第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之概率（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A．521 B．1021 C．1121 2．在區(qū)間[0，2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“﹣1≤log12（x+A．34 B．23 C．13 3．已知隨機變量ξi滿足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2＜1A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）4．現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，B表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P（B|A）＝（）A．13 B．47 C．23 5．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（）A．13 B．12 C．23 6．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（）附“若X～N＝（μ，a2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47727．若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為（）A．23 B．25 C．35 8．設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為110，115，120，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張XA．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，則下列結(jié)果正確的有（）A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4 C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2（多選）10．下列結(jié)論正確的是（）A．P(A)=P(B)P(A|B)+P(BB．P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BC．P(A|B)=P(B)P(A|B)D．P(A|B)=（多選）11．下列說法正確的是（）A．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.125 B．若A，B是互斥事件，則P（A∪B）＝P（A）+P（B），P（AB）＝0 C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應(yīng)抽取10人 D．一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是2（多選）12．如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1、A2、A3、A4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處．今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到達N、M處為止．則下列說法正確的是（）A．甲從M到達N處的方法有120種 B．甲從M必須經(jīng)過A2到達N處的方法有9種 C．甲、乙兩人在A2處相遇的概率為81400D．甲、乙兩人相遇的概率為41三．填空題（共4小題）13．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①P(B)=2②P(B|③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．14．賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則Eξ1﹣Eξ2＝（元）．15．1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則從2號箱取出紅球的概率是．16．舉重比賽的規(guī)則是：挑戰(zhàn)某一個重量，每位選手可以試舉三次，若三次均未成功則挑戰(zhàn)失敗；若有一次舉起該重量，則無需再舉，視為挑戰(zhàn)成功．已知甲選手每次能舉起該重量的概率是23，且每次試舉相互獨立，互不影響．設(shè)甲試舉的次數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學期望E（X）＝；已知甲選手挑戰(zhàn)成功，則甲是第二次舉起該重量的概率是四．解答題（共4小題）17．某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數(shù)是83．（1）求x和y的值；（2）計算甲班7位學生成績的方差s2；（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．18．甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是23，乙勝的概率是1（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝），求甲獲勝的概率．19．一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）．（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中有放回的抽取3個小球，其中重量在[5，15]內(nèi)的小球個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）20．某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學，在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院，現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）．（Ⅰ）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；（Ⅱ）設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

