高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的方程為，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的方程為，變形為，故直線的斜率為，設(shè)的傾斜角為，則，又，即.故選：C.2.已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，，與互相垂直則，則.故選：B.3.若方程表示圓，且圓心位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將方程配方得：，所以圓心坐標為,又因為方程表示圓，且圓心位于第四象限，所以，解得.故選：A.4.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，：，：，顯然不成立，當時，，，當時，，即，則，解得或，當時，：，：，此時重合，舍去，∴，∴“”是“”的充要條件.故選：C.5.學(xué)校書法社、繪畫社、攝影社報名人數(shù)分別為人，人，人．按社團進行分層抽樣，從這些報名學(xué)生中抽取5人作為社團聯(lián)合活動的籌備人員．從這5人中隨機抽取2人負責(zé)物資準備，則2名負責(zé)人至少有一名來自繪畫社的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】學(xué)校書法社、繪畫社、攝影社的報名人數(shù)分別為人，人，人，總?cè)藬?shù)為人，抽樣比為，抽取人數(shù)：書法社，繪畫社，攝影社，從5人中隨機抽取2人，總組合數(shù)為，“至少一名來自繪畫社”的對立事件是“兩人均不來自繪畫社”，組合數(shù)為，2名負責(zé)人至少有一名來自繪畫社的概率．故選：A．6.已知，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的方向向量，，∵，∴，到直線的距離為.故選：D.7.已知點滿足方程，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】C【解析】如圖：的圓心,，,即，，故AB錯誤；令，，的最小值是，故C正確；設(shè)則，由圖可知當與圓相切時取得最值，設(shè)切線方程為，整理得，由題意得兩邊同時平方，解得.故D錯誤.故選：C.8.已知橢圓：（），過的左焦點的直線與的一個交點為，且與圓：相切于點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓：，半徑為，過的左焦點的直線與的一個交點為，且與圓：相切于點，，，，，，，，，在中，由余弦定理得，，則，，，.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某校調(diào)查了100位70歲以內(nèi)的教職工（含離退休）的年齡情況，分成了，，，，五組，并制作了如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.這100位教職工中年齡在的人數(shù)為55C.這100位教職工年齡的眾數(shù)估計值為45D.這100位教職工年齡的中位數(shù)的估計值為42.5【答案】AB【解析】對于A，在頻率分布直方圖中，所有小長方形面積之和等于1，所以，解得，A正確.對于B，這100位教職工中年齡在的人數(shù)為：，B正確.對于C，這100位教職工年齡的眾數(shù)估計值為，C錯誤.對于D，設(shè)這100位教職工年齡的中位數(shù)的估計值為，則，解得，D錯誤.故選：AB.10.如圖，平行六面體中，以為頂點的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是60°，則下列說法中正確的是（）A.B.C.與所成角的余弦值為D.在方向上的投影向量是【答案】AD【解析】A選項，，，則，A正確；B選項，，B錯誤；C選項，，，，C錯誤；D選項，在方向上的投影向量為，D正確；故選：AD.11.已知是坐標原點，直線：與直線：相交于點，點，均是圓：上的動點，且，是的中點，則下列說法正確的是（）A.B.的最小值為C.的最大值為D.的最大值為【答案】ACD【解析】∵：與直線：，∴直線必過定點，∴線段的中點為，且.又∵由直線方程可知.點在以為直徑的圓上.y：不包括直線,直線：不包括直線，∴點的軌跡是以為直徑的圓（除去點),∴，A選項正確.∵，∴又∵圓：上的圓心為,半徑，∴圓心到線段的距離，.當四點順次排列并共線時（滿足與不重合），取得的最小值，，B選項錯誤.,當四點順次排列并共線時（滿足與不重合），取得的最大值，，∴，C選項正確.設(shè)直線，,到直線的距離分別為，則，，由梯形中位線可知.