第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之圓與方程（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．若圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三個不同的點到直線l：ax+by＝0的距離為22，則直線lA．[π12，π4] B．[π122．若圓x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直線y=3x+2的距離為1的點有且僅有2個，則rA．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）3．設A（2，﹣1），B（4，1），則以線段AB為直徑的圓的方程是（）A．（x﹣3）2+y2＝2 B．（x﹣3）2+y2＝8 C．（x+3）2+y2＝2 D．（x+3）2+y2＝84．直線x﹣y+3＝0被圓（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦長等于（）A．62 B．3 C．23 D．5．若直線y＝x+b與曲線y＝3-4x-x2A．[1-22，1+22] B．[C．[﹣1，1+22] D．[1-6．O為原點，P在圓C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP與圓C相切，則|OP|＝（）A．2 B．23 C．13 D．7．直線x+ay﹣1＝0（a∈R）與圓x2+y2﹣4x＝0的交點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個8．圓心在直線y＝x上，經(jīng)過原點，且在x軸上截得弦長為2的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝2或（x+1）2+（y﹣1）2＝2二．多選題（共4小題）（多選）9．已知點A（﹣1，0），B（1，0），點P為圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+17＝0上的動點，則（）A．△PAB面積的最小值為8-B．AP的最小值為22C．∠PAB的最大值為5π12D．AB→?（多選）10．已知點P在⊙O：x2+y2＝4上，點A（3，0），B（0，4），則（）A．點P到直線AB的距離最大值是225B．滿足AP⊥BP的點P有2個 C．過直線AB上任意一點作⊙O的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN過定點（12，1） D．2|PA|+|PB|的最小值為2（多選）11．下列說法錯誤的是（）A．“a＝﹣1”是“直線x﹣ay+3＝0與直線ax﹣y+1＝0互相垂直”的充分必要條件 B．直線xcosα﹣y+3＝0的傾斜角θ的取值范圍是[0C．若圓C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0與圓C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0有且只有一個公共點，則a＝34 D．若直線y＝x+b與曲線y=3-4x-x2（多選）12．已知圓O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圓O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0交點為A，B，則（）A．圓O1和圓O2有兩條公切線 B．直線AB的方程為x﹣y+1＝0 C．圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圓O1上的點到直線AB的最大距離為2+三．填空題（共4小題）13．已知O為坐標原點，點P在圓（x+1）2+y2＝9上，則|OP|的最小值為．14．已知AC、BD為圓O：x2+y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，2），則四邊形ABCD的面積的最大值為．15．設圓C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，過圓心C作直線l交圓于A，B兩點，與y軸交于點P，若A恰好為線段BP的中點，則直線l的方程為．16．圓C的方程為（x﹣2）2+y2＝4，圓M的方程為（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則PE→?PF→的最小值為四．解答題（共4小題）17．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A（﹣1，1）和B（2，0），線段AB的垂直平分線交該圓于C、D兩點，且|CD|＝10（Ⅰ）求直線CD的方程；（Ⅱ）求圓P的方程．18．已知圓C1：x2+y2﹣4x﹣3＝0和C2：x2+y2﹣4y﹣3＝0．（1）求兩圓C1和C2的公共弦方程；（2）若圓C的圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，并且通過圓C1和C2的交點，求圓C的方程．19．已知點M（3，1），直線ax﹣y+4＝0及圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求過M點的圓的切線方程；（2）若直線ax﹣y+4＝0與圓相切，求a的值；（3）若直線ax﹣y+4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為23，求a20．平面直角坐標系xOy中，直線x﹣y+1＝0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為6．（1）求圓O的方程；（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；（3）設M，P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