2026年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之概率（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BAAAACDA二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACDADBCDBCD一．選擇題（共8小題）1．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A．521 B．1021 C．1121 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】B【分析】首先判斷這是一個古典概型，從而求基本事件總數(shù)和“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件包含的基本事件個數(shù)，容易知道基本事件總數(shù)便是從15個球任取2球的取法，而在求“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件的基本事件個數(shù)時，可利用分步計數(shù)原理求解，最后代入古典概型的概率公式即可．【解答】解：這是一個古典概型，從15個球中任取2個球的取法有?15∴基本事件總數(shù)為105；設(shè)“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”為事件A；則A包含的基本事件個數(shù)為?101∴P（A）=50故選：B．【點評】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟練掌握組合數(shù)公式和分步計數(shù)原理．2．在區(qū)間[0，2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“﹣1≤log12（x+A．34 B．23 C．13 【考點】幾何概型．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【答案】A【分析】先解已知不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間[0，2]的長度求比值即得．【解答】解：利用幾何概型，其測度為線段的長度．∵﹣1≤log12（x∴1解得0≤x≤3∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率為：P=故選：A．【點評】本題主要考查了幾何概型，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．3．已知隨機變量ξi滿足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2＜1A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【答案】A【分析】由已知得0＜p1＜p2＜12，12＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，從而求出D（ξ1），D【解答】解：∵隨機變量ξi滿足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2，…，0＜p1＜p2＜1∴12＜1﹣p2＜1﹣p1＜E（ξ1）＝1×p1+0×（1﹣p1）＝p1，E（ξ2）＝1×p2+0×（1﹣p2）＝p2，D（ξ1）＝（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=pD（ξ2）＝（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=pD（ξ1）﹣D（ξ2）＝p1﹣p12﹣（p2-p22）＝（p2﹣p1）（p1+p2∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故選：A．【點評】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．4．現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，B表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P（B|A）＝（）A．13 B．47 C．23 【考點】條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】A【分析】條件概率，先求出A事件數(shù)，再求出B事件數(shù)，利用古典概型概率公式求解．【解答】解：由題意可得：事件A基本事件數(shù)，C42事件B的基本事件數(shù)，C32所以P（B|A）=3故選：A．【點評】本題考查統(tǒng)計與概率，條件概率的計算，屬于基礎(chǔ)題．5．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（）A．13 B．12 C．23 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】A【分析】本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學參加同一個興趣小組有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3＝9種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學參加同一個興趣小組，由于共有三個小組，則有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=3故選：A．【點評】本題考查古典概型概率公式，是一個基礎(chǔ)題，題目使用列舉法來得到試驗發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，出現(xiàn)這種問題一定是一個必得分題目．6．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（）附“若X～N＝（μ，a2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【答案】C【分析】求出P（0＜X≤1）=12×0.6826【解答】解：由題意P（0＜X≤1）=12×0.6826∴落入陰影部分點的個數(shù)的估計值為10000×0.3413＝3413，故選：C．【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．7．若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為（）A．23 B．25 C．35 【考點】互斥事件的概率加法公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】D【分析】設(shè)“甲或乙被錄用”為事件A，則其對立事件A表示“甲乙兩人都沒有被錄取”，先求出P(A)，再利用P（A）＝1﹣P（【解答】解：設(shè)“甲或乙被錄用”為事件A，則其對立事件A表示“甲乙兩人都沒有被錄取”，則P(A因此P（A）＝1﹣P（A）＝1-1故選：D．【點評】熟練掌握互為對立事件的概率之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為110，115，120，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張XA．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2【考點】全概率公式；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】A【分析】以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，由全概率公式能求出結(jié)果．【解答】解：以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，P（A1）=510，P（A2）=310，P（AP（B|A1）=110，P（B|A2）=115，P（B|A由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=5＝0.08．故選：A．