第一章第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值[課程標準要求]1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實際意義.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基項目增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I當x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上

.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上

時,我們就稱它是增函數(shù)當x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上

.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上

時,我們就稱它是減函數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義f(x1)<f(x2)單調(diào)遞增單調(diào)遞增f(x1)>f(x2)單調(diào)遞減單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是

自左向右看圖象是

上升的下降的函數(shù)單調(diào)性定義中的x1,x2具有以下三個特征:一是任意性,即“任意兩數(shù)x1,x2∈I”,“任意”兩字絕不能丟;二是有大小,即x1<x2;三是同屬一個單調(diào)區(qū)間,三者缺一不可.(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,

叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減區(qū)間I前提一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足條件?x∈D,都有

;?x0∈D,使得

?x∈D,都有

;?x0∈D,使得

結(jié)論M是函數(shù)y=f(x)的最大值M是函數(shù)y=f(x)的最小值2.函數(shù)的最值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M1.函數(shù)單調(diào)性的等價定義設(shè)任意x1,x2∈I(x1≠x2),則(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)?f(x)在I上單調(diào)遞增.(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)?f(x)在I上單調(diào)遞減.3.與函數(shù)運算有關(guān)的單調(diào)性結(jié)論(1)函數(shù)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.(2)當k>0時,函數(shù)f(x)與kf(x)單調(diào)性相同;當k<0時,函數(shù)f(x)與kf(x)單調(diào)性相反.(3)若f(x)恒為正值或恒為負值,則f(x)與具有相反的單調(diào)性.(4)在公共定義域內(nèi),增+增=增,減+減=減.(5)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡稱“同增異減”.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)若f(-4)>f(3),則f(x)在[-4,3]上單調(diào)遞減.(

)(2)閉區(qū)間[a,b]上的“單峰”函數(shù),一定存在最大值或最小值.(

)(3)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點處取得.(

)×√××2.(多選題)(必修第一冊P86習(xí)題3.2T3改編)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.y=-x B.y=x2-xC.y=-x2-2x D.y=ex√√√4.函數(shù)f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),則滿足f(2x-1)>的x的取值范圍是

.

5.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

(-∞,-1)解析:由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,故f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞),由函數(shù)y=x2-2x-3在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1).02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間角度一求具體函數(shù)單調(diào)區(qū)間[例1](1)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減的是(

)√解析:(1)對于A,y=x3在定義域R上單調(diào)遞增,故A錯誤;(2)函數(shù)y=lg(-x2+2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

解析:(2)由-x2+2x>0可知0<x<2.故函數(shù)y=lg(-x2+2x)的定義域為(0,2).設(shè)t=-x2+2x,y=lgt.因為t=-x2+2x在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,而函數(shù)y=lgt單調(diào)遞增.所以函數(shù)y=lg(-x2+2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).(1,2)[例2]試討論函數(shù)f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的單調(diào)性.由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故當a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.角度二求函數(shù)單調(diào)性當a>0時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當a<0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)先求定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:定義法,圖象法,利用已知函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)法.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)√解析:(1)對于A,因為y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,y=-x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故A錯誤;(2)(角度一)(2024·海南?？谀M)函數(shù)f(x)=x2-4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(0,2)√則由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當x≥0時,y=x2-4x+3=(x-2)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2);當x<0,y=x2+4x+3=(x+2)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2)和(0,2).故選B.考點二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度一利用單調(diào)性比較大小A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b√利用單調(diào)性比較大小的方法利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小時,應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(如對稱性等)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間上,利用單調(diào)性比較大小.角度二利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式[例4]已知函數(shù)f(x)=()x-log2(x+2),若f(a-2)>3,則a的取值范圍是

.

(0,1)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號“f”,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式,常見的轉(zhuǎn)化方法為:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù),對任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),則有x1<x2;若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù),對任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),則有x1>x2.但需要注意的是不要忘記函數(shù)的定義域.角度三由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍√[例5](2024·廣東深圳模擬)已知函數(shù)f(x)=滿足對任意的x1≠x2都有<0成立,則a的取值范圍是(

)利用單調(diào)性求參數(shù)(1)依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較.(2)若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.(3)分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點的取值.√[針對訓(xùn)練](1)(角度一)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則下列關(guān)系式成立的是(

)(2)(角度二)(2024·河南開封模擬)設(shè)f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),則滿足f(x)<f(x-2)的x的取值范圍是

.

[2,+∞)解析:(2)因為f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),且f(x)<f(x-2),所以x>x-2≥0,所以x≥2.(3)(角度三)若函數(shù)f(x)=在(a,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為

.

[1,2)考點三求函數(shù)的最值[例6](1)對于任意實數(shù)a,b,定義min{a,b}=設(shè)函數(shù)f(x)=-x+3,g(x)=log2x,則函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是

;

1解析:(1)法一在同一平面直角坐標系中,作函數(shù)f(x),g(x)的圖象,依題意,h(x)的圖象為如圖所示的實線部分.易知點A(2,1)為圖象的最高點,因此h(x)的最大值為h(2)=1.當0<x≤2時,h(x)=log2x是增函數(shù);當x>2時,h(x)=3-x是減函數(shù),因此h(x)在x=2處取得最大值h(2)=1.(2)函數(shù)f(x)=2x2-的最小值為

.

所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).因為g(t)=2t2-t-2(t≥1)圖象的對稱軸為直線t=,所以當t=1時,g(t)=2t2-t-2取得最小值,為g(1)=2×12-1-2=-1.-1求函數(shù)最值的五種常用方法(1)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點、最低點,求出最值.(2)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(3)換元法:對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值.(4)基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(5)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點值,求出最值.注意:(1)求函數(shù)的最值時,應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.(2)求分段函數(shù)的最值時,應(yīng)先