第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之空間向量的應(yīng)用（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．已知空間向量a→=（1，n，2），b→=（﹣2，1，2），若2a→-bA．532 B．212 C．3722．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（）A．455 B．2 C．22 3．若向量a→=(0，1，-1)，A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣14．在平行四邊形ABCD中，BC＝2AB＝2，∠B＝60°，點(diǎn)E是線段AD上任一點(diǎn)（不包含點(diǎn)D），沿直線CE將△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直線CE上，則AD′的最小值是（）A．4-3 B．4-2 C．25．如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，則PB與平面PAC所成角的正弦值為（）A．22 B．12 C．32 6．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為（）A．12 B．24 C．22 7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E在線段AD上且AE＝3，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使得點(diǎn)D落在線段AE上，則此時(shí)二面角D﹣EC﹣B的余弦值為（）A．45 B．56 C．67 8．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，過點(diǎn)P（x0，y0，z0）且一個(gè)法向量為n＝（a，b，c）的平面a的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；過點(diǎn)P（x0，y0，z0）且一個(gè)方向向量為d＝（u，v，w）（uvw≠0）的直線l的方程為x-x0u=y-y0v=z-z0w．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面a的方程為3x﹣5y+z﹣7＝0，直線l是平面x﹣3y+7＝0A．1035 B．75 C．715 二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，A1D1上的動點(diǎn)．給出下面四個(gè)命題，其中正確的是（）A．EF∥AC B．直線AF與直線CE所成角的最大值是π3C．若直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)在直線DD1上 D．若直線AF與直線CE相交，則二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值為2（多選）10．已知圖1中，A，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）A．△AEF是正三角形 B．平面AEF⊥平面CGH C．直線CG與平面AEF所成角的正切值為2 D．當(dāng)AB＝2時(shí)，多面體ABCD﹣EFGH的體積為8（多選）11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)C1，D1到平面PMN的距離相等 B．PN與QM為異面直線 C．∠PNM＝90° D．平面PMN截該正方體的截面為正六邊形（多選）12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點(diǎn)，D在線段B1C1上，則下面說法中正確的有（）A．EF∥平面AA1B1B B．若D是B1C1上的中點(diǎn)，則BD⊥EF C．直線EF與平面ABC所成角的正弦值為25D．直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段BD長為3三．填空題（共4小題）13．設(shè)平面α與向量a→=（﹣1，2，﹣4）垂直，平面β與向量b→=（2，3，1）垂直，則平面α與β位置關(guān)系是14．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF=12AD=a，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為15．如圖，棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側(cè)．若頂點(diǎn)B，C到平面α的距離分別為1，2．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面α的一個(gè)法向量為（x0，y0，z0），若x0＝1，則y0＝，z0＝，且頂點(diǎn)D到平面α的距離是．16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A﹣BCD，則在三棱錐A﹣BCD中，下列判斷正確的是．（寫出所有正確的序號）①平面ABD⊥平面ABC②直線BC與平面ABD所成角是45°③平面ACD⊥平面ABC④二面角C﹣AB﹣D余弦值為3四．解答題（共4小題）17．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE=6，∠BAD＝60°，G為BC（1）求證：FG∥平面BED；（2）求證：平面BED⊥平面AED；（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．18．如題圖，三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB=π2．D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且CD＝DE=2，CE＝2EB（Ⅰ）證明：DE⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．20．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之空間向量的應(yīng)用（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DDCAABDA二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDACACDACD一．選擇題（共8小題）1．已知空間向量a→=（1，n，2），b→=（﹣2，1，2），若2a→-bA．532 B．212 C．372【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】空間向量及應(yīng)用．【答案】D【分析】利用向量垂直關(guān)系，2a→-b→與b→垂直，則（2【解答】解：∵a→=（1，n，2），b→=（﹣2，∴2a→-b→=（4，2n∵2a→-b∴（2a→-b→∴﹣8+2n﹣1+4＝0，解得，n=5∴a∴|a故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是向量的數(shù)量積判斷向量垂直，其中根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0．2．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（）A．