【點評】本題考查概率的求法，考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，則下列結(jié)果正確的有（）A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4 C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】計算題；方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】ACD【分析】由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)求出p＝0.1，由此能求出E（X），D（X），再由離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，能求出E（Y）和D（Y）．【解答】解：由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)得：q＝1﹣0.4﹣0.1﹣0.2﹣0.2＝0.1，E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，∵離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，∴E（Y）＝2E（X）+1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2．故選：ACD．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）10．下列結(jié)論正確的是（）A．P(A)=P(B)P(A|B)+P(BB．P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BC．P(A|B)=P(B)P(A|B)D．P(A|B)=【考點】貝葉斯公式；條件概率．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】AD【分析】利用全概率公式、條件概率、貝葉斯公式直接求解．【解答】解：對于A，由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B），故A正確；對于B，由全概率公式得P（B）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A），故B錯誤；對于C，由條件概率得P（A|B）=P(AB)P(B)≠對于D，由貝葉斯公式得P(A|B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A故選：AD．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查全概率公式、條件概率、貝葉斯公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）11．下列說法正確的是（）A．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.125 B．若A，B是互斥事件，則P（A∪B）＝P（A）+P（B），P（AB）＝0 C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應(yīng)抽取10人 D．一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是2【考點】概率及其性質(zhì)；分層隨機抽樣．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】BCD【分析】甲乙兩人各自解出的概率分別為0.5，0.25，求解出兩人都不能解出此題的概率，其對立事件即為此題能被解出的概率，即可判斷A選項，根據(jù)互斥事件的定義，即可判斷B選項，結(jié)合分層抽樣的計算方法，即可判斷C選項，根據(jù)已知條件，結(jié)合排列組合中的“捆綁法”，即可求解．【解答】解：∵甲乙兩人各自解出的概率分別為0.5，0.25，∴此題不能解出的概率為（1﹣0.5）×（1﹣0.25）＝0.375，則此題能解出的概率為1﹣0.375＝0.625，故A選項錯誤，由于A，B是互斥事件，則P（A∪B）＝P（A）+P（B），P（AB）＝0，故B選項正確，由題意可得，高級教師應(yīng)抽取50×20%＝10人，故C選項正確，一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率P=A22故選：BCD．【點評】本題考查了分層抽樣的性質(zhì)和互斥事件的定義，以及排列組合中的“捆綁法”，需要學生較強的綜合知識，屬于中檔題．（多選）12．如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1、A2、A3、A4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處．今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到達N、M處為止．則下列說法正確的是（）A．甲從M到達N處的方法有120種 B．甲從M必須經(jīng)過A2到達N處的方法有9種 C．甲、乙兩人在A2處相遇的概率為81400D．甲、乙兩人相遇的概率為41【考點】古典概型及其概率計算公式；排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】BCD【分析】對于A，甲由道路網(wǎng)M處出發(fā)隨機地選擇一條沿街的最短路徑到達N處需走6步，由此能求出甲從M到達N處的方法；對于B，甲經(jīng)過A2到達N，可分為兩步：第一步：甲從M經(jīng)過A2的方法數(shù)：C31種，第二步：甲從A2到N的方法數(shù)：C31種，利用分步計數(shù)原理求解；對于C，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是C63C63，甲經(jīng)過A2的方法數(shù)為（C31）2；乙經(jīng)過A2的方法數(shù)也為（C31）2，得到甲、乙兩人相遇經(jīng)A2點的方法數(shù)為（C31）4，根據(jù)概率公式得到結(jié)果；對于D，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A1、A2、A3、A4處相遇，他們在Ai（i＝1，2，3，4）相遇的走法有（C3i﹣1【解答】解：對于A，甲由道路網(wǎng)M處出發(fā)隨機地選擇一條沿街的最短路徑到達N處需走6步，共有C63=20對于B，甲經(jīng)過A2到達N，可分為兩步：第一步：甲從M經(jīng)過A2的方法數(shù)：C3第二步：甲從A2到N的方法數(shù)：C3所以：甲經(jīng)過A2的方法數(shù)為C31C3對于C，由AB知：甲從M到達N處的方法有C63=20種，甲經(jīng)過A2的方法數(shù)為：同理，乙從N到達M處的方法有C63=20種，乙經(jīng)過A2的方法數(shù)也為：∴甲、乙兩人相遇經(jīng)A2點的方法數(shù)為：C31C3∴甲、乙兩人相遇經(jīng)A2點的概率P=81C6對于D，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A1、A2、A3、A4處相遇，他們在Ai（i＝1，2，3，4）相遇的走法有（C3i﹣1）4種方法；∴（C30）4+（C31）4+（C32）4+（C33）4＝164∴甲、乙兩人相遇的概率P=164400=故選：BCD．【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及到等可能事件的概率、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查空運算求解能力等核心素養(yǎng)，是中檔題．