2026年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之圓與方程（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BBADDACC二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDABDACABD一．選擇題（共8小題）1．若圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三個不同的點到直線l：ax+by＝0的距離為22，則直線lA．[π12，π4] B．[π12【考點】直線與圓的位置關系．【專題】壓軸題．【答案】B【分析】先求出圓心和半徑，比較半徑和22；要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by＝0的距離為22，則圓心到直線的距離應小于等于【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0整理為(x-∴圓心坐標為（2，2），半徑為32，要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by＝0的距離為22則圓心到直線的距離應小于等于2，∴|2a+2b|a∴(a∴-2-3∴2-直線l的傾斜角的取值范圍是[π故選：B．【點評】本題考查直線和圓的位置關系，圓心到直線的距離等知識，是中檔題．2．若圓x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直線y=3x+2的距離為1的點有且僅有2個，則rA．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】B【分析】求解圓的圓心到直線的距離，與圓的半徑比較，即可得到r的范圍．【解答】解：圓x2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圓心（0，﹣2），半徑為r，圓心到直線y=3x+2的距離d=|2+2|圓x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直線y=3x+2的距離為1的點有且僅有2可得d﹣1＜r＜d+1，即r∈（1，3）．故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，是中檔題．3．設A（2，﹣1），B（4，1），則以線段AB為直徑的圓的方程是（）A．（x﹣3）2+y2＝2 B．（x﹣3）2+y2＝8 C．（x+3）2+y2＝2 D．（x+3）2+y2＝8【考點】根據(jù)圓的幾何屬性求圓的標準方程．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓．【答案】A【分析】由題意求出直徑，進而求出半徑，再求中點坐標，進而求出圓的標準方程．【解答】解：弦長AB=(4-2)2+(1+1)2=22所以圓的方程（x﹣3）2+y2＝2，故選：A．【點評】本題考查求圓的方程，屬于基礎題．4．直線x﹣y+3＝0被圓（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦長等于（）A．62 B．3 C．23 D．【考點】直線及坐標軸被圓截得的弦及弦長．【專題】計算題．【答案】D【分析】先根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心到弦的距離即弦心距OD，然后根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦長的中點D，根據(jù)勾股定理求出弦長的一半BD，乘以2即可求出弦長AB．【解答】解：連接OB，過O作OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得：D為AB的中點，根據(jù)（x+2）2+（y﹣2）2＝2得到圓心坐標為（﹣2，2），半徑為2．圓心O到直線AB的距離OD=|-2-2+3|12+則在直角三角形OBD中根據(jù)勾股定理得BD=OB2-OD2=故選：D．【點評】考查學生靈活運用點到直線的距離公式解決數(shù)學問題，以及理解直線和圓相交所截取的弦的一半、圓的半徑、弦心距構成直角三角形．靈活運用垂徑定理解決數(shù)學問題．5．若直線y＝x+b與曲線y＝3-4x-x2A．[1-22，1+22] B．[C．[﹣1，1+22] D．[1-【考點】其他形式的圓和圓弧的方程．【專題】計算題；壓軸題；數(shù)形結合．【答案】D【分析】本題要借助圖形來求參數(shù)b的取值范圍，曲線方程可化簡為（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3），即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓，畫出圖形即可得出參數(shù)b的范圍．【解答】解：曲線方程可化簡為（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3），即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓，如圖依據(jù)數(shù)形結合，當直線y＝x+b與此半圓相切時須滿足圓心（2，3）到直線y＝x+b距離等于2，即|2-3+b|2=2解得b=1+2因為是下半圓故可知b=1+22（舍），故當直線過（0，3）時，解得b＝3，故1-故選：D．【點評】考查方程轉化為標準形式的能力，及借助圖形解決問題的能力．本題是線與圓的位置關系中求參數(shù)的一類常見題型．6．O為原點，P在圓C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP與圓C相切，則|OP|＝（）A．2 B．23 C．13 D．【考點】直線與圓的位置關系；圓與圓的位置關系及其判定．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】由題意利用勾股定理即可求解．【解答】解：O為原點，P在圓C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP與圓C相切，則|OP|=|OC|故選：A．【點評】本題考查了圓的切線長問題，屬于基礎題．7．直線x+ay﹣1＝0（a∈R）與圓x2+y2﹣4x＝0的交點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題．【答案】C【分析】判斷直線與圓的位置關系經(jīng)常利用圓的幾何性質來解決，即當圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交，故本題應先求圓心（2，0）到直線x+ay﹣1＝0的距離，再證明此距離小于半徑，即可判斷交點個數(shù)【解答】解：圓x2+y2﹣4x＝0的圓心O（2，0），半徑為2圓心O到直線x+ay﹣1＝0的距離為d=∴a2+1≥1，∴d≤1＜2即圓心到直線的距離小于半徑，∴直線x+ay﹣1＝0（a∈R）與圓x2+y2﹣4x＝0的交點個數(shù)是2故選：C．【點評】本題考查了圓的標準方程，直線與圓的位置關系的判斷，點到直線的距離公式，利用圓的幾何性質解決問題是解決本題的關鍵8．圓心在直線y＝x上，經(jīng)過原點，且在x軸上截得弦長為2的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝2或（x+1）2+（y﹣1）2＝2【考點】圓的標準方程．【專題】計算題；數(shù)形結合；分類討論．