455 B．2 C．22 【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離．【答案】D【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段B1P的長度的最大值．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（a，b，0），則D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），B1P→=（a﹣2，b﹣2，﹣2），D1E→∵B1P⊥D1E，∴B1P→?D1E→=a﹣2+2∴a+2b﹣2＝0，∴點(diǎn)P的軌跡是一條線段，當(dāng)a＝0時(shí)，b＝1；當(dāng)b＝0時(shí)，a＝2，設(shè)CD中點(diǎn)F，則點(diǎn)P在線段AF上，當(dāng)A與P重合時(shí)，線段B1P的長度為：|AB1|=4+4=2當(dāng)P與F重合時(shí)，P（0，1，0），B1P→=（﹣2，﹣1，﹣2），線段B1P的長度|B當(dāng)P在線段AF的中點(diǎn)時(shí)，P（1，12，0），B1P→=（﹣1，-32，﹣2），線段B1∴線段B1P的長度的最大值為3．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．3．若向量a→=(0，1，-1)，A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量垂直的性質(zhì)直接求解．【解答】解：向量a→=(0，∴a→+λb→=（λ，∵(a∴（a→+λb→）?a→解得λ＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．在平行四邊形ABCD中，BC＝2AB＝2，∠B＝60°，點(diǎn)E是線段AD上任一點(diǎn)（不包含點(diǎn)D），沿直線CE將△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直線CE上，則AD′的最小值是（）A．4-3 B．4-2 C．2【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】壓軸題；空間位置關(guān)系與距離．【答案】A【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理、余弦定理、勾股定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：如圖所示：在圖2中，過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為F點(diǎn)，連接AF，D′F．∵沿直線CE將△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直線CE上，∴平面D′CE⊥平面ABCD．∴D′F⊥平面ABCD，∴D′F⊥AF，∴AD′2＝D′F2+AF2．設(shè)∠CDF＝θ，0°≤θ≤60°，則DF＝CDcosθ＝cosθ，∠EDF＝60°﹣θ．在△ADF中，由余弦定理得AF2＝22+cos2θ﹣2×2cosθ×cos（60°﹣θ），∴D′A2＝4+2cos2θ﹣4cosθ(1當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°時(shí)，取得最小值，且AD′的最小值是4-故選：A．【點(diǎn)評】熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、余弦定理、勾股定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．5．如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，則PB與平面PAC所成角的正弦值為（）A．22 B．12 C．32 【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的判斷方法可得BC⊥平面PAC，則∠BPC是PB與平面PAC所成角，由此計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則BC⊥AC，又由PA⊥圓O所在平面，則PA⊥BC，則BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB與平面PAC所成角，△PAC中，AC＝3，PA＝4，則PC＝5，則△PCB為等腰直角三角形，sin∠BPC＝sin45°=2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為（）A．12 B．24 C．22 【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直．【專題】計(jì)算題；邏輯思維；直觀想象；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】過O作A1B1的平行線，交B1C1于E，則O到平面ABC1D1的距離即為E到平面ABC1D1的距離．作EF⊥BC1于F，進(jìn)而可知EF⊥平面ABC1D1，進(jìn)而根據(jù)EF=14B1C求得【解答】解：過O作A1B1的平行線，交B1C1于E，則O到平面ABC1D1的距離即為E到平面ABC1D1的距離．作EF⊥BC1于F，易證EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=14B1C故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)到面的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)到面的垂線，即點(diǎn)到面的距離．7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E在線段AD上且AE＝3，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使得點(diǎn)D落在線段AE上，則此時(shí)二面角D﹣EC﹣B的余弦值為（）A．45 B．56 C．67 【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】綜合法；定義法；空間角．【答案】D【分析】在折疊前的矩形中連接BD交EC于O，得到BD⊥CE，從而得到折起后，∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角，利用余弦定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：在折疊前的矩形中連接BD交EC于O，∵BC＝4，CD＝2，CD＝2，DE＝1，∴BCCD=CDDE，即△∴∠DBC＝∠ECD，∴∠DBC＝∠ECD，∴∠ECD+∠ODC＝90°，即BD⊥CE，折起后，∵BO⊥CE，DO⊥CE，∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角，在△BOD中，OD=255，OB＝BD﹣OD＝BD=AB2由余弦定理得cos∠BOD=O故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查二面角的求解，根據(jù)折疊前后直線的位置關(guān)系以及二面角的平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．8．