三．填空題（共4小題）13．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是②④（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①P(B)=2②P(B|③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．【考點】條件概率；全概率公式；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨立性．【專題】壓軸題；概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】本題是概率的綜合問題，掌握基本概念，及條件概率的基本運算是解決問題的關(guān)鍵．本題在A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進行轉(zhuǎn)化P（B）＝P（B|?A1）+P（B?A2）+P（B?A3），可知事件B的概率是確定的．【解答】解：易見A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，P(B)=P(B?故答案為：②④【點評】概率的綜合問題，需要對基本概念和基本運算能夠熟練掌握．14．賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則Eξ1﹣Eξ2＝0.2（元）．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分別求出賭金的分布列和獎金的分布列，計算出對應(yīng)的均值，即可得到結(jié)論．【解答】解：賭金的分布列為ξ112345P1515151515所以Eξ1=15（1+2+3+4+5）＝獎金的分布列為：若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為1，則有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4種，若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為2，則有（1，3），（2，4），（3，5），3種，若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為3，則有（1，4），（2，5），2種，若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為4，則有（1，5），1種，則P（ξ2＝1.4）=4C52=25，P（ξ2＝2.8）=3C52=310，P（ξξ21.42.84.25.6P2531015110所以Eξ2＝1.4×（25×1+310×2+1則Eξ1﹣Eξ2＝3﹣2.8＝0.2元．故答案為：0.2【點評】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的計算，根據(jù)概率的公式分別進行計算是解決本題的關(guān)鍵．15．1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則從2號箱取出紅球的概率是1127【考點】條件概率．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球，則從1號箱中取出一球放入2號箱，可能是紅球，也可能是白球，分別計算概率，即可得到結(jié)論．【解答】解：記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球．則P（B）=42+4=23，P（B）＝1﹣PP（A|B）=3+18+1=49，P（A從而P（A）＝P（AB）+P（AB）＝P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）=4故答案為：11【點評】本題以摸球為素材，考查條件概率，考查獨立事件的概率，解題的關(guān)鍵是分清從1號箱中取出一球放入2號箱的球，是紅球，還是白球16．舉重比賽的規(guī)則是：挑戰(zhàn)某一個重量，每位選手可以試舉三次，若三次均未成功則挑戰(zhàn)失敗；若有一次舉起該重量，則無需再舉，視為挑戰(zhàn)成功．已知甲選手每次能舉起該重量的概率是23，且每次試舉相互獨立，互不影響．設(shè)甲試舉的次數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學期望E（X）＝139；已知甲選手挑戰(zhàn)成功，則甲是第二次舉起該重量的概率是313【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用相互獨立、對立與互斥事件的概率計算公式可得P（X＝k）（k＝1，2，3），利用數(shù)學期望計算公式可得E（X），再利用全概率的計算公式即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可得X＝1，2，3，P（X＝1）=23，P（X＝2）=13×23=29，P（∴E（X）＝1×23+2×若甲選手挑戰(zhàn)成功，則甲是第二次舉起該重量的概率是29故答案為：139；3【點評】本題考查了相互獨立、對立與互斥事件的概率計算公式、離散型隨機變量的期望、全概率的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數(shù)是83．（1）求x和y的值；（2）計算甲班7位學生成績的方差s2；（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．【考點】古典概型及其概率計算公式；莖葉圖；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用平均數(shù)求出x的值，中位數(shù)求出y的值，解答即可．（2）根據(jù)所給的莖葉圖，得出甲班7位學生成績，做出這7次成績的平均數(shù)，把7次成績和平均數(shù)代入方差的計算公式，求出這組數(shù)據(jù)的方差．（3）設(shè)甲班至少有一名學生為事件A，其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；先計算出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生的所有抽取方法總數(shù)，和沒有甲班一名學生的方法數(shù)目，再求出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生的概率，進而結(jié)合對立事件的概率性質(zhì)求得答案．【解答】解：（1）∵甲班學生的平均分是85，∴92+96+80+x+85+79+787∴x＝5，∵乙班學生成績的中位數(shù)是83，∴y＝3；（2）甲班7位學生成績的方差為s2=17（3）甲班成績在90分以上的學生有兩名，分別記為A，B，乙班成績在90分以上的學生有三名，分別記為C，D，E，從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班至少有一名學生”為事件M，則P(M)=7答：從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為710【點評】本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識，考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應(yīng)用意識．