江西省高安二中2026屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（）A.3 B.C. D.2．已知梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，過點E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.43．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統(tǒng)計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.4．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－65．若數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的第5項為（）A. B.C. D.6．（文科）已知點為曲線上的動點,為圓上的動點,則的最小值是A.3 B.5C. D.7．過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.8．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定9．“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10．設分別是橢圓的左、右焦點，P是C上的點，則的周長為（）A.13 B.16C.20 D.11．把直線繞原點逆時針轉動，使它與圓相切，則直線轉動的最小正角度A. B.C. D.12．直線恒過定點（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，則的值為______.14．動直線，恒過的定點是________15．設函數(shù)，則___________.16．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設置多個核酸檢測點對全市人員進行核酸檢測.已知組建一個小型核酸檢測點需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢測點需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個小型核酸檢測點和________個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）+alnx，實數(shù)a＞0（1）當a＝2時，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，10）上的單調性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知橢圓的焦距為，左、右焦點分別為，為橢圓上一點，且軸，，為垂足，為坐標原點，且（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點的直線（斜率不為）與橢圓交于兩點，為軸正半軸上一點，且，求點的坐標19．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2的周長為6，離心率等于.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點(4，0)的直線l交橢圓C于M、N兩點，且OM⊥ON，求直線l的方程.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，為坐標原點，若的面積為，求直線的方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面分別為的中點，（1）求證：平面平面；（2）求二面角的大小22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）當時，，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結果【詳解】解：因為正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，所以，則，所以，所以故選：D.2、B【解析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，則有△與△相似，相似比為，則，點E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B3、C【解析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.4、D【解析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D5、C【解析】直接根據(jù)通項公式，求；【詳解】，故選：C6、A【解析】數(shù)形結合分析可得,當時能夠取得的最小值,根據(jù)點到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】由對勾函數(shù)的性質,可知,當且僅當時取等號,結合圖象可知當A點運動到時能使點到圓心的距離最小,最小為4,從而的最小值為.故選：A【點睛】本題考查兩動點間距離的最值問題,考查轉化思想與數(shù)形結合思想,屬于中檔題.7、A【詳解】因為所求直線垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎題.8、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計算公式即可求解.【詳解】解：對A：A類輪胎行駛的最遠里程的眾數(shù)為99，B類輪胎行駛的最遠里程的眾數(shù)為95，選項A錯誤；對B：A類輪胎行駛的最遠里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠里程的極差為14，選項B錯誤對C：A類輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)為，B類輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)為，選項C錯誤對D：A類輪胎行駛的最遠里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項D正確故選：D.9、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和橢圓的標椎方程，判斷可得出結論.【詳解】解：充分性：當，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.10、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長為.故選：B11、B【解析】根據(jù)直線過原點且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結合計算最小旋轉角【詳解】解析：由題意，設切線為，∴.∴或.∴時轉動最小∴最小正角為.故選B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題12、A【解析】將直線方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線恒過定點故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出，由題設易知是的解集，利用根與系數(shù)關系求m、n，進而求的值.【詳解】由題設，，由單調遞減區(qū)間是，∴的解集為，則是的解集，∴，可得，故.故答案為：14、【解析】將直線方程轉化為，從而可得，即可得到結果.【詳解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點（2，2）故答案為：15、【解析】由的導數(shù)為，將代入，即可求出結果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.16、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進而作出可行域，最后通過數(shù)形結合求得答案.【詳解】設需要組建個小型核酸檢測點和個大型核酸檢測點，則每小時做核酸檢測的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當直線過點A時，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點，所以組建4個小型核酸檢測點和2個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.故答案為：4；2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點坐標，由直線的點斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導數(shù)，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關于的函數(shù)，結合其單調性和極值可得答案【小問1詳解】函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當a＝2時，，導數(shù)為4，可得f（x）在x＝1處的切線的斜率為4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1處的切線的方程為y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小問2詳解】f（x）的導數(shù)為f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①當010，即a時，當0＜x時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x＜10時，f′（x）＞0，f（x）遞增所以f（x）在（0，）上遞減，在（，10）上遞增，f（x）在x處取得極小值，無極大值；②當10即0＜a時，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上遞減，無極值綜上可得，當a時，f（x）在（0，）單調遞減，在（，10）上單調遞增，f（x）在x時取得極小值，無極大值當0＜a時，f（x）在區(qū)間（0，10）上遞減，無極值；【小問3詳解】存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立等價為存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立令，x＞0，g′（x），因為a＞0，可得當0＜x時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當x時，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以當x時，g（x）取得極小值，且為最小值，由題意可得，令，，令h′（x）＝0，可得x＝2，當x∈（0，2）時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當x∈（2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減所以當x＝2時，h（x）取得極大值，且為最大值h（2）＝0所以滿足的實數(shù)a的取值范圍是（0，2）∪（2，+∞）18、（1）（2）【解析】（1）利用△∽△構造齊次方程，求出離心率，再利用焦距即可求出橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理求出和，利用幾何關系可知，即可得，將韋達定理代入化簡即可求得點坐標.【小問1詳解】∵橢圓的焦距為，∴，即，軸，∴，則,由，，則△∽△，∴，即，整理得，即，解得或（舍去）∴，∴，則橢圓的標準方程為，【小問2詳解】設直線的方程為，且，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，則，，∵，∴，∴,∴，∴，即.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由條件得，再結合，可求得橢圓方程；（2）由題意設直線l：x=my+4，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系的關系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，從而可列出關于的方程，進而可求出的值，即可得到直線的方程【詳解】（1）由條件知，解得，則故橢圓的方程為（2）顯然直線l的斜率存在，且斜率不為0，設直線l：x=my+4交橢圓C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，當=(24m)2-4(3m2+4)×36>0時，有，，由條件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，從而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，，解得，故且滿足>0從而直線l方程為或20、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達定理結合三角形面積公式得出，求出的值得出直線的方程.【詳解】解：（1）因為橢圓的離心率為，所以.①又因為橢圓經(jīng)過點，所以有.②聯(lián)立①②可得，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為.由消去整理得，.因為直線與橢圓交于不同兩點，所以，即，所以設，，則，.由題意得，面積，即.因為的面積為，所以，即.化簡得，，即，解得或，均滿足，所以或.所以直線的方程為或.【點睛】關鍵點睛：在第二問中，關鍵是由韋達定理建立的關系，結合三角形面積公式求出斜率，得出直線的方程.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得平行四邊形是矩形，即可得到，再由及面面垂直的性質定理得到平面，從而得到，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問1詳解】證明：因為為的中點，，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以平行四邊形是矩形，所以，因為，所以，又因為平面平面，平面平面面，所以平面，因為面，所以，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】解：由（1）可得：兩兩垂直，如圖，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則則，設平面的一個法向量，由則，令，則，所以，設平面的一個法向量，所以，根據(jù)圖像可知二面角為銳二面角，所以二面角的大小為；22、（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）【解析】（1）研究當時的導數(shù)的符號即可討論得到的單調性；（2）對原函數(shù)求導，對a的范圍分類討論即可得出答案.【小問1詳解】當時，，令，則，所以在上單調遞增.又