21.1一元二次方程

【考點歸納】

【知識歸納】

知識點——元二次方程的定義

（1）等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元

二次方程.

（2）注意以下3點：

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③等號兩邊都是整式.

知識點二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=Q（a#0）.

其中，a/是二次項，。是二次項系數(shù)；故是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

知識點三一元二次方程的解

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定

義是解方程過程中驗根的依據(jù).將此數(shù)代入這個一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個方

程的根；若不相等，就不是這個方程的根.

【題型探究】

題型一：一元二次方程的判斷

【例1】.（24-25九年級上?廣東潮州）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.（x+3）（x-2）=xB.-+x=1

X

C.ax2+/?x+c=OD.x3+x2+1=0

【跟蹤訓練1】.（24-25九年級上?遼寧鞍山?階段練習）下列方程中，關(guān)于大的一元二次方程是（）

A.3（x+1）2=2（x+1）B.—；-----3=0

X人

c.cue2+bx+c=（）D.X2+2x=x2+\

【跟蹤訓練2】.（25-26九年級上?全國?課后作業(yè)）給出下列方程：①2.，+5=0;②加+版+c=0;③

2

儂叫八版+。=（）；（4）（X-2）（X+3）=X-1;⑤3（f+y）=3y+5x_2；⑥#-2=0.其中是一元二次方程的有

（）

A.1個B.2個C.4個D.5個

題型二：一元二次方程的定義求參數(shù)問題

【例2】.（25-26九年級上?廣東廣州?開學考試）若關(guān)于x的方程（，〃-2）/-2工-3=0是一元二次方程，則（）

A.tn=2B.m=-2C.m=±2D.m￥±2

【跟蹤訓練1】.（2025?黑龍江佳木斯?二模）若關(guān)于工的方程（攵-2*+3.-1=0是一元二次方程，則k的取值范圍

是（）

A.B.攵工2C.k>2D.攵>0

【跟蹤訓練2】.（24-25九年級上?湖南益陽?階段練習）關(guān)于x的方程（6+2）/+4x7=0是一元二次方程，則〃?

)

A.2或一2B.2C.-2D.0

題型三：一元二次方程一般形式

【例3】.（2425九年級上全國隨堂練習）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、

一次項系數(shù)和常數(shù)項.

⑴3/=5X-1.

(2)(x-3)2=x+3.

⑶(2x-l)(x+5)=6x.

【跟蹤訓練1】.（25-26九年級上?全國?課后作業(yè)）將下列方程化為二次項系數(shù)是“1”的一股形式后，一次項系數(shù)和常

數(shù)項都是正整數(shù)的是（）

2（）（）（）22

A.3x+2x+6=0B.x+2x-3=5C.ix+4=6D.-x-4=0

【跟蹤訓練2】.（24-25九年級上?全國?隨堂練習）已知關(guān)于x的方程ad-x=2/—分一3.

⑴若此方程是一元二次方程，將方程化為一般形式，并寫出它的二次項、一次項、常數(shù)項及二次項系數(shù)和一次項系

數(shù).

⑵若此方程是一元一次方程，求出〃的值.

題型四：一元二次方程的解

【例4】.（25-26九年級上?陜西延安?階段練習）若工=-1是關(guān)于x的方程/_皿=0的一個根，則〃，的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【跟蹤訓練1】.（25-26九年級上?重慶?開學考試）若關(guān)于x的一元二次方程V+—3=0的一個根是x=1,則，〃的

值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【跟蹤訓練2】.（2025?山東煙臺?一模）若1=2025是關(guān)于%的方程?+加+|=。的一個根，則關(guān)于x的方程

a（x+21+/*+幼=-1必有一個根為（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

題型五：由一元二次方程的解求代數(shù)值

[例5].（25-26九年級上?吉林長春?開學考試）若利是方程2——33-1=（）的一個根，則6〉一9〃升2025的值為（）

A.2026B.2027C.2028D.2029

【跟蹤訓練1】.（25-26九年級上?河南駐馬店?開學考試）已知一元二次方程2/一%一3=0的一個根為〃?，則

4"/一2m+3的值為（）

A.3B.6C.9D.12

【跟蹤訓練2】.（24-25九年級上?云南昭通?期末）年知「是一元二次方程己-x+3=0的一個根,則2019-"+m的

值為（）

A.2023B.2022C.2020D.2019

題型六：一元二次方程的綜合問題

【例6】.（25-26九年級上?全國）已知關(guān)于x的方程（冏-5*+92-64+5卜-2=0.

