專題22圓的相關性質(zhì)（34題）

一、單選題

1.（2024?湖南?中考真題）如圖，AB,AC為0。的兩條弦，連接08,OC,若4=45。，則/AOC的度

數(shù)為（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

是解題的關鍵.根據(jù)圓周角定理可知NA=；N"OC,即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，圓周角NA和圓心角N80C同對著8C，

ZA=-ZBOC,

2

vZA=45°,

NBOC=2ZA=2x45。=90°.

故選：C.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，Z￡=35°,則N3QD=（）

100°C.120°D.110°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出NAOD=2NE.

由圓周角定理得到NAOD=2ZE=70°,由鄰補角的性質(zhì)求出/BOD=180°-70°=110°.

【詳解】解：???NE=35。,

.-.ZA(9D=2Z￡=70o,

/.Z5OD=180°-70°=110°.

故選：D.

3.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到力

點后放開，讓此重物由力點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，04為半徑的一段圓

弧，

故選：C.

4.（2024?四川涼山?中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測?個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解

決方案是：在工件圓弧上任取兩點A,B,連接AB,作從8的垂直平分線CD交于點。，交43于點C,

A.5（）cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考杳垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出8。的長；設圓心為O,連接OB,在

RlZXOBD中，可用半徑0B表示出。。的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直

徑長.

【詳解】解?：匚8是線段4B的星直平分線，

匚直線C。經(jīng)過圓心，設圓心為。，連接08.

[C

￥氐4。8。BD=l^=20cm,

2

d（

根據(jù)勾股定理得：

OD2+BD2=OB2,即：

（08—10）2+2（f=083

解得：013=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.12024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，AO是。。的直徑，是。。的弦，半徑008,連接CO,交08

于點E,NBOC=42。，則NOE。的度數(shù)是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì).先根據(jù)垂徑定理，求得

4OC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得N。=g^AOC=2-，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：□半徑OC_LM,

□zc=z?c?

n/AOC=/ROC=4?°,7AOR=X4°,

AC=ACf

□ZD=-Z^OC=2I°,

2

□Z.OED=ZAOB-ZD=63°，

故選：B.

6.（2024?湖北?中考真題）A8為半圓0的直徑，點。為半圓上一點，且NC48=50。.□以點8為圓心，適

當長為半徑作弧，交A8.BC于RE；口分別以。后為圓心，大于^。后為半徑作弧，兩弧交于點P；口作射

線BP,則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可求出N48C=40。,

根據(jù)作圖可得480=；44。=20。，故可得答案

【詳解】解：□48為半圓。的直徑，

LZACB=90°,

□ZC4B=50°,

□Z4BC=40°,

由作圖知，AP是/ABC的角平分線，

ZABP=-ABC=20°

2t

故選：C

7.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，AB是的直徑，若NCD8=60。，則NA8C的度數(shù)等于（）

【答案】A

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等.根據(jù)直徑所對的圓周角為

直角得到48=90。，同弧或等弧所對的圓周角相等得到NCQ8=4=60。，進一步計算即可解答.

【詳解】解：:AB是。。的直徑，

/.NACB=90°,

ZCDB=60°,

.-.Z4=ZCDB=60°,

=5尸一幺=3（）M,

故選：A.

8.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知四邊形A8CQ是。。的內(nèi)接四邊形，￡為A。延長線上一點，

400=128。，則NC￡陀等于（）

金

C

E

A.64°B.60。C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本題考杳了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.根據(jù)同弧所

對的圓心角等于圓周角的2倍可求得上從。。的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補,可推出NCDK-4U7C,

即可得到答案.

【詳解】解：:/ABC是圓周角，與圓心角/AOC對相同的弧，且&OC=128。，

/.ZABC=-ZAOC=-xl28°=64°,

22

又?.?四邊形4B8是。。的內(nèi)接四邊形，

ZABC+Z4Z）C=180°,

又ZCDE+ZADC=180°,

.\ZCDE=ZABC=64°,

故選：A.

