shí)，，令，求導(dǎo)得，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，且,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)圖像如下圖所示，要使與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則需滿足，此時(shí)與在和上各有一個(gè)交點(diǎn)．實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：．14.已知甲袋中有大小質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙袋中有大小質(zhì)地完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)隨機(jī)地選擇一個(gè)袋子，并從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到的也是紅球的概率是__________.【答案】【解析】設(shè)事件A表示“第一次摸到紅球”，事件B表示“第二次摸到紅球”．設(shè)事件表示“選擇甲袋”，事件表示“選擇乙袋”，且，，，根據(jù)全概率公式，得，在甲袋中，第一次摸出紅球后，還剩2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，共5個(gè)球，所以從甲袋中第一次和第二次都摸到紅球的概率，在乙袋中，第一次摸出紅球后，還剩1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，共4個(gè)球，所以從乙袋中第一次和第二次都摸到紅球的概率，根據(jù)全概率公式，得，所以，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，且的面積為，求的值.解：（1）由題可得，又，所以，又，則，所以，得到，又，所以，解得.（2）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，所以，所以，，所以，又面積，其中為外接圓的半徑，解得，所以.16.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，.作差可得，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，所以.（2）證明：由題可得，所以，又，所以，又也滿足上式，所以，.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面ABCD是直角梯形，，，且，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段PD上的點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：在線段PA上取N，使得，取線段的中點(diǎn)，連接，則，，，在梯形中，，E為CD的中點(diǎn)，則，因此，四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，所以平面.（2）解：由平面平面，平面平面，，平面，則平面，因?yàn)?，，則，則，即直線兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，設(shè)平面MEF的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，則，所以平面MEF與平面PEF夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，是上的點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別交橢圓在軸上方部分于，兩點(diǎn).（i）求面積的最大值；（ii）過(guò)延長(zhǎng)線上的點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，若與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：已知橢圓的離心率為，是上的點(diǎn).則，解得，所以橢圓的方程為；（2）（i）解：顯然當(dāng)DE與軸垂直時(shí)，TD，TE的傾斜角不互補(bǔ)，設(shè)DE的方程為：，設(shè)，聯(lián)立,消x得：，所以，，則，所以，代入得：，所以，即直線DE過(guò)定點(diǎn).所以，，所以，又T到DE的距離為，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào).即面積的最大值為；（ii）證明：設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的橢圓的兩條切線為，，聯(lián)立，得，由相切得，化簡(jiǎn)得，所以，，設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，化簡(jiǎn)得：，所以直線MN過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)恒成立，求整數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：在上存在唯一零點(diǎn)和唯一極小值點(diǎn)，且.（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得.（2）解：由，且，由，可得，當(dāng)時(shí)，，，不符合，故，法一：當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，令，可得，所以在遞增，在遞減，又，，所以，即.當(dāng)時(shí)，可得，所以.所以當(dāng)時(shí)，均有對(duì)恒成立，綜上所述，整數(shù)的最小值為.法二：當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，令，可得在上遞增，因?yàn)?，，所以存在，使得，即，又因?yàn)?，所以，則，所以在遞增，有，當(dāng)時(shí)，，所以，也成立.綜上所述，整數(shù)的最小值為