⑴當*=時，此方程為一元一次方程，此方程的根為.

⑵當&為何值時，此方程為一元二次方程？請寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

【跟蹤訓練1】.(24-25九年級上?遼寧丹東?期末)“新定義〃問題就是給出?個從未接觸過的新規(guī)定，要求同學們現(xiàn)

學現(xiàn)用，更多考查閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力.定義：方程以工+m+^二。是一元二次方程法+。=0的

倒方程，其中。力,c為常數(shù)(且acwO).根據(jù)此定義解決下列問題：

⑴一元二次方程-4/+3入.+1=0的倒方程是；

(2)若x=T是一元二次方程/-2x+c=O的倒方程的解，求出。的值；

2

(3)若加是一元二次方程Yx+工+1=0的倒方程的一個實數(shù)根，則加_6W+2()25的值為.

【跟蹤訓練2】.(24-25九年級上?山西長治?階段練習)閱讀與思考

閱讀下列材料，然后完成相應任務.

方程/一以-1=0兩邊同時除以Mx"%得1-4」=0,即x」=4.

Xx

因為2,

IX)x2

1/1A2

所以V+r=x一一+2=18.

x\X)

任務：

⑴已知方程f一3工一1=0，則.

X

(2)若機是方程3W-7X+3=0的根，求加+-4的值.

nr

【高分演練】

一、單選題

1.(25-26九年級上?江蘇無錫?期中)一元二次方程x2-2x-l=O的一次項系數(shù)是()

A.1B.-2C.-1D.2

2.（25-26九年級上?陜西延安?階段練習）將方程2/-l=3x化為二次項系數(shù)為2的一般形式后，方程中的一次項的

系數(shù)是（）

A.-3B.-1C.1D.2

2

3.（2425九年級上?廣東潮州?階段練習）已知3是方程?|/+如一］2=。的一個根，則。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（25-26九年級上?甘肅臨夏?階段練習）已知尤=。是方程/-3x-5=O的根，則代數(shù)式4+/一3〃的值為（）.

A.6B.9C.14D.-6

5.（25-26九年級上.?全國?課后作'也）若方程加+法+。=017工0）中，0,b,c滿足a-Z?+c=O和16a+4Z;+c=0,

則方程的根是（）

A.0,4B.0,-4C.-1,4D.1,4

6.（24-25八年級下?云南昆明?期末）下列方程中，是一元二次方程的有（）

①江+6+。=0;@-v2--=0；③肛一/=2；（4）（X+1）（X-2）=X2-7；⑤/+9=（）；⑥。一2）（X+3）=0.

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（24-25八年級下?安徽池州?期末）若關(guān)于人的一元二次方程爾+飯+2=0（。工0）有一解為x=2024,則一元二

次方程a（x-2『+〃x=a-2必有一解為（）

A.x=2026B.x=2025C.x=2024D.x=2022

8.（25-26九年級上?全國?課后作業(yè)）若關(guān)于x的方程aP+Zzr+cuOQwO）滿足4a+2Z?+c=0和9a-3b+c=0,則該

方程的兩個根分別為（）

A.2,3B.2,—3C.—2,3D.—2,—3

二、填空題

9.（25-26九年級上?北京西城?階段練習）若關(guān)于k的一元二次方程（〃-1）/+。、-。=0有一個根是x=l,則。的值

為.

10.（25-26九年級上?陜西延安?階段練習）己知一、3x-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則實數(shù)欠的值為.

11.（24-25九年級上?廣東潮州?階段練習）若關(guān)于x的一元二次方程*+級+6=0的一個根為x=-2,則代數(shù)式

4〃-2/?+2的值為.

12.（25-26九年級上,江蘇揚州?階段練習）已知〃?是一元二次方程/一4工+4=0的一個根，則24+〃14〃?的值為

13.（25-26九年級上?河北石家莊?開學考試）已知x=l是關(guān)于％的方程V+2QX+/=3的一個根，則代數(shù)式

a（a-\]+a2+5a的值為.