9.：2024?云南?中考真題）如圖，CD是O。的直徑，點A、B在0。上.若AC=8C，NAOC=36',則/。=

A.9B.18°C.36D.45

【答案】B

【分析1本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接08,由人。=8?？傻?80。=40。=36。,

進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：連接0B,

□AC=4C，

□/8OC=ZAOC=36。，

ZD=-Z^OC=18n,

2

10.（2024?黑龍江綏化?中考真題）下列敘述正確的是（）

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本題考杳了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關系，根據(jù)相關定理逐項分析

判斷，即可求解.

【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；

B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；

C物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確,符合題意：

D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正

確，不符合題意；

故選：C.

11.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，中，弦AB的長為4百，點C在上，OC±AB,NA3c=30。.QO

所在的平面內(nèi)有一點P,若OP=5,則點。與的位置關系是（）

A.點。在上B.點/＞在內(nèi)C.點。在0。外D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關性質(zhì)是解

題關鍵.由垂徑定理可得4）=26，由圓周角定理可得NAOC=60。，再結合特殊角的正弦值，求出。。的

半徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令OC與A8的交點為

?.?0C為半徑，人B為弦，且OC_LA8,

/.AD=-AB=2yl3,

2

ZABC=30°

.?.Z4OC=2ZA8C=60。，

在ZkAOO中，400=90。，ZAOD=60°,人。=26,

VsinZAOD=—,

0A

,nA_AD_2x/3_

.Q一逅，即。。的半.徑為4,

~2

?/0P=5>4,

.?.點。在。。外，

故選：C.

12.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，A8是。。的直徑，若

ZBEC=20°,則。的度數(shù)為（）

E

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接AC,由A3是。。的直徑得到ZAC8=9（）。，

根據(jù)圓周角定理得到NC48=N8EC=20。，得至1]448。=90。-/84。=70。，再由圓內(nèi)接四邊形對角互補得

到答案.

【詳解】解：如圖，連接AC，

□43是0。的直徑，

Z4c8=90。，

□ZBEC=20°,

□ZC4B=Z5EC=20°

□NABC=90°-NBAC=70°

匚四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，

□Z4DC=180°-ZABC=110°,

故選：B

13.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，ZABC=60°,N84C=NCAO=45。,

AB+AD=2,則。。的半徑是（）

A.如B,也C.BD.

3322

【答案】A

【分析】延長AB至點E,使連接8。，連接CO并延長交0。于點片連接AF,即可證得

AADC^AEBC(SAS),進而可求得AC=cos45，AE=&，再利用圓周角定理得到NA"=60。，結合三角

函數(shù)即可求解.

【詳解】解：延長A8至點￡使BE=A。，連接B。，連接CO并延長交。。于點凡連接"，

匚四邊形A8CQ內(nèi)接于。。，

ZADC+ZABC=ZABC+NCBE=\80°

匚ZAOC—NC"

□ZBAC=ZC4Z>=45°

NCBD=NCDB=45。,/D48=90。

□6。是。0的直徑，

□ZDCB=90°

匚△QCB是等腰直角三角形，

匚DC=BC

□6￡=4。

L—OC且△EBC(SAS)

匚ZACD=NECB,AC=CE,

CAB+AD=2

DAB+BE=AE=2

又口/。。8=90。

□Z4CE=90。

□△ACE是等腰直角三角形

□ZC=cos45°.AE=>/2

□Z4fiC=60°

□ZAFC=60°

□ZE4C=90°

“AC2y/6

sin6003

OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

二、填空題

14.（2024?四川南充?中考真題）如圖,A6是。。的直徑，位于A。兩側(cè)的點C,。均在。。上，“。。=30。，

則乙4。。二度.

【分析】本題考查圓周角定理，補角求出NAOC,根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的?半，進行求解即可.

【詳解】解：匚A3是0。的直徑，位于A8兩側(cè)的點C,。均在。。上，NBOC=30°,

LZAOC=180°-ZBOC=150°,

匚NA。?！筃A。。=75。；

2

故答案為：75.

15.（2024?北京?中考真題）如圖，的直徑48平分弦。（不是直徑）.若/。=35。，則NC=

C

【答案】55

【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先由垂徑定理得到AB_LCO,由BC=BC得到/力==35。，故/。=90。-35。=55。.