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，過點(diǎn)P（x0，y0，z0）且一個(gè)法向量為n＝（a，b，c）的平面a的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；過點(diǎn)P（x0，y0，z0）且一個(gè)方向向量為d＝（u，v，w）（uvw≠0）的直線l的方程為x-x0u=y-y0v=z-z0w．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面a的方程為3x﹣5y+z﹣7＝0，直線l是平面x﹣3y+7＝0A．1035 B．75 C．715 【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】方程思想；分析法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)材料先求出三個(gè)平面的法向量，再根據(jù)交線的方向向量與平面x﹣3y+7＝0和4y+2z+1＝0的法向量垂直求出直線的方向向量，在帶圖直線與平面夾角的正弦公式求值即可．【解答】解：因?yàn)槠矫鎍的方程為3x﹣5y+z﹣7＝0，所以平面a的法向量可取n→同理平面x﹣3y+7＝0的法向量可取a→4y+2z+1＝0的法向量可取b→設(shè)平面x﹣3y+7＝0與4y+2z+1＝0的交線的方向向量為m→則m→?a→=x-3y=0m→?b→=4y+2z=0，令y＝1則直線l與平面a所成角的正弦值為sinθ＝|cos＜m→，n→＞|故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查利用新定義解決線面夾角的正弦值問題，屬于難題．二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，A1D1上的動點(diǎn)．給出下面四個(gè)命題，其中正確的是（）A．EF∥AC B．直線AF與直線CE所成角的最大值是π3C．若直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)在直線DD1上 D．若直線AF與直線CE相交，則二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值為2【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間直線和直線的位置關(guān)系，以及二面角的公式，即可求解．【解答】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)E在C1，F(xiàn)在A1時(shí)，EF∥AC，但點(diǎn)E，F(xiàn)是動點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，對于B選項(xiàng)，直線AF與直線CE所成角的最大值就是E，F(xiàn)與D1重合時(shí)取得，夾角是π3，故B對于C選項(xiàng)，∵空間3個(gè)平面兩兩相交有3條交線，要么互相平行，要么相交于一點(diǎn)，∴直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)在直線DD1上，故C選項(xiàng)正確，對于D選項(xiàng)，當(dāng)E，F(xiàn)與D1重合時(shí)，二面角E﹣AC﹣D的平面角最小，連接BD交AC于O，連接AD1，CD1，OD1，∵AD1＝CD1，O為AC的中點(diǎn)，∴D1O⊥AC，又∵DO⊥AC，∴∠D1OD為二面角E﹣AC﹣D的平面角，設(shè)正方體的棱長為a，則OD=2∴tan∠D1故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查異面直線及其所的角，以及二面角的求解，需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，屬于難題．（多選）10．已知圖1中，A，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）A．△AEF是正三角形 B．平面AEF⊥平面CGH C．直線CG與平面AEF所成角的正切值為2 D．當(dāng)AB＝2時(shí)，多面體ABCD﹣EFGH的體積為8【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理，確定出了三條兩兩垂直的直線，再結(jié)合平面幾何知識確定線段的長度，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，將A，B，C中的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)A，B，C，對于選項(xiàng)D，將多面體補(bǔ)成一個(gè)長方體，利用多面體和長方體體積之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：取CD，AB的中點(diǎn)O，M，連結(jié)OH，OM，在圖1中，因?yàn)锳，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，則CH=1因?yàn)镺為CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H⊥CD，因?yàn)槠矫鍯DH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，所以O(shè)H?平面CDH，所以O(shè)H⊥平面ABCD，在圖1中，設(shè)正方形EFGH的邊長為22a(a＞0)，可得四邊形ABCD在圖1中，△ADE和△ABF均為等腰直角三角形，可得∠BAF＝∠DAE＝45°，所以∠BAD＝90°，故四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，因?yàn)镺，M分別為CD，AB的中點(diǎn)，則OC∥BM且OC＝BM，∠OCB＝90°，所以四邊形為矩形，所以O(shè)M⊥CD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM，OC，OH所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2a，﹣a，0），B（2a，a，0），C（0，a，0），D（0，﹣a，0），E（a，﹣a，a），F(xiàn)（2a，0，a），G（a，a，a），H（0，0，a），對于選項(xiàng)A，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得AE＝AF＝EF=2所以△AEF是正三角形，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，AE→設(shè)平面AEF的法向量為m→則由m→取z＝1，則m→CG→設(shè)平面CGH的法向量為n→則有n→取z1＝﹣1，則n→所以m→所以平面AEF與平面CGH不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，cos＜設(shè)直線CG與平面AEF所成的角為θ，則sinθ=6所以cosθ=1-si故tanθ=sinθ故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，以ABCD為底面，以O(shè)H為高將幾何體ABCD﹣EFGH補(bǔ)成長方體ABCD﹣A1B1C1D1，則E，F(xiàn)，G，H分別為A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，因?yàn)锳B＝2，即a＝1，則OH＝1，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為V＝22×1＝4，VA-因此多面體ABCD﹣EFGH的體積為VABCD-EFGH故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量在立體幾何中的運(yùn)用，涉及了面面垂直的判定、線面角的求解、多面體體積的求解，解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題來研究，在求解多面體體積的時(shí)候經(jīng)常使用“割補(bǔ)法”，屬于難題．