三、解答題

14.（24-25九年級上?北京海淀?期中）若〃是關(guān)于x的一元二次方程W-3x-10=0的根，求代數(shù)式。（。-3）+5的值.

15.（24-25九年級上湖南永州?期中）已知關(guān)于工的方程++

⑴，〃為何值時，此方程是一元一次方程？

⑵切為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數(shù)及常數(shù)項.

16.（24-25九年級上?貴州畢節(jié)?期末）如果一元二次方程0^+云+c=0（a/0）滿足。-b+c=0,那么我們稱這個方

程為“鳳凰方程

⑴判斷一元二次方程3Y+4x+l=0是否為“鳳凰方程"，并說明理由；

（2）若關(guān)于x的方程/+〃a一5=o是“鳳凰方程〃，求用的值.

17.（24-25九年級上?河南南陽?期中）已知〃?是一元二次方程V-3工+1=0的根，求下列各代數(shù)式的值:

（l）（w-4）（m+l）

（2"+4

nr

21.1一元二次方程

【考點歸納】

【知識歸納】

知識點——元二次方程的定義

（1）等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元

二次方程.

（2）注意以下3點:

①只含有一個未知數(shù)：②未知數(shù)的最高次數(shù)是2：③等號兩邊都是整式.

知識點二一元二次方程的一般形式

一元一次方程的一般形式是ax2+bx+c=O（awO）.

其中，ax?是二次項，。是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

知識點三一元二次方程的解

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定

義是解方程過程中驗根的依據(jù).將此數(shù)代入這個一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個方

程的根；若不相等，就不是這個方程的根.

【題型探究】

題型一：一元二次方程的判斷

【例1】.（24-25九年級上?廣東潮州）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.（x+3）（x-2）=xB.-+X=1

C.ax1+Zzx+c=OD.x3+x2+1=0

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)

的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.據(jù)此進行分析即可.

【詳解】解：A.該方程是一元二次方程，故此選項符合題意；

B.該方程不是整式方程，則該方程不是一元二次方程，故此選項不符合題意；

C.若。工0,則以2+歷;+c=0是一元二次方程；若4=0,則加+及+c=（）不是一元二次方程，故此選項不符合題

意；

D.該方程未知數(shù)最高次數(shù)是3,則該方程不是一元二次方程，故此選項不符合題意.

故選：A.

【跟蹤訓練（24-2S九年級上?遼寧鞍山?階段練習）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）

A.3（x+1）2=2（x+l）B.-------3=0

X<x

C.ax2++c=0D.x2+2x=x2+1

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)

的最高次數(shù)是2的整式方程.

依次分析每個選項是否符合一元二次方程的定義.

【詳解】解：A、方程3（X+1）2=2（X+1）,展開可得3（/+24+1）=2%+2,B|J3x2+6x+3=2x+2,整理為

3/+4K+1=0.它只含有一個未知數(shù)”,且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,是整式方程，所以是一元二次方程；

B、方程，-3=0,分母中含有未知數(shù)孫是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；

x~x

C、方程辦2+法+c=0,當。=0時，方程變?yōu)樵?c=0,此時未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不是一元二次方程，所以

該方程不一定是一元二次方程；

D、方程爐+21=/+],整理可得2x-1=0,未知數(shù)的最高次數(shù)是1,是一元一次方程，不是一元二次方程.

故選：A.

【跟蹤訓練2】.（25-26九年級上?全國?課后作業(yè)）給出下列方程：①2寸+5=0;②/+bx+c=0;③

S-l）f”x+c=0；（4）（.r-2）（x+3）=x2-l；03（x2+y）=3y+5x-2；⑥3dq=（）.其中是一元二次方程的有

X

A.1個B.2個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義解答,一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為

0：（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù).由這四個條件對六個方程進行驗證.

【詳解】解：①滿足條件：僅含未知數(shù)x,最高次數(shù)為2,且為整式方程，是一元二次方程.

②未明確。工0,若。=0則最高次數(shù)變?yōu)橐淮?，不符合條件.