【詳解】解：匚直徑AB平分弦CQ,

DABA.CD,

BC=BC，

口//=/〃=35°,

口/。=90。-35。=55。，

故答案為：55.

16.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，/8C是。。的內(nèi)接三角形，若NO8C=28。，則NA二

【答案】62。/62度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接OC,利用等腰三角形的性

質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出NBOC的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接。C,

□08=0C,NO8C=28。，

NOCB=/OBC=28。，

NBOC=180°-ZOCB-ZOBC=124°,

匚NA=-N8OC=62。，

2

故答案為：62°.

17.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，“8C內(nèi)接于O。，人。是直徑，若N8=25。，則NC4D

B

【答案】65

【分析】本題號查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得

出/ACA90。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出NO=N8=25。，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，

即可求解.

【詳解】解.：如圖所示，連接8，

B

△ABC內(nèi)接于0。，AO是直徑,

匚ZACD=90°,

□4C=AC，〃=25。,

口NO=N8=25。

□ZG4D=900-25°=65°,

故答案為：65.

18.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，△A8C內(nèi)接于。。，點。在A3上，4。平分/8AC交0。于。，連

接80.若A8=10,BD=2亞,則8c的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì),延長AC.交于E,由圓周角定理可得/4/)/?=/A/爾=90。,/A「R=/R「E=5)。,進而可

證明△AB。絲△AED(ASA),得到8O=OE=2右，即得跖=46，利用勾股定理得AO=4石，再證明

△ABDSABCE,得到繪二組，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

ABAD

【詳解】解：延長AC,BD交于E,

?.?/V?是。。的直徑，

,\AADB=ZADE=90°,ZACB=NBCE=90。，

AO平分NB4C,

/.2BAD=乙DAE,

又□AO=4O,

△/WO0△AEQ(ASA),

:.BD=DE=2舊,

:.BE=4有,

?no,BO=2石，

/ID=^1O2-(2X/5)2=4石，

?.-NDAC=/CBD,

又iiNBAD=NDAE,

匚NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE-90。，

:.AABD^ABEC,

.BE_BC

,獲―茄’

4>/5BC

一元"乖’

BC=8,

故答案為：8.

E

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，8c是。。的弦，連接08,0C,乙4是4c所對的圓周角，則與NO8C

的和的度數(shù)是.

【答案】90。/90度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的

關鍵.根據(jù)圓周角定理可得=結合三角形內(nèi)角和定理，可證明2NA+NONC+NOCB=180。，

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知N08C=N0C8,由此即得答案.

【詳解】NA是BC所對的圓周角，/BOC是所對的圓心角，

."B0C=2ZA,

?.?NBOC+ZOBC+NOCB=180°,

/.2ZA+ZOBC+40cB=18()。，

\'OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

/.2ZA+ZOBC+NOBC=180°,

.?.2Z4+2ZO^C=I80°,

:.ZA+^OBC=90°.

故答案為：90°.

20.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)如圖，在。。中，直徑A8_LCO于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的

長為.

【答案】3M

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

由垂徑定理得CE=EO=；CO=3,設0。的半徑為，則OE=O4-必="一1,在此△OED中，由勾股定

理得出方程，求出，*二5,即可得出AE=9,在心中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解；匚A8J,CQ,CZ5—6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

設。。的半徑為，則OE=O3-E8=r-1,

在Rf^OED中,由勾股定理得：0爐+。爐=0。\即（-1）2+32=/，

解得：r=5,

.?.OA=5,OE=4,

/.AE=OA+OE=9t

在?△A￡C中，由勾股定理得：4C=RCE，A上？=j32+了=3而，

故答案為：3\/iU.

21.（2024?江西?中考真題）如圖，48是的直徑，/18=2,點。在線段八B上運動，過點。的弦DE/AB,

將OBE沿。E翻折交直線48于點F,當。E的長為正整數(shù)時，線段網(wǎng)的長為.

