連續(xù)二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的極值主要內(nèi)容第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值條件極值與拉格朗日乘數(shù)法引例1某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2m3的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?解

設(shè)水箱長、寬分別為x,y(m),則高為xy則水箱所用材料的面積為引例2火箭子級(jí)質(zhì)量的設(shè)計(jì)問題

如何設(shè)計(jì)火箭各個(gè)子級(jí)的質(zhì)量,使衛(wèi)星達(dá)到預(yù)定的速度,但所需的火箭總質(zhì)量最小?

多級(jí)火箭是由數(shù)級(jí)火箭組合而成的運(yùn)載工具.每一級(jí)都裝有發(fā)動(dòng)機(jī)與燃料,目的是為了提高火箭的連續(xù)飛行能力與最終速度.從尾部最初一級(jí)開始,每級(jí)火箭燃料用完后自動(dòng)脫落,同時(shí)下一級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)開始工作,使飛行器繼續(xù)加速前進(jìn).

如何設(shè)計(jì)火箭各個(gè)子級(jí)的質(zhì)量,使衛(wèi)星達(dá)到預(yù)定的速度,但所需的火箭總質(zhì)量最?。考僭O(shè)火箭的子級(jí)質(zhì)量之和為預(yù)定的速度vg

是關(guān)于m1,m2,m3的函數(shù),據(jù)有關(guān)資料可知結(jié)構(gòu)因子載荷質(zhì)量速度因子火箭的子級(jí)質(zhì)量之和為預(yù)定的速度下的最小值.問題的實(shí)質(zhì)：求函數(shù)M(m1,m2,m3)在條件預(yù)定速度vg=

g(m1,m2,m3)

為了實(shí)際應(yīng)該中的方便以下稱待討論極值問題的函數(shù)為目標(biāo)函數(shù).多元函數(shù)的極值問題有兩類：多元函數(shù)的極值的分類

無約束極值—只在目標(biāo)函數(shù)的定義域范圍內(nèi)討論極(最)值問題.

有約束極值—在附加約束條件下,討論目標(biāo)函數(shù)的極值問題.引例1和引例2即分別為無條件和有條件極值問題.一、二元函數(shù)的極值同理我們可定義極小值和極小值點(diǎn);極大值、極小值統(tǒng)稱為極值;極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).1.二元函數(shù)極值定義

(1)(2)例1例2例3函數(shù)z=xy在(0,0)處不取極值.

在1,3象限的函數(shù)值為正;在2,4象限的函數(shù)值為負(fù);而在坐標(biāo)軸上的值為0.ABCD提交練1單選題1分證2.二元函數(shù)取得極值必要條件

仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).定理1表明偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)注：函數(shù)

z=xy在點(diǎn)(0,0)不取得極值,但卻是駐點(diǎn).這說明駐點(diǎn)僅僅是函數(shù)可能的極值點(diǎn),要判斷它是否真為極值點(diǎn),需要另作判定.

可知它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.這說明偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn).問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？3.二元函數(shù)取得極值充分條件例4求函數(shù)f(x,y)=x3–y3+3x2

+3y2－9x的極值.解先解方程組求得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2).

再求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,0)處A=12,B=0,C=6AC

–

B2=12×6>0,且A=12>0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,0)有極小值f(1,0)=–5.在點(diǎn)(1,2)處A=12,B=0,C=–6

AC

–

B2=12×(–6)<0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,2)不取極值;在點(diǎn)(–3,2)處A=–12,B=0,C=–6AC–B2=–12×(–6)>0,A=–12<0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(–3,2)有極大值f(–3,2)=31.在點(diǎn)(–3,0)處A=–12,B=0,C=6

AC

–

B2=–12×6<0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(–3,0)不取極值;例5討論函數(shù)及取得極值？解

顯然(0,0)是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能為正、負(fù)、0,因此z(0,0)不是函數(shù)z=x3+y3的極值.因此為極小值.在點(diǎn)(0,0)是否并且在(0,0)都有當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí),ABCD提交練2單選題1分練3

有界閉區(qū)域D上連續(xù)二元函數(shù)f(x,y)最值的求法：(1)計(jì)算函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值;(2)計(jì)算D的邊界上的最大值和最小值;(3)比較上面的函數(shù)值,其中最大者即為最大值,最小者即為最小值.與一元函數(shù)類似,有界閉區(qū)域D上連續(xù)二元函數(shù)f(x,y)必定取得最值,可能會(huì)在D

內(nèi)部的極值點(diǎn)處取得,也可能會(huì)在D

的邊界處取得.二、連續(xù)二元函數(shù)的最值1.二元函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)的最值解根據(jù)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定可以取到最值,可能會(huì)在D

內(nèi)部的極值點(diǎn)處取得,也可能會(huì)在D

的邊界處取得.2.開區(qū)域內(nèi)的最值(最值的應(yīng)用問題)特別地,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)若區(qū)域內(nèi)部有不止一個(gè)可能的極值點(diǎn)時(shí),則可通過比較這些點(diǎn)處的函數(shù)值或進(jìn)一步判斷這些點(diǎn)是否是極大(小)值來確定最值.對(duì)于實(shí)際問題中的最值問題,往往由問題的實(shí)際意義能斷定最大值或最小值一定存在,且在定義區(qū)域的內(nèi)部取得,這時(shí),若函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)有唯一的駐點(diǎn),則該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或最小值．求實(shí)際問題中的最值問題的步驟：(1)根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系,確定其定義域;(2)求出駐點(diǎn);(3)結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值．令例7

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2立方米的有蓋長方體水箱,當(dāng)長寬高各為多少米時(shí),才能使用料最省?根據(jù)問題的實(shí)際背景,水箱所用材料面積的最小三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.分析：如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值故極值點(diǎn)必滿足記例如,問題,故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件解則由問題的實(shí)際意義知

u=4×4×4=64為所求的最大值.例9截旋轉(zhuǎn)拋物面其截口是一個(gè)橢圓,求截口橢圓上的最高點(diǎn)和最底點(diǎn).解求最高點(diǎn)和最底點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)是但這個(gè)極值問題受限于兩個(gè)約束條件,是條件極值問題,設(shè)其Lagrange函數(shù)為利用條件極值取得極值的必要條件令

從可知若矛盾所以因而得到：再代入,得

然后由即得于是因而求得最高點(diǎn)為最底點(diǎn)為求空間一點(diǎn)到平面的最短距離.解設(shè)于是有練4解得所以故為所求最短距離解練5故當(dāng)網(wǎng)絡(luò)廣告費(fèi)用為0.75萬元,報(bào)紙廣告費(fèi)用為1.25萬元時(shí),可使利潤最大.即將廣告費(fèi)用1.5萬元全部用于報(bào)紙廣告,可使利潤最大.練6內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn).問題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y＝f(x).需要解決兩個(gè)問題:1.確定近似函數(shù)的類型

根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律

根據(jù)問題的實(shí)際背景2.確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求最小二乘法

偏差有正有負(fù),對(duì)值都較小且便于計(jì)算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕來確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式.,它們大體特別,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問題為確定a,b

令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組(注意其特點(diǎn))例為了測(cè)定某股票的走勢(shì),每隔1天記錄一次該股票的價(jià)格,得數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.解

通過在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程組解得故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:稱為均方誤差,對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.8012345