③若"T=0（即a=±l）,則二次項系數(shù)為0,未知數(shù)最高次變?yōu)橐淮?，無法確定.

22

④（x-2）（x+3）=f一］展開化簡得：x+x-6=x-1=>x-5=0.

方程整理后,未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程.

⑤3任+“=3），+5%-2展開化簡得：3/-54+2=0.

方程整理后符合一元二次方程的定義，是一元二次方程.

⑥含分式工不是整式方程.

X

綜上，僅①⑤符合條件，

故選：B.

題型二：一元二次方程的定義求參數(shù)問題

【例2】.（25-26九年級上?廣東廣州?開學考試）若關(guān)于x的方程（〃2-2），"-2犬-3=0是一元二次方程，則（）

A.m-2B.m--2C.m=±2D.±2

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的一般形式ar?+取+c=0（a,b,c是常數(shù)且〃工0）

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義列出關(guān)于m的等式求解即可.

【詳解】解：團關(guān)于x的方程（〃2-2）/-2工-3=0是一元二次方程，

團|"“=2且〃?一2/0,

/.in=-2.

故答案為：B.

【跟蹤訓練1】.（2025?黑龍江佳木斯?二模）若關(guān)于％的方程億-2"+3x-1=0是一元二次方程，則k的取值范圍

是（）

A.AwOB.C.^>2D.k>0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，形如以?+以+c=0（〃工0）的方程是一元二次方程，據(jù)此解答即可求解,

掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團關(guān)于x的方程（2-2）/+3工-1二0是一元二次方程，

同攵一2芋0,

團A±2,

故選；B.

【跟蹤訓練2】.（24-25九年級上?湖南益陽?階段練習）關(guān)于x的方程（m+2）/+4x7=0是一元二次方程，則〃?=

（）

A.2或-2B,2C.-2D.0

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的定義，要注意系數(shù)不為0,這是比較容易漏掉的條件.

根據(jù)一元二次方程的定義可知，最高次數(shù)為2且二次項的系數(shù)不為0,即帆=2,且利+2工0,解出機的值即可.

【詳解】解：由題意可知：同=2,且〃葉2工0,

所以/〃=±2且〃?H—2.所以〃?=2.

故選：B.

題型三：一元二次方程一般形式

【例3】.（24-25九年級上?全國?隨堂練習）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、

一次項系數(shù)和常數(shù)項.

⑴3/=5x7.

（2）（x-3）2=x+3.

⑶（2x-l）（x+5）=6x.

【答案】（1）3/一5x+l=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-5,常數(shù)項為1

⑵f-7x+6=0,二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為-7,常數(shù)項為6

（3）2f+3x-5=0,二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為3,常數(shù)項為-5

【分析】此題考查一元二次方程的一股形式，先將一元二次方程化為一般形式，根據(jù)各項確定答案：

（1）先將一元二次方程化為一般形式，即可確定各項；

（2）先將一元二次方程化為一般形式，即可確定各項；

（3）先將一元二次方程化為一般形式,即可確定各項:

【詳解】(1)解：整理，得3/—5x+l=0,

故一次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-5,常數(shù)項為：1.

(2)整理，得/一71+6=0，

故二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為-7,常數(shù)項為6.

(3)整理，得2/+3%-5=0，

故二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為3,常數(shù)項為-5.

【跟蹤訓練1】.(25-26九年級上?全國?課后作業(yè))將下列方程化為二次項系數(shù)是“1〃的一般形式后，一次項系數(shù)和常

數(shù)項都是正整數(shù)的是()

A.3X2+2X+6=0B.(x+2)(x-3)=5C.^(x+4)2=6D,-x2-4=0

【答案】C

7

【詳解】方程3f+2x+6=0可化為V+；x+2=0,故人選項不符合題意；

方程(x+2)(x—3)=5可化為x2—x—”=0,故B選項不符合題意；

方程孑工+4)2=6可化為f+8x+4=0,故C選項符合題意；

方程-9_4=0可化為丁+4=0,故D選項不符合題意.

故答案選C

【跟蹤訓練2】.(24-25九年級上?全國?隨堂練習)已知關(guān)于x的方程or?—工=2/一如一3.