【答案】2-6或2+6或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)。EK43,可得?！?1或2,利用勾股定理進

行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?A8為直徑，DE為弦,

DE<AB,

「?當DE的長為正整數(shù)時，力七=1或2,

當DE=2時，即OE為直徑，

VDELAB

將DBE沿DE翻折交直線AB于點F,此時尸與點A重合，

故FB=2；

當DE=1時，且在點C在線段08之間，

如圖，連接。。，

此時==

OC=>JOD2-DC2=—，

2

2-出

??.BC=OB-OC=——，

2

/.RF=2BC=2-6

；.BF=2BC=2+6

綜上，可.得線段的長為2百或2I百或2,

故答案為：2-75或2+6或2.

22.（2024,河南?中考真題）如圖，在RtAA灰?中，ZACT=90°,CA=CI3=3,線段。繞點C在平面內(nèi)

旋轉(zhuǎn)，過點B作A。的垂線，交射線4。于點￡若CD=l,則4E的最大值為,最小值為.

【答案】2&+I/1+2a2&-1/—I+2血

【分析】根據(jù)題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以為直徑的圓上，根據(jù)

AE=AB-cosZBAE,得出當cos/BAE最大時，AE最大,cos/BAE最小時，AE最小，根據(jù)當AE與相

切于點。，且點。在△ABC內(nèi)部時，NBAE最小,人E最大，蘭AE與0c相切于點。，且點D在"8C外

部時，最大，AE最小，分別畫出圖形，求出結果即可.

【詳解】解：匚N4C8=90°,CA=CB=3,

匚NBAC=ZABC=1x90°=45°,

2

匚線段C。繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，CD=1,

□點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，

□ZJE14E,

□ZAEB=90°,

□點七在以A8為直徑的圓上，

在為△ABE中，AE=AB-cosZBAE,

口43為定值，

匚當C0S/84E最大時，AE最大，cos/BAE最小時，4E最小，

當AE與0c相切于點。，且點D在AABC內(nèi)部時，/84E最小，AE最大，連接C。，CE,如圖所示:

則CD_L4E,

Z4ZX?=ZCD￡=90°,

AD=>jAC2-CD2=V32-12=2X/2?

AC=ACf

匚NCEO=NABC=45。，

□ZCDE=90°,

CA。月為等腰直角三角形,

DE=CD=\,

□4E=4O+OE=2及+1，

即AE的最大值為2應+1;

當AE與。。相切于點。，且點。在外部時，N8AE最大，AE最小，連接CD,CE,如圖所示:

則CO_LAE,

CZCDE=90°,

^AD=>lAC2-CD2=732-12=2X/2?

匚四邊形4BCE為圓內(nèi)接四邊形，

匚ZCEA=180°-ZABC=135°,

□ZCED=180°-ZCEA=45°,

□ZCDE=90°,

△CDE為等腰直角三角形，

□DE=CD=i,

口AE=AD-DE=2^-1，

即AE的最小值為2&-1;

故答案為：2貶+1;2V2-1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì),

解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質(zhì)，找出AE取最大值和最小值時,

點D的位置.

三、解答題

23.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，A3為［。的弦，C為AS的中點，過點。作。。〃43,交OB的延

長線于點。.連接OAOC.

（1）求證：co是口。的切線：

（2）若04=3,BD=2,求△08的面積.

【答案】（1）見解析

Q）6

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關結論是解題關鍵.

（1）由垂徑定理的推論可知據(jù)此即可求證；

（2）利用勾股定理求出C。即可求解：

【詳解】（1）證明：nAB為口0的弦，。為48的中點，

由垂徑定理的推論可知：OC1AB,

口CO〃A8,

□OC_LC￡>,

□0C為口。的半徑，

匚CO是口。的切線；

（2）解：匚O8=OA=OC=3,BD=2,

nOD=OB+BD=5,

□CD7OD,-OC=4,

□SA"O=；X"XCO=6-

24.（2024吶蒙古包頭?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，8C,B。是。。的兩條弦，點C與點。在A3的

兩側(cè)，石是0B上一點（OE>BE）,連接OCCE,且NBOC=2NBCE.