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圓的方程，使圓A滿足題意中的條件，分兩種情況考慮，當點A在第一象限時，根據(jù)垂徑定理即可得到OC的長度，根據(jù)直線y＝x上點的橫縱坐標相等，得到圓心A的坐標，根據(jù)勾股定理求出OA的長度即為圓A的半徑，根據(jù)求出的圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程；當點A′在第三象限時，同理可得圓心坐標和半徑，根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．【解答】解：畫出圓A滿足題中的條件，有兩個位置，當圓心A在第一象限時，過A作AC⊥x軸，又|OB|＝2，根據(jù)垂徑定理得到點C為弦OB的中點，則|OC|＝1，由點A在直線y＝x上，得到圓心A的坐標為（1，1），且半徑|OA|=2則圓A的標準方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；當圓心A′在第三象限時，過A′作A′C′⊥x軸，又|OB′|＝2，根據(jù)垂徑定理得到點C′為弦OB′的中點，則|OC′|＝1，由點A′在直線y＝x上，得到圓心A′的坐標為（﹣1，﹣1），且半徑|OA′|=2則圓A′的標準方程為：（x+1）2+（y+1）2＝2，綜上，滿足題意的圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2．故選：C．【點評】此題考查學生靈活運用垂徑定理化簡求值，考查了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想，是一道中檔題．需注意的事項是應注意此題有兩解，不要遺漏．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知點A（﹣1，0），B（1，0），點P為圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+17＝0上的動點，則（）A．△PAB面積的最小值為8-B．AP的最小值為22C．∠PAB的最大值為5π12D．AB→?【考點】直線與圓的位置關系；平面向量數(shù)量積的性質及其運算．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】BCD【分析】對于A，點P動到圓C的最低點M時，△PAB面積的最小值，利用三角形面積公式；對于B，當點P動到R點時，AP取到最小值，通過兩點間距離公式即可求解；對于C，當AP運動到與圓C相切時，∠PAB取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；對于D，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義進行求解．【解答】解：∵圓C方程可化為：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，∴圓心C（3，4），半徑r=22對于A選項，∵△PAB面積的最小值時，點P為圓C的最低點M，此時yM=4-22，S對于B選項，連接A，C交圓于R點，易知當點P動到R點時，AP取到最小值為AC-RC=(3+1)對于C，當AP運動到與圓C相切時，∠PAB取得最大值，設切點為Q，則sin∠CAQ=QC又sin∠CAN=CN∴∠PAB=∠CAQ+對于D選項，∵AB→當點P動到S點時，|AP又AB→?AP故選：BCD．【點評】本題考查圓的幾何性質，向量數(shù)量積的運算，化歸轉化思想，屬中檔題．（多選）10．已知點P在⊙O：x2+y2＝4上，點A（3，0），B（0，4），則（）A．點P到直線AB的距離最大值是225B．滿足AP⊥BP的點P有2個 C．過直線AB上任意一點作⊙O的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN過定點（12，1） D．2|PA|+|PB|的最小值為2【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式．【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解．【答案】ABD【分析】對A，求出直線AB的方程，算出圓心到該直線的距離，進而通過圓的性質判斷答案；對B，設點P（x，y），根據(jù)得到點P的軌跡方程，進而判斷該軌跡與圓的交點個數(shù)即可；對C，舉反例判斷即可；對D，設P（x，y），設存在定點C（0，t），使得點P在圓O上任意移動時均有|PC|=12|PB|，進而求出點P的軌跡方程，然后結合點P【解答】解：對A，lAB：x3+y4=1?4x+3y-12=0，則圓心到直線的距離對B，設點P（x，y），則x2+y2＝4，且AP→=(x-3，故AP→?BP→=x2+y2﹣3x﹣4y兩圓的圓心距為(0-32于是92＞52＞12對C，如圖，過A作切線時，直線MN顯然不經(jīng)過（12，1），故C錯誤；對D，即求2(|PA|+1設存在定點C（0，t），使得點P在圓O上任意移動時均有|PC|=1設P（x，y），則有x2+(y-t)2=12x2+(y-4)2，化簡得3x2+3y2+8（∵x2+y2＝4，則有2（1﹣t）y＝1﹣t2，即（1﹣t）（2y﹣1﹣t）＝0，∴t＝1，C（0，1），所以2|PA|+|PB|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=210故選：ABD．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉化能力，屬于難題．（多選）11．下列說法錯誤的是（）A．“a＝﹣1”是“直線x﹣ay+3＝0與直線ax﹣y+1＝0互相垂直”的充分必要條件 B．直線xcosα﹣y+3＝0的傾斜角θ的取值范圍是[0C．若圓C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0與圓C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0有且只有一個公共點，則a＝34 D．若直線y＝x+b與曲線y=3-4x-x2【考點】直線與圓的位置關系；圓與圓的位置關系及其判定；命題的真假判斷與應用；直線的一般式方程與直線的垂直關系．【專題】計算題；數(shù)形結合；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合直線垂直的等價條件可判斷A．利用已知直線方程求得斜率可得直線的傾斜角的范圍判斷B；利用兩圓相內(nèi)切或外切可求得a，可判斷C；曲線方程變形為（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，表示圓心A為（2，2），半徑為2的下半圓，數(shù)形結合可求b判斷D．【解答】解：對于A：當a＝1時，兩方程可化為x+y+3＝0，﹣x﹣y+1＝0，斜率分別為﹣1和﹣1，∴兩直線平行，∴充分性不成立，當直線x﹣ay+3＝0與直線ax﹣y+1＝0垂直時，則1×a﹣a×（﹣1）＝0，∴a＝0，∴必要性不成立，∴a＝﹣1是直線x﹣ay+3＝0與直線ax﹣y+1＝0