⑴若此方程是一元二次方程，將方程叱為一般形式，并寫出它的二次項、一次項、常數(shù)項及二次項系數(shù)和一次項系

數(shù).

(2)若此方程是?一元一次方程，求出〃的值.

【答案】(1)3-2*+3一1)%+3=0,方程的二次項為3-2優(yōu)，一次項為(a-Dx,常數(shù)項為3,二次項系數(shù)為〃-2,

一次項系數(shù)為

(2)2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定義.

(1)首先將該方程進行化簡，整理成一元二次方程的一般形式，即OY?十以十c_0,且4工0的形式，然后根據(jù)二次

項系數(shù)，一次項系數(shù)以及常數(shù)項的定義即可解答本題；

(2)根據(jù)一元一次方程的定義求解即可.

【詳解】(1)解:ar2-x=2x2-av-3

移項、合并同類項,得(。-2)工2+(a—i)x+3=0,

同方程的二次項為(。-2)/，一次項為(a-l)x,常數(shù)項為3,二次項系數(shù)為。-2,一次項系數(shù)為。-1：

(2)解：若方程是一元一次方程，則a-2=0,

解得a=2.

題型四：一元二次方程的解

【例4】.（25-26九年級上?陜西延安?階段練習）若工=-1是關(guān)于x的方程f一皿=0的一個根，則用的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】此題考查了一元二次方程的解，將x=-l代入方程，再解方程即可，解題的關(guān)鍵是正確理方程的解的概念

及應用.

【詳解】解：把工=一1代入方程Y-〃a=0得，

1+〃7=0,解得：in=-\,

故選：B.

【跟蹤訓練1】.（25-26九年級上?重慶?開學考試）若關(guān)于x的一元二次方程V+加丫―3=0的一個根是x=l,則機的

值為（）

A.1B.-1C.2D,-2

【答案】C

【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程的解求參數(shù)：熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵，把x=l代入一元二次

方程得到1+m-3=0,然后解關(guān)于/〃的一次方程即可.

【詳解】解：把x=l代入方程V+〃認一3=（）得1+/〃-3=0,

解得：m=2.

故選：C.

【跟蹤訓練2】.（2025?山東煙臺?一模）若x=2025是關(guān)于x的方程ad+法+1=0的一個根，則關(guān)于x的方程

a（x+2）~+〃x+2Z?=-1必有一個根為（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的解，由關(guān)于x的一元二次方程ad+/）x+l=0有一個根為2025,可得出關(guān)于（匯+2）

的一元二次方程a（x+2『+及+2〃=-1有一個根為2025,解之可得出x的值，此題得解.

【詳解】解：團關(guān)于x的一元二次方程ad+版+1=。有一個根為2025,

團關(guān)于（x+2）的一元二次方程〃"+2『+火工+2）+1=（）即々（工+2）2+取+26=—1有一個根為2025,

BPx+2=2025,

解得：x=2023,

故選：A.

題型五：由一元二次方程的解求代數(shù)值

【例5】.（25-26九年級上?吉林長春?開學考試）若加是方程2/_3x-1=0的一個根，則6〉一9〃升2025的值為（）

A.2026B.2027C.2028D.2029

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握方程的根能使方程左右兩邊相等是解題的關(guān)鍵.利用

方程的根的定義，將根代入方程得到關(guān)于“的等式，再對所求式子進行變形，代入計算.

【詳解】解：卻〃是方程一3工一1=0的一個根，

團2nr-3/?-1=0,E1|J2m2-3m=1.

06/7r-9^4-2025

=3（2〃，-3〃?）+2025

=3x1+2025

=3+2025

=2028

故選：C.

【跟蹤訓練1】.（25-26九年級上?河南駐馬店?開學考試）己知一元二次方程2/一工一3=（）的一個根為，“，則

—2/〃+3的值為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】本題考杳了一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值，由已知可得2〃/-/〃=3,再整體代入代數(shù)式計算即可

求解，掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團一元二次方程2f-x-3=0的一個根為加，

02m2一m一3=0,

1'P2nr-m=3>

團4〃/-2〃?+3=2（2"/-〃?）+3=2x3+3=9,

故選：C.