⑴如圖1,若BE=1,CE=45,求OO的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：8O〃OC.(請用兩種證法解答)

【答案】(1)3

(2)見解析

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出/O8C=/OCB=g(180。-N8。。)，結合

NBOC=2NBCE,可得出NOBC+N5CE=90。，在RjOCE中，利用勾股定理求解即可：

(2)法一：過。作OF_LBO于F,利用垂徑定理等可得出3尸=；80=0￡,然后利用HL定理證明

R^CEO^RsOFB,得出NCOE=NO8尸，然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接4。，證明得出NCOE=ZABD,然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(I)解口匚OC=OB,

□￡OBC=Z.OCB=1(1800-ZBOC),

□NBOC=2/BCE,

￡OBC=-(1800-2ZBCE)=90°-NBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

2

□ZOEC=90°,

^OC2=OE2+CE2,

□OC2=((9C-l)2+(>/5)2,

解得OC=3,

即。。的半徑為3；

(2)證明：法一：過O作OFLBD于F,

BF=-BD,

2

匚BD=2OE

匚0E=BF,

又OC=OB,40EC=/BF0=90。，

R^CEOgRt△。/8（HL）,

UNCOE=/OBF,

匚BD〃OC；

法二：連接4。，

□A5是直徑,

Z4DB=90°,

DAD=>JAB2-BD2=yj(2OC)2-(2OE)2=2y]0C2-0E2=2CE,

OCCEOE1

----=-----=-----=—i

ABADBD2

匚△CfZfAOB,

□NCOE=ZABD,

□BO〃OC.

【點睛】本題考查了垂徑定理，和似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)隹和定理，全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵.

25.(2024?安徽?考真題)如圖，。。是“8C的外接圓，。是直徑上一點，NACO的平分線交于

(1)求證：COJ.A8：

(2)設F、M_LA8,垂足為M,若OM=OE=1,求AC的長.

【答案】(1)見詳解

(2)472.

【分析】本題上要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)以及定理是解

題的關鍵.

（1）由等邊對等角得出由同弧所對的圓周角相等得出/用石=N8CE,由對頂角相等得

出乙正F=NCEB,等量代換得出NCE8=N8CE,由角平分線的定義可得出4C￡=NQCE,由直徑所對

的圓周角等于90?？傻贸鯪AC8=90。，即可得出NCE8+NOCE=NBCE+NACE=NAC8=90。，即

ZCDE=90°.

（2）由（1）知，4CEB=/BCE,根據(jù)等邊對等角得出6E=8C,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出

肱3AE的值，進一步求出。4,BE，再利用勾股定理即可求出AC.

【詳解】（1）證明：FA=FE,

DZFAE=^AEF，

又NFAE與Z.BCE都是8尸所對的圓周角，

□NFAE=/BCE,

UZAEF=ZCEB,

口NCEB=NBCE,

匚CE平分/AC。，

ZACE=NDCE,

□AB是直徑，

rZ4CB=90°,

□NCEB+/DCE=ZBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCD￡=90。，

即CZ）_LA8.

（2）由（1）知，NCEB=/BCE,

□BE=BC,

又FX=FE、FMLAB,

FMA=ME=MO+OE=2,AE=4,

匚圓的半徑。4=OB=AE-OE=3,

□BE=BC=OB—OE=2,

在AABC中.

AB=2OA=6,8c=2

□AC=y）AB2-BC1=V62-22=4>/2

即AC的長為4&.

26.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，/石是O。的直徑，點A在O。上，點C在BE的延長線上，

Z￡4C=ZABC,AO平分NBAE交0。于點。，連結力E.

⑴求證：C4是的切線；

(2)當AC=KC7?=4時，求DE的長.

【答案】(1)見解析

(2)672

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判

定是解題的關鍵.

