河北衡中同卷2026屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.2．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長(zhǎng)江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過(guò)次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（）A. B.C. D.3．若圓C：上有到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.4．在三棱柱中，，，，則這個(gè)三棱柱的高（）A1 B.C. D.5．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°6．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.847．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.58．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.910．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.411．已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)值為（）A. B.C.1 D.212．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2，該圓柱的表面積為.14．已知數(shù)列滿足，，則_________.15．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則_______.16．已知線段AB的長(zhǎng)度為3，其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M滿足．則點(diǎn)M的軌跡方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且（1）求證：時(shí)，；（2）已知a，b，p，q為正實(shí)數(shù)，滿足，比較與的大小關(guān)系.18．（12分）在二項(xiàng)式展開式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為.（1）求n的值及展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).19．（12分）已知拋物線E：過(guò)點(diǎn)Q(1，2)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過(guò)F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足△PAB的垂心為原點(diǎn)O.（1）求拋物線E的方程；（2）求證：動(dòng)點(diǎn)P在定直線m上，并求的最小值.20．（12分）已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0），且與直線x=-2相切.（1）求圓心M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的斜率k的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限且為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，向量的夾角為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號(hào)x12345678910營(yíng)業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來(lái)擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)年份序號(hào)做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入，以及營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長(zhǎng)及的模長(zhǎng)，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線AB的距離.【詳解】因?yàn)?，，所以設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D2、B【解析】本題首先可根據(jù)題意列出次跳動(dòng)的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的事件，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，次跳動(dòng)的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的事件有：（下，下，右），故到達(dá)點(diǎn)的概率，故選：B.3、C【解析】利用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以．因?yàn)閳AC上有到的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓：有公共點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，解得，故選：C4、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對(duì)值，則答案可求.【詳解】設(shè)平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設(shè)三棱柱的高為h，則,故選：D.5、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D6、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.7、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C8、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A9、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C10、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B11、D【解析】根據(jù)空間向量共線有，，結(jié)合向量的坐標(biāo)即可求的值.【詳解】由題設(shè)，有，，則，可得.故選：D12、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.14、【解析】由已知可知即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求.【詳解】由題意知：，即，而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，有，∴，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式寫出項(xiàng).15、，.【解析】由的遞推關(guān)系，討論、求及，注意驗(yàn)證是否滿足通項(xiàng)，即可寫出的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，而，即也滿足，∴，.故答案為：，.16、【解析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點(diǎn)的軌跡的方程是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值，即可證出；（2）由（1）知：，再變形即可得出小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，∴在上單調(diào)遞減，又因，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，兩邊同乘以a得：，∴，即.18、（1），常數(shù)項(xiàng)為（2）5【解析】（1）求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，求出第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再利用已知條件列方程求出的值，從而可求出常數(shù)項(xiàng)，（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，則，從而可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈?項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為【小問(wèn)2詳解】設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，則，，解得，因?yàn)?，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)19、（1）；（2）證明見解析，的最小值為.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得的坐標(biāo)，由此判斷出動(dòng)點(diǎn)在定直線上.求得的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值.【詳解】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得，所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結(jié)合，解得，所以在定直線上.直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中三角形面積的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)圓心，軌跡兩點(diǎn)的距離公式列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線l的方程和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去x得出關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根的判別式和韋達(dá)定理表示出弦，進(jìn)而列出不等式，解之即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心，由題意知，，整理，得，即圓心M的軌跡C方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題意知，過(guò)點(diǎn)(-1，0)的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)A、B，所以直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線，點(diǎn)，則，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，綜上，或，所以或，即直線l的斜率的取值范圍為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)△恰為等邊三角形由題意知：得到，再利用拋物線的定義求解；（2）聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)的夾角為，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知：，由拋物線的定義知：，由，解得，所以拋物線方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，得，則，，則，，因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范