（多選）11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)C1，D1到平面PMN的距離相等 B．PN與QM為異面直線 C．∠PNM＝90° D．平面PMN截該正方體的截面為正六邊形【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；異面直線的判定．【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；直觀想象．【答案】ACD【分析】取BC中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F，則有六邊形MQNPEF為正六邊形，再逐一判定即可．【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F，則有六邊形MQNPEF為正六邊形，對于A，根據(jù)正方體的對稱性，可得點(diǎn)C1，D1到平面MQNPEF的距離相等，∴A正確；對于B，PN與QM為共面直線，故B錯(cuò)；對于C，在正六邊形MQNPEF中，設(shè)PN＝1，則PM＝2，MN=3，∴MN2+PN2＝PM2，則MN⊥PN，故C對于D，平面PMN截該正方體的截面為正六邊形，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查空間兩直線位置關(guān)系、異面直線所成角，考查推理論證、邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng)，屬于中檔題．（多選）12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點(diǎn)，D在線段B1C1上，則下面說法中正確的有（）A．EF∥平面AA1B1B B．若D是B1C1上的中點(diǎn)，則BD⊥EF C．直線EF與平面ABC所成角的正弦值為25D．直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段BD長為3【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量的關(guān)系進(jìn)行研究，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意可得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），F(xiàn)（0，1，2），設(shè)D（x，2﹣x，2），故EF→直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，所以AC→為平面AA1B1B的一個(gè)法向量，AA1→是平面ABC的一個(gè)法向量，對于A，AC→=(0，又EF?平面AA1B1B，所以EF∥AA1B1B，故選項(xiàng)A正確；對于B，若D是B1C1上的中點(diǎn)，則BD→所以EF→所以EF與BD不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)锳A1→是平面ABC設(shè)直線EF與平面ABC所成的角為α，則sinα=|cos＜EF→對于D，設(shè)B1故BD→所以BD→所以|cos＜故當(dāng)3λ+2=43，即即直線BD與直線EF所成的角最小，此時(shí)BD→所以|BD→|=故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線線、線面關(guān)系的判斷，空間線段長度的求解以及線面角的求解，對于立體幾何問題，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究是常用的方法，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．設(shè)平面α與向量a→=（﹣1，2，﹣4）垂直，平面β與向量b→=（2，3，1）垂直，則平面α與β【考點(diǎn)】空間向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先判斷a→⊥b→，再根據(jù)平面α與向量a→【解答】解：由題意，a∴a∵平面α與向量a→={-1，2，∴α⊥β故答案為垂直【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系，主要考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是利用數(shù)量積等于0，判斷向量垂直．14．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF=12AD=a，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為6【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由面面垂直的性質(zhì)證明CB⊥AG，用勾股定理證明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，從而面AGC⊥面BGC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB與平面AGC所成的角，解Rt△CBG，可得GB與平面AGC所成角的正弦值．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，∴AG＝BG=2a，AB＝2a，∴AB2＝AG2+BG2，∴AG⊥BG∵BG∩BC＝B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角．在Rt△CBG中，BH=BC?BGCG=233a，BG=故答案為：63【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的判定方法，以及求線面成的角的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．15．如圖，棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側(cè)．若頂點(diǎn)B，C到平面α的距離分別為1，2．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面α的一個(gè)法向量為（x0，y0，z0），若x0＝1，則y0＝2，z0＝6，且頂點(diǎn)D到平面α的距離是6．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，有關(guān)系的只有4個(gè)（其他頂點(diǎn)可不予理會），這4點(diǎn)組成直角四面體，這是解題的關(guān)鍵，所以最終歸結(jié)為：已知直角四面體的3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面α的距離依次為0，1，2，由此求出頂點(diǎn)D到平面α的距離和平面α的法向量．