(1)連接QA,根據(jù)圓周角定理得到NZMK-90。，根據(jù)等腰二幫形的性質(zhì)得到—NZMO,求得

NQ4C=90。，根據(jù)切線的判定定理得到結論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到BC=16,求得BE=BC-CE=12,連接80,根據(jù)角平分線的

定義得到N84O=N￡AO,求得BD=DE，得到8。二。七，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接04,

ZBAE=90°,

:.ZBAO+ZOAE=900,

,:GA=OB,

/.ZABC=ZBAO,

?/^EAC=ZABC,

NCAE=/BAO,

：.ACAE+ZOAE=90°,

...NO4c=90。，

人是O。的半徑,

??.C4是0。的切線；

(2)解：?.?ZEAC=Z/4BC,zc=zc,

/.△ABCS/XEAC,

?AC_CE

正一就‘

84

?‘正二=

4c=16,

BE=BC-CE=12,

連接8。，

4。平分

/BAD=/EAD,

BD=DE，

BD=DE,

■.BE的直徑，

/.NAOE=9()。，

27.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知NPAQ及4尸邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線A0上求作點。，使得NCOQ=2/C4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點。為圓心，以04為半徑的圓交射線4。于點4,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP

上求作點M，使點M到點。的跳離與點M到射線AQ的距離相等：（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑶在（1）、（2）的條件下，若sinA=1,CM=12,求的長.

【答案】（1）作圖見詳解

（2）作圖見詳解

⑶BM=6后

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于己知角的方法即可求解；

（2）根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；

（3）根據(jù)作圖可得MW_LAQ，CM=WM=12,A8是直徑，結合銳角三角函數(shù)的定義可得AM的值，根據(jù)

勾股定理可求出AC的值，在直角ABCM中運用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，

NCOQ=2NC4Q；

點。即為所求

（2）解：如圖所示,

連接4C,以點3為圓心，以BC為半徑畫弧交AQ于點片，以點片為圓心，以任意長為半徑面弧交AQ于

點G，R,分別以點G，R為圓心，以大于《GA為半徑畫弧，交于點耳，連接片片并延長交AP于點M，

□46是直徑，

匚Z4c8=90。，即8C_LAP,

根據(jù)作圖可得SG=4A，cm

CMR.±AQ,即乙34由=90。，M片是點M到4。的距離,

□BC=BB、,

CM=B,M,

點”即為所求點的位置;

（3）解：如圖所示，

根據(jù)作圖可得，NCOQ=2NC4Q，MC=MW=\2,MWJ.AQ,連接4C,

WM3

在RhAMW中，siny4=--=7,

AM5

5WM5x12

AM==20,

~T~

□AC=AM—CM=20-12=8,

口/W是直徑,

Z4CB=90°,

□smA*」

AB5

設BC=3x,則A8=5x,

在ABC中，（5x）2=（3x）：+8?,

解得，x=2（負值舍去）,

□BC=3x=6,

在R^8CM中，BM=VCM2+BC2=V122+62=65/5.

【點睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于己知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識的綜合，

掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵.

28.（2024?河南?中考真題）如圖1,塑像A3在底座BC上，點O是人眼所在的位置.當點8高于人的水平

視線。E時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)：當經(jīng)過人

8兩點的圓與水平視線Z）E相切時（如圖2）,在切點尸處感覺看到的塑像最大，止匕時/APB為最大視角.

A

A

C

圖1圖2

⑴請僅就圖2的情形證明/APB>/ADB.

(2)經(jīng)測量，最大視角/AP8為30。，在點尸處看塑像頂部點4的仰角4PE為60。，點P到塑像的水平距離

PH為6m.求塑像A8的高(結果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：x/3?L73).

【答案】(1)見解析

(2)塑像A8的高約為6.9m

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形的應用等知識，解題的關鍵是：

(1)連接8M,根據(jù)圓周角定理得出=根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出4MB>NA。/?,然后

等量代換即可得證；

(2)在RSAHP中，利用正切的定義求出入"，在中，利用正切的定義求出即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接8M.

則"MB=NAPB.

□ZAMB>ZADB，

ZAPB>ZADB.

(2)解：在中，ZAP//=60°,PH=6.

AH

tanZAPH=-

PHf

□;4H=PHtan60o=6xV3=6x/3.

□ZAPB=30°,

Z13PH=ZAPHZAP"=60。30°=30°.