【跟蹤訓練2】.（24-25九年級上?云南昭通?期末）已知m是一元二次方程爐一.+3=0的一個根,則2019-加+加的

值為（）

A.2023B.2022C.2020D.2019

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.把

?"〃?代入方程Y7+3=0得〃"m=-3,再把2019變形為2019-(>-〃?)，然后利用整體代入的方法計

算.

【詳解】解：把一代入方程/一%+3=0得病-旭=-3,

所以m'-m=-3，

所以2019-/+m=2019-2-6)=2019-(-3)=2019+3=2022.

故選；B.

題型六：一元二次方程的綜合問題

【例6】.(25-26九年級上?全國)已知關(guān)于x的方程(悶-5*+伊―6八5卜-2=0.

⑴當攵=時，此方程為一元一次方程，此方程的根為.

(2)當攵為何值時，此方程為?元二次方程？請寫出這個?元二次方程的二次項系數(shù)、?次項系數(shù)和常數(shù)項.

【答案】⑴-5,x=5

JU

⑵當Aw±5時，此方程為一元二次方程；

二次項系數(shù)是IM-5,一次項系數(shù)是3-6攵+5,常數(shù)項是-2.

【分析】本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定義，掌握一元一次方程和一元二次方程的定義和一般形

式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可得[F!一八進而得到〃的值，再將火的值代入求得此一元一次方程的根：

上一6欠+5工0,

(2)根據(jù)題意可得網(wǎng)-5工0,進而得到滿足條件的攵的值，從而可以寫出此一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項

系數(shù)和常數(shù)項.

【詳解】(1)解：???(同-5*+(&2-64+5卜一2=。是一元一次方程，

，小卜5=0，

,k2-6^+5*0,

解得A=-5,

■(-5)2-6X(-5)+5]X-2=0,解得%=表,

故答案為：-5,

(2)解：(同-5)/+(公-6%+5)》-2=0是一元二次方程，

5^0,解得女工±5,

故答案為：當攵工±5時，此方程是一元二次方程；

它的二次項系數(shù)是網(wǎng)-5,一次項系數(shù)是F-6k+5,常數(shù)項是-2.

【跟蹤訓練1】.（24-25九年級上?遼寧丹東?期末）“新定義〃問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求同學們現(xiàn)

學現(xiàn)用，更多考查閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力.定義：方程cV+/"+a=0是一元二次方程ad+法+c=0的

倒方程，其中。，Ac為常數(shù)（且。,。工0）.根據(jù)此定義解決下列問題：

⑴一元二次方程-4人2+3人十1=0的倒方程是;

⑵若x=T是一元二次方程f-2x+c=0的倒方程的解，求出。的值；

（3）若加是一元二次方程-6/+x+l=0的倒方程的一個實數(shù)根，則>_.+2025的值為.

【答案】⑴f+3x-4=0

⑵。=-3

（3）2025

【分析】此題考查了新定義一一倒方程.熟練掌握倒方程的定義，一元二次方程根的概念，是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)新定義的含義可得答案；

（2）根據(jù)題意得到方程V-2x+c=0的倒方程為c/-2x+l=0,把x=-l代入即可得到c的值；

（3）根據(jù)題意得到方程W+x+JO的倒方程為f+x-6=（）,再結(jié)合方程根的性質(zhì)進一步解答即可.

【詳解】（1）解：方程-^+33+1=0的倒方程是；f+3x-4=0；

故答案為：x2+3x-4=0:

（2）解：由題意得：方程/一21十°=0的倒方程為c?—2x+l=0，

把x=-l代入方程，

得c+2+l=0,

0c=-3

（3）解：由題意得：方程Y./+x+l=O的侄【I方程為丁+工-6=0,

團〃?是方程W+x-6=0的一個實數(shù)根，

團m2+/ii-6=0>

0in14-nr-6tn+2025=（nr+〃？一6）+2025=0+2025=2025.

故答案為：2025.

【跟蹤訓練2】.（24-25九年級上?山西長治?階段練習）閱讀與思考

閱讀下列材料，然后完成相應任務.

方程f—4x—1=0兩邊同時除以M'H0)，得x—4—』=0,即上二=4.