【解答】解：如圖所示，連結(jié)BC、CD、BD，則四面體A﹣BCD為直角四面體；作平面α的法線AH，作BB1⊥平面α于B1，CC1⊥平面α于C1，DD1⊥平面α于D1；連結(jié)AB1，AC1，AD1，令A(yù)H＝h，DA＝a，DB＝b，DC＝c，由V三棱錐A﹣BCD的體積相等，∴13×S△BCD?h=∴a2+b2?b2+c2?可得1h∴h2a令∠BAB1＝α，∠CAC1＝γ，∠DAD1＝β，可得sin2α+sin2β+sin2γ＝1，設(shè)DD1＝m，∵BB1＝1，CC1=2∴(13解得m=6；即所求點(diǎn)D到平面α的距離為6又α的法向量為n→=（x0，y0，z＝（hcos（π2-α），hcos（π2-γ），hcos＝（hsinα，hsinγ，hsinβ），由hsinα＝1，得hsinγ=2，hsinβ=∴n→=（1，2，故答案為：2，6，6．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，是難題．16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A﹣BCD，則在三棱錐A﹣BCD中，下列判斷正確的是②③④．（寫出所有正確的序號）①平面ABD⊥平面ABC②直線BC與平面ABD所成角是45°③平面ACD⊥平面ABC④二面角C﹣AB﹣D余弦值為3【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直；直線與平面所成的角．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；直觀想象．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】①反證法，假設(shè)平面ABD⊥平面ABC，容易推出BC垂直于平面ABD，從而∠DBC＝90°，出矛盾；②利用幾何法找到其平面角為∠CBD，求解即可判斷；③證明AB⊥平面ADC，從而得到平面ACD⊥平面ABC；④證明∠DAC為二面角C﹣AB﹣D的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判斷．【解答】解：在四邊形ABCD中，由已知可得∠DBC＝45°，假設(shè)平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BDC＝BD，可得BC⊥平面ABD，有∠DBC＝90°，與∠DBC＝45°矛盾，則假設(shè)錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤；在四邊形ABCD中，由已知可得BD⊥DC，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，則DC⊥平面ABD，∠DBC為直線BC與平面ABD所成角是45°，故②正確；由判斷②時(shí)可知，DC⊥平面ABD，則DC⊥AB，又BA⊥AD，AD∩DC＝D，則AB⊥平面ADC，而AB?平面ABC，則平面ACD⊥平面ABC，故③正確；由判斷③時(shí)可知，AB⊥平面ADC，則∠DAC為二面角C﹣AB﹣D的平面角，設(shè)AD＝AB＝1，則BD＝DC=2，由DC⊥AD，得AC=3，得cos∠DAC=AD∴判斷正確的是②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)評】本題考查空間中平面與平面垂直、線面角與二面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，是中檔題．四．解答題（共4小題）17．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE=6，∠BAD＝60°，G為BC（1）求證：FG∥平面BED；（2）求證：平面BED⊥平面AED；（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行；平面與平面垂直．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用中位線定理，和平行公理得到四邊形OGEF是平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)余弦定理求出BD=3，繼而得到BD⊥AD（3）先判斷出直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，再根據(jù)余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【解答】證明：（1）BD的中點(diǎn)為O，連接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中點(diǎn)，∴OG∥DC，且OG=12DC＝又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四邊形OGEF是平行四邊形，∴FG∥OE，∵FG?平面BED，OE?平面BED，∴FG∥平面BED；（2）證明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD=3，僅而∠ADB＝90即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD?平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直線AB與平面BED所成的角為∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE=6，由余弦定理得cos∠ADE=∴sin∠ADE=5∴AH＝AD?53在Rt△AHB中，sin∠ABH=AH∴直線EF與平面BED所成角的正弦值5【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面的平行和垂直，平面與平面的垂直，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．18．如題圖，三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB=π2．D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且CD＝DE=2，CE＝2EB（Ⅰ）證明：DE⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直．