在RtZXBHP中，tanZ/?PA7=—,

BH=PHtan30°=6x—=273.

3

□A8=A4-8H==4鳳4x1.73p6.9(m).

答：塑像A3的高約為6.9m.

29.(2024?江西?中考真題)如圖，是半圓O的直徑，點。是弦4c延長線上一點，連接8D,BC,

NO=48C=600.

AOB

⑴求證：B。是半圓。的切線；

(2)當BC=3時，求AC的長.

【答案】(1)見解析

(2)24

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式;，熟知相關性質(zhì)和計

算公式是解題的關鍵.

(1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角結合己知條件，可得NC48=30。，即可得乙430=90。，進而可證得結

論；

(2)連接OC,證明△OBC為等邊三角形，求得N4OCT20。，利用弧長公式即可解答.

【詳解】(1)證明：48是半圓。的直徑，

ZACH=90°f

?.?/D=ZA8C=60°,

ZCAB=900-ZABC=30°,

/ABD=180°-ZC4B-NO=90°,

二.BO是半圓。的切線；

(2)解：如圖，連接。C,

OC=O8,NC3A=60。，

.??△0C8為等邊三角形，

/.ZCO^=60°,OC=CB=3,

/.ZAOC=1800-ZCOI3=120°,

I.=—x27rx3=27r.

2360

30.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在△48。中，AB=BD,0。為△A3。的外接圓，跖為0。的切線,

AC為O。的直徑，連接QC并延長交BE于點與

(1)求證：DE1BE

(2)若A8=5?,BE=5,求的半彳仝.

【答案】（1）見解析

（2）375

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：

（1）連接8。并延長，交4。于點〃，連接。。，易證80垂直平分40,圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出

四邊形8/7DE為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知。"=8石=5,勾股定理求出的長，設。。的半徑為廣，在中，利用勾股定

理進行求解即可.

【詳解】（1）證明：連接8。并延長，交人。于點〃，連接0。，

AB=BD,OA=OD,

□80垂直平分人力,

□BHJ.AD,AH=DH,

UE石為。。的切線，

匚AC為。。的直徑，

□44。。=90。，

□四邊形3"。七為矩形，

DDE!BE；

（2）由（1）知四邊形股〃龍為矩形，BHJ.AD,AH=DH,

□AH=DH=RE=5,

□BH=JAB2-AH2=575，

設。。的半徑為小則：OA=OB=r,OH=BH-OB=5亞-r,

在RtZ\AO〃中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（5V5-r）\

解得：r=3-75:

即：0。的半徑為36.

31.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在中,AC=BC,ZACB=90°,。0經(jīng)過/、3兩點，交A8

于點。，CO的延長線交AB于點居DE〃CF交BC于點E.

⑴求證：。后為0。的切線：

（2）若AC=4,tanZCF￡）=2,求的半徑.

【答案】（1）證明見解析；

⑵仁巫.

3

【分析】（1）連接O。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NCOD=2NC4B=90。，再根據(jù)可得

ZEDO=180。一NCO力=90°,問題得證；

（2）過點C作C〃_L4B于點兒根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有CH=AH=2及，結合lan/C尸。=2,可

W777=2,即尸”=拒，利用勾股定理可得CF=所.在Rt△尸。。中，根據(jù)tan/CFQ=W；=2,設半徑

rH（Jr

為廣，即有扁二=2,問題得解.

【詳解】（1）證明：連接OO.

AC=BC,Z4CB=90°,

□△4CB為等腰直角三角形，

□NC48=45。，

DZCOD=2ZCAB=9O0,

□DE/ICF,

□ZCOZ)+ZEr>O=180o,

ZEDO=180°-ZCOD=90°,

匚OE為。。的切線.

(2)過點。作C”_LA3于點H,

□△ACB為等腰直角三角形，AC=4,

口A8=4后，

□CH=AH=2y/i，

匚tantCFD=2,

心=2,

FH

FH=>/2,

^CF2=CH2+FH2,

□CF=VIO.