XX

因為(人一![=丁+1一2,

IX)x

所以丁+1+2=18.

廠IX)

任務：

⑴已知方程/一3%一1=0,則x-'=.

x

⑵若加是方程3--7x+3=0的根，求〃『+」的值.

nr

【答案】(1)3

⑵衛(wèi)

9

【分析】本題考查了一元二次方程的解，分式的求值：

(1)仿照題意求解即可；

(2)根據(jù)?元二次方程解的定義得3/一7,〃+3=0,進而得到/〃+L=:，再兩邊平方求解即可.

【詳解】(1)解：X2-3X-\=O,

兩邊同時除以x(xwO),得

0X--=3,

X

故答案為：3；

(2)解：團〃?是方程3f-7x+3=0的根,

03/722-7/W+3=0>

兩邊同時除以3m(加工0)得

71八

m——+-=0.

3m

17

團〃?+-=一,

一c149

團〃廣+2+—=—

w9

【高分演練】

一、單選題

1.（25-26九年級上?江蘇無錫?期中）一元二次方程x2-2x-l=0的一次項系數(shù)是（）

A.1B.-2C.-1D.2

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程一般形式.

根據(jù)一元二次方程一般形式的定義，即可求解.

【詳解】解：一元二次方程――2x-l=。的一次項系數(shù)是-2.

故選：B

2.（25-26九年級上?陜西延安?階段練習）將方程2/_i=3x化為一次項系數(shù)為2的一般形式后，方程中的一次項的

系數(shù)是（）

A.-3B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】先把方程2必7=3"化成一般形式是2F-3%-1=0,然后根據(jù)相關(guān)定義即可求解.

本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程的一般形式是：公?+以+c=（）（。，b,c

是常數(shù)且。工0）特別要注意。工0的條件，其中aF叫二次項，云叫一次項，c是常數(shù)項，其b,c分別叫二

次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.

【詳解】解：團方程2XJ1=3X化成一般形式是

吁一次項系數(shù)為-3,

故選：A.

3.（24-25九年級上?廣東潮州?階段練習）己知3是方程*/+仆_12=0的一個根，則”的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查一元二次方程的解，把x=3代入方程計算即可.

【詳解】解：的是方程+辦一|2=0的一個根，

2

團一x32+3a-12=0,

3

047=2.

故選:B.

4.（25-26九年級上?甘肅臨夏?階段練習）已知'=〃是方程3x-5=0的根，則代數(shù)式4+合一3。的值為（）.

A.6B.9C.14D.-6

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，解題時，注意“整體代入〃數(shù)學思想的應用.

把x=。代入已知方程，求得/-3〃=5,然后將其整體代入所求的代數(shù)式求值.

【詳解】解：因為x=〃是方程工2一3/-5=（）的根，

所以〃一九一5=0,即/-3々=5,

所以4+/-30=4+5=9.

故選：B.

5.（25-26九年級上?全國?課后作業(yè)）若方程々12+法+。=0（。H0）中，a,b,c滿足a-b+c=0和1G/+4匕+c=0,

則方程的根是（）

A.0,4B.0,-4C.-1,4D.1,4

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握一元二次方程的根的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)當x=T時，a-b+c=0；當\=4時，1命+4〃+c=0作答即可.

【詳解】解：回把x=-l代入?+Zzx+c=0得：a-/?+c=0,

閉方程的一個解是x=-l,

（3把x=4代入得：\6a+4b+c=0,

13方程的一個解是x=4.

故選：C.

6.（2425八年級下?云南昆明?期末）下列方程中，是一元二次方程的有（）

①0^+以+。=0：②爐一’=0；③盯一/=2；@（x+l）（x-2）=x2-7；⑤9+9=0：（6）（x-2）（x+3）=0.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答.一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）

二次項系數(shù)不為0;（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù).根據(jù)一元二次方程的定義逐一判斷各方程是否符合條

件即可.

【詳解】①方程,?=（）中.未明確說明〃工0.因此不一定是二次方程.排除.

②方程/-'=0含有分式，不是整式方程，排除.

x

③方程盯-/=2含有兩個未知數(shù)x和），，是二元二次方程，排除.