18．甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是23，乙勝的概率是1（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝），求甲獲勝的概率．【考點】n重伯努利試驗與二項分布；古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】（1）1927（2）6481【分析】（1）先由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率，根據(jù)獨立重復試驗公式公式，列出算式，得到結(jié)果．（2）由于采用五局三勝制，則甲獲勝包括甲以3：0獲勝，以3：1獲勝，以3：2獲勝，根據(jù)獨立重復試驗公式列出算式，得到結(jié)果．【解答】解：（1）甲恰好勝2局的概率P1乙至少勝1局的概率P2（2）打3局：(23)3=打五局：C因此甲獲勝的概率為64【點評】求一個事件的概率，關(guān)鍵是先判斷出事件所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式進行計算．正確理解概率加法公式和相互獨立性事件的概率計算公式是解題的關(guān)鍵．19．一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）．（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中有放回的抽取3個小球，其中重量在[5，15]內(nèi)的小球個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求解得a＝0.03，由最高矩形中點的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20根據(jù)平均數(shù)值公式求解即可．（2）X～B（3，15），根據(jù)二項分布求解P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3【解答】解：（1）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1解得a＝0.03；又由最高矩形中點的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，而50個樣本小球重量的平均值為：X=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6故估計盒子中小球重量的平均值約為24.6克．（2）利用樣本估計總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內(nèi)的0.2；則X～B（3，15X＝0，1，2，3；P（X＝0）=C30×（4P（X＝1）=C31×（4P（X＝2）=C32×（45）×（P（X＝3）=C33×（1∴X的分布列為：X0123P6412548125121251125即E（X）＝0×64【點評】本題考查了離散型的隨機變量及概率分布列，數(shù)學期望的求解，注意閱讀題意，得出隨機變量的數(shù)值，準確求解概率，難度不大，需要很好的計算能力20．某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學，在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院，現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）．（Ⅰ）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；（Ⅱ）設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）利用排列組合求出所有基本事件個數(shù)及選出的3名同學是來自互不相同學院的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，P(X=k)=C4kC63-kC103（k＝0【解答】（Ⅰ）解：設(shè)“選出的3名同學是來自互不相同學院”為事件A，則P(A)=C所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為4960（Ⅱ）解：隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，P(X=k)=C4kC63-kC103（k所以隨機變量X的分布列是X0123P1131隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×【點評】本題考查古典概型及其概率公式，互斥事件，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查應(yīng)用概率解決實際問題的能力．

考點卡片1．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知識點的認識】一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）．【解題方法點撥】﹣判斷兩個事件是否互斥，即它們的交是否為空．【命題方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的問題．2．概率及其性質(zhì)【知識點的認識】概率的意義概率是對未發(fā)生（或?qū)⒁l(fā)生的）事件的一種推測．這是討論概率的前提，概率越大，表示未來發(fā)生的可能性也就越大．比方說明天下雨的概率為0.9，那么明天下雨的可能性就很大了，但并不表示明天一定會下雨；如果說明天下雨的概率為0.1，那么表示明天下雨的可能性比較小，但不表示明天不下雨．這里我們可以看出概率表示的是將來某事件是否要發(fā)生的可能性的判斷．概率的基本性質(zhì)（1）概率的取值范圍：[0，1]．（2）必然事件的概率為1．（3）不可能事件的概率為0．（4）互斥事件的概率的加法公式：如果事件A，B互斥時，P（A+B）＝P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥時，那么P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）．如果事件A，B對立事件，則P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1．注意事項：①特別的，若事件B與事件A互為對立事件，則A∪B為必然事件，P（A∪B）＝1．在由加法公式得到P（A）＝1﹣P（B）②若某事件發(fā)生當且僅當事情A發(fā)生或B發(fā)生，則稱此事件為事件A與B的并事件，記作（A∪B）③若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且B發(fā)生，則稱此事件為事件A與B的交事件，記作（A∩B）④若C∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件D與事件A互為對立事件，其含義是：事件F與事件E在任何一次實驗中有且僅有一個發(fā)生．【解題方法點撥】例：試解釋下面情況中的概率意義：（Ⅰ）某廠產(chǎn)品的次品率為0.02；（Ⅱ）服用某種藥物治愈某種疾病的概率為90%．解：（Ⅰ）“某廠產(chǎn)品的次品率為0.02”是指任取一件產(chǎn)品為次品的可能性為2%，即若從該產(chǎn)品中任取100件產(chǎn)品，其中可能有2件次品，而不是一定有2件次品．