在RtZ^FO。中，tanZ.CFD==2,

OF

設半徑為□舟=2,

八迎

3

c

H/D

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正切，勾股定理等知識以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，問

題難度不大，正確作出合理的輔助線，是解答本題的關鍵.

32.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在△ABC中，以八8為直徑的。。交BC于點DOEAC,垂

足為E.OO的兩條弦尸B.H）相交于點F/DAE=/BFD.

（1）求證；?！笆恰?。的切線;

（2）若/。=30。,。。=26，求扇形08。的面積.

【答案】（1）見解析

嶗

【分析】（1）連接OQ,利用等邊對等角，圓周角定理等可得出NODA=NZM￡,由垂直的定義得出

4OE+ND4E=90。，等量代換得出NAQE+NOD4=90。，IODIDE,然后根據(jù)切線的判定即可得證;

⑵先利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出=同時求出N￡DC=60。，進而求出/8。。=30。，利

用等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等可求出乙40。=60。，NBOD=120。,證明△AOQ是等邊三角形，得出

AD=OD,NQD4=60。，進而求出/4。石=30。，在RlZXAO石中，利用余弦定義可求出4。=2,最后利用

扇形面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接0。，

口0。=。人，

□ZODA=/LOAD,

又乙DAB=卜D，4DAE=N3FD，

□NOQA=NZME,

DDEJ.AC,

QZADE+ZDAE=90°,

□Z4DE+ZOm=9()0,即OO/OE,

又。。是。。的半徑；

□0石是。。的切線；

(2)解：匚NC=3()。，8=26，DEJ.AC,

DE=-CD=>5,NCDE=60°,

2

又OD，DE,

匚NBDO=180°-NODE-NCDE=30°,

□OB=OD,

□NOBD=NODB=3U。,

口400=60。，NBOD=120。

又。。=QA,

□△AOD是等邊三角形，

匚AD=OD,NODA=60°,

□ZADE=30°,

在RlZXAOE中，AD=―——=6=2,

cosZ.ADEcos30°

匚扇形08。的面積為12。兀2=電.

3603

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三

角形的應用，三角形外角的性質(zhì)，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

X.(2024?江蘇揚州?中考真題)在綜合實踐活動中,“特殊到一般”是一種常用方法,我們可以先研究特殊

情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論.

如圖，己知△ABC,CA=CB,CO是d8C的外接圓，點。在。。上(AO>80),連接A。、BD、CD.

圖1圖2備用圖1備用圖2

【特殊化感知】

⑴如圖I,若ZACB=60。，點。在49延長線上，則AO-8D與CD的數(shù)量關系為；

【一般化探究】

(2)如圖2,若NAC8=60。，點C、。在同側(cè)，判斷八。-8。與CO的數(shù)量關系并說明理由：

【拓展性延伸】

(3)若4C8=a,直接寫出A。、BD.C。滿足的數(shù)量關系.(用含a的式子表示)

【答案】⑴AO-B/)=C￡)；(2)=⑶當。在BC上時，2cos嗚=4。-8。；當。在.

a

上時，2COsm—=A/J+8。

2

【分析】(1)根據(jù)題意得出AABC是等邊三角形，則NC43=6(P,進而由四邊形ACO8是圓內(nèi)接四邊形，

設AD.BC交于點E,則3E=CE,設8/)=1,則CO=4Q=1,分別求得AO,8。，即可求解；

(2)在AO上截取。尸=80,證明zM網(wǎng)經(jīng)ACOWAAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得出結論；

(3)分兩種情況討論，匚當。在6。上時，在A。上截取=證明MBEs*BD,

得出半產(chǎn)=/，作b/AB于點/，得出AB=2BC.sing,進而即可得出結論；□當Z)在A8上時,

CDDC/

a

延長B。至G,使得QG=D4,連接AG,證明△("6sSAG,qD^ABAG,同1可得

即可求解.

【詳解】解：匚C4=C8,ZACB=60°,

□△A8C是等邊三角形，則NC44=60。

廠。。是“WC的外接圓.

□4。是/B4C的角平分線，則z7M8=30。

匚四邊形ACO8是圓內(nèi)接四邊形，

□ZCDB=I2O°

匚N