④方程（x+l）（x—2）=/_7展開后化簡為_工+5=0,是一元一次方程，排除.

⑤方程/+9=0符合一元二次方程的定義，正確.

⑥方程（x—2）（x+3）=0展開后為f+x_6=0,是一元二次方程，正確.

綜上，符合條件的方程有⑤和⑥，共2個.

故選C.

7.（24-25八年級下?安徽池卅期末）若關(guān)于工的一元二次方程0?+區(qū)+2=。（"0）有一解為^=2024,則一元二

次方程〃（匯-2『+云=%-2必有一解為（）

A.x=2026B.x=2025C.x=2024D.x=2022

【答案】A

【分析】本題考查J‘一元一次方程的解.將第一個方程變形,使其與原方程的結(jié)構(gòu)一致,利用已知解代入求解.

【詳解】解：原方程ad+法+2=0有一解x=2024,代入得"（2024）2+62024+2=0.

將第二個方程〃（犬一2）2+左=2〃-2整理為：a（x-2）2+bx-2b+2=0,

a（x-2）~+Z?（x-2）+2=0,

令），=尸2,則方程變?yōu)閍y、b,+2=0,

與原方程形式相同，則解相同.

則y=2024,即工一2二2024,解得x=2026.

因此，第二個方程必有一?解為x=2026,

故選：A.

8.（25-26九年級上?全國?課后作業(yè)）若關(guān)于x的方程依2+縱+c=（）QwO）滿足4a+2/?+c=0和9a-38+c=0,則該

方程的兩個根分別為（）

A.2,3B.2,-3C.—2,3D.-2,—3

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的解.

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解.

根據(jù)題目條件，將工=2和工=-3代入方程驗證，并結(jié)合方程根的定義求解.

【詳解】已知方程ad+Z?x+c=0滿足4a+2Z?+c=0和9a-3b+c=0.

當x=2時，代入方程得ax22+/"2+c=4〃+2）+c=0,說明x=2是方程的根.

當工=-3時，代入方程得ax（-3『+〃x（-3）+c=9—=0,

說明工=-3是方程的根.

因此，方程的兩個根為2和-3.

故選：3.

二、填空題

9.（25-26九年級上?北京西城?階段練習）若關(guān)于x的一元二次方程0有一個根是工=1,則。的值

為.

【答案】-1

【分析】本題主要考查了利用一元二次方程的根求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根的意義.

將方程的根代入方程求參數(shù)，然后進行驗證即可.

【詳解】解：將x=l代入（〃-1）/+/%一〃=（）得，

a—1+/—4=0.

解得a=l或a=T,

當。=1時，。-1=0,不符合題意，舍去，

=-1?

故答案為：T.

10.（25-26九年級上?陜西延安?階段練習）已知f+4+3x-l=0是關(guān)于X的一元二次方程，則實數(shù)欠的值為.

【答案】-2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元

二次方程，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：0/+4+3]_1=0是關(guān)于x的一元二次方程，

122+4=2,

0Zc=-2,

故答案為：-2.

11.（24-25九年級上?廣東潮州?階段練習）若關(guān)于k的一元二次方程公?+機16=0的一個根為x=-2,則代數(shù)式

4cL2/?+2的值為.

【答案】-4

【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.根據(jù)

一元二次方程的解，把x=-2代入加+云+6=0可得到%-8=-3,然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式4〃-處+2

的值.

【詳解】角不：l巴工二-2彳弋入a/+/?x+6=0得4?—2/7+6=0,貝I］勿一。=一3,

所以4a-才+2=2（勿叫+2=2x（-3）+2=Y.

故答案為：-4.

12.（25-26九年級上?江蘇揚州?階段練習）已知〃?是一元二次方程12一4.1+4=0的一個根,則24+>_4〃?的值為

【答案】20

【分析】本題考查了一元二次方程的解，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意易得：〃?2_4m+4=0,從

而可得〃/一4m=-4,然后代入并進行計算，即可解答.

【詳解】解：機是一元二次方程f—4x+4=0的一個根，

\nf-4m+4=0?

\nr-4m=-4?

24+渥-4m=24+（Y）=20,

故答案為：20.

13.（25-26九年級上?河北石家莊?開學考試）已知x=l