【專題】空間角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由已知條件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由線面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，分別以CA→，CB→，CP→的方向?yàn)閤yz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，易得ED→，DP→，DA→的坐標(biāo)，可求平面PAD的法向量n1【解答】（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE＝2，CD＝DE=2，∴△CDE∴CD⊥DE，∵PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE為等腰直角三角形，∠DCE=π過點(diǎn)D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又由已知EB＝1，故FB＝2，由∠ACB=π2得DF∥AC，DFAC=FBBC以C為原點(diǎn)，分別以CA→，CB→，CP→則C（0，0，0），P（0，0，3），A（32，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0∴ED→=（1，﹣1，0），DP→=（﹣1，﹣1，3），DA→=（設(shè)平面PAD的法向量n1→=（x，y，z故可取n1→=（2，1由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2→可取ED→=（1，﹣∴兩法向量夾角的余弦值cos＜n1∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值為36【點(diǎn)評】本題考查二面角，涉及直線與平面垂直的判定，建系化歸為平面法向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵，屬難題．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面所成的角．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用；立體幾何．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出BE，DC的方向向量，根據(jù)BE→?DC→=0，可得BE（II）求出平面PBD的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根據(jù)BF⊥AC，求出向量BF→的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F﹣AB﹣P【解答】證明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴BE→=（0，1，1），DC→=（2，∵BE→?DC→∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵BD→=（﹣1，2，0），PB→=（1，設(shè)平面PBD的法向量m→=（x，y，由m→?BD令y＝1，則m→=（2，1，則直線BE與平面PBD所成角θ滿足：sinθ=m故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為33（Ⅲ）∵BC→=（1，2，0），CP→=（﹣2，﹣2，2），AC→=（由F點(diǎn)在棱PC上，設(shè)CF→=λCP→=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤故BF→=BC→+CF→=（1﹣2λ，2﹣2λ，2由BF⊥AC，得BF→?AC→=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ解得λ=3即BF→=（-12，設(shè)平面FBA的法向量為n→=（a，b，由n→?令c＝1，則n→=（0，﹣3，取平面ABP的法向量i→=（0，1，則二面角F﹣AB﹣P的平面角α滿足：cosα=|故二面角F﹣AB﹣P的余弦值為：3【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵．20．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）連接AO，A1D，根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直線平面的垂直定理判斷．（II）利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量n→=（7，0，1），|根據(jù)與BA1→數(shù)量積求解余弦值，即可得出直線A1B和平面BB【解答】證明：（I）∵AB＝AC＝2，D是B1C1的中點(diǎn)．∴A1D⊥B1C1，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥BC，∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，∴A1O⊥AO，A1O⊥BC∵BC∩AO＝O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC∴A1D⊥平面A1BC解：（II）建立坐標(biāo)系如圖∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4∴O（0，0，0），B（0，2，0），B1（-2，2，14），A1（0，0，14即A1B→=（0，2，-14），OB→=（0，2，0），B設(shè)平面BB1C1C的法向量為n→=（x，y，n→?OB得出n→=（7，0，1），|BA1→|＝4∵n→∴cos＜n→，可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為7【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，直線平面的垂直問題，空間向量的運(yùn)用，空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對于C：∵(-35，45)?（4，3對于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點(diǎn)評：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐=134．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：5．異面直線的判定【知識點(diǎn)的認(rèn)識】（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理．6．直線與平面平行【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．7．直線與平面垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．8．平面與平面垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．9．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λ（a（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時(shí)，由a→?b→=0不能推出【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時(shí)，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），則分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點(diǎn)評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個(gè)向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量a→、b→、c不共面，那么對空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，11．直線與平面所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為