（Ⅱ）“服用某種藥物治愈某種疾病的概率為90%”是一個隨機事件，概率為90%說明這種藥治愈此種疾病的可能性是90%，但不是表示其一定能治愈，只是治愈的可能性較大．這個例題考查了對概率的理解，所說的和我在前面說的是一樣的，通過這個例子希望大家可以更好的理解概率的意義．3．互斥事件的概率加法公式【知識點的認識】互斥事件的概率加法公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）4．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．5．幾何概型【知識點的認識】1．定義：若一個試驗具有下列特征：（1）每次試驗的結(jié)果有無限多個，且全體結(jié)果可用一個有度量的幾何區(qū)域來表示；（2）每次試驗的各種結(jié)果是等可能的．那么這樣的試驗稱為幾何概型．2．幾何概率：設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域Ω，事件A所對應(yīng)的區(qū)域用A表示（A?Ω），則P（A）=A的度量Ω6．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認識】1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；（2）相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．7．由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨立性【知識點的認識】﹣對任意兩個事件A與B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨立．【解題方法點撥】﹣判斷事件是否獨立，通過計算交事件的概率并與乘積概率進行比較．【命題方向】﹣主要考察事件獨立性的判斷，涉及獨立事件的概率乘法公式．8．條件概率【知識點的認識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點撥】典例1：利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，基本事件的總個數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為34，23，12，乙隊每人答對的概率都是2（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P(AB)解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P(AB)9．全概率公式【知識點的認識】全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P（B）=i=110．貝葉斯公式【知識點的認識】貝葉斯公式：若事件A1，A2，…，構(gòu)成一個完備事件組，且都具有正概率，則對任何一個不為零的時間B，都有：P(A【解題方法點撥】貝葉斯公式和全概率公式的聯(lián)系：（1）各原因下條件概率已知，用全概率公式求事件發(fā)生概率；（2）事件已發(fā)生，求是某種原因造成的概率，用貝葉斯公式．【命題方向】貝葉斯公式是2019版新教材的一個知識點，考試題型較大可能是填空題或選擇題，圍繞考生的理解能力和綜合應(yīng)用能力進行考察，要求能靈活運用題干信息與所學知識，建立起正確的概率模型，綜合運用排列組合等知識解決問題．11．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關(guān)概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機變量．（3）連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．12．離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學期望，簡稱期望．數(shù)學期望的意義：數(shù)學期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．13．n重伯努利試驗與二項分布【知識點的認識】1、二項分布：一般地，在n次獨立重復的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，2、獨立重復試驗：（1）獨立重復試驗的意義：做n次試驗，如果它們是完全同樣的一個試驗的重復，且它們相互獨立，那么這類試驗叫做獨立重復試驗．（2）一般地，在n次獨立重復試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p（3）獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的．（4）獨立重復試驗概率公式的特點：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次獨立重復試驗中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復試驗的次數(shù)，p是一次試驗中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p【解題方法點撥】獨立重復試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．【命題方向】典例1：如果ζ～B（100，12），當P（ζ＝k）取得最大值時，k＝50解：∵ζ～B（100，12當P(ξ=k)=C由組合數(shù)知，當k＝50時取到最大值．故答案為：50．典例2：一個盒子里有2個黑球和m個白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p），當m為何值時，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎，∴每次中獎的概率p=C（Ⅱ）若m＝3，每次中獎的概率p=2∴三次摸獎恰有一次中獎的概率為C3（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）=C31p(1-p)2=3p3﹣6p2+3p∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，13）上單調(diào)遞增，在（13，∴p=13時，f（p）取得最大值，即∴m＝2，即m＝2時，f（p）取得最大值．14．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)μ和σ（σ＞（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為12πσ，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12π（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．【解題方法點撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πeA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=14φμ，σ（x）=142πe-x（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度函數(shù)A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．典例2：隨機變量ξ服從正態(tài)分布