∴，又∵圓心到直線的距離，，∴，即，∴，D選項正確.故選：ACD.三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分．12.在七彩陽光聯(lián)盟考試中，從某班隨機抽取8名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，分數(shù)從低到高為：80，87，92，106，115，120，128，137，則第70百分位數(shù)是______．【答案】120【解析】因為，所以第70百分位數(shù)是該組數(shù)據(jù)由小到大排列的第6個數(shù)據(jù)120.故答案：120.13.橢圓左右焦點為，，橢圓上點滿足，則______．【答案】或【解析】因橢圓，所以，點在橢圓上，所以，又，所以，在中，，，.故答案為：.14.若，為平面上兩個定點，則滿足為常數(shù)的動點的軌跡是直線，滿足的動點的軌跡是圓．將此性質(zhì)類比到空間中，解決下列問題：在長方體中，，點在棱上，，動點滿足，動點滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】由條件給出的向量性質(zhì)可類比得出時，動點P的軌跡是以為直徑的球體，設(shè)在上的投影為F，由數(shù)量積的幾何意義可知，則，即動點Q的軌跡是垂直于且到的距離等于2的平面，如下圖所示，建立空間直角坐標系，取中點M，則,所以,易知，，又,可取為平面的一個法向量，則到平面的距離，由圖形易知當三點共線，且平面時，此時.故答案為：.四、解答題：共5大題，共77分，其中第15題13分，第16題、第17題每題15分，第18題、第19題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個頂點是，，．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）若直線過點，且點，到直線的距離相等，求直線的方程．解：（1）因為，所以邊上的高所在直線的斜率為．由于直線過點，所以的直線方程為，即．（2）因為點，到直線的距離相等，所以直線與平行或過線段的中點．①當直線與平行時，因為，且過點，所以的直線方程為，即．②直線過線段的中點時，有，所以直線方程為，即．綜上所述：直線方程為或．16.如圖，在三棱臺中，，，，，平面，為的三等分點（靠近），為線段中點．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，由題意知平面，，故以為坐標原點，以直線，，為，，軸建立空間直角坐標系．依題有，，，，所以，，所以所以，即．（2）解：由三棱臺可知．依題有，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，則，取，因為，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知圓：，點．（1）直線經(jīng)過點，且與圓交于，兩點，若，求的方程；（2）若點是圓上任意一點，試問：在平面上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由弦長，可知圓心到直線的距離．①當直線的斜率不存在時，且直線過點，即直線的方程為不符合題意；②當直線的斜率存在時，且直線過點，則直線的方程為，即，所以，即，解得或．所以直線的方程為或．（2）依題有，設(shè)點，，其中點滿足，即，由可知，即，即，則，故有，，即．18.已知橢圓：（）的離心率為，上頂點為．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點且與橢圓交于,兩點，直線,與軸交于點,．（i）若直線過點，求的面積；（ii）求證：，兩點橫坐標之和為定值．（1）解：依題意有橢圓離心率，上頂點即，由可知，，故橢圓的方程為．（2）（i）解：直線過點和，則直線的斜率為，故直線的方程為，即，即，設(shè)，，由得，由韋達定理可知，，，則．點到直線的距離為所以的面積為．（ⅱ）證明：已知，，，①當直線的斜率不存在時，即直線的方程為，不符合題意；②當直線的斜率為零時，，此時直線與橢圓相交于點，不符合題意；③當直線的斜率存在且不為零時，則直線的方程為，即，由，得．由韋達定理可知，，直線的方程為，直線的方程為，分別令，解得，，則，其中，，所以，其中，所以，故，兩點的橫坐標之和為定值，得證．19.在平面四邊形中，，，，將沿翻折至，為上的動點（不包含端點）．（1）設(shè)，三棱錐的各個頂點都在球的球面上．（i）證明：平面平面；（ii）若球的半徑為，求的長度；（2）若，求二面角的余弦值的最小值．（1）（i）證明：在平面四邊形中，，，，，在空間中，，，，面，又面，面面，得證．（ii）解：由（i）可知，面面，如圖，作平面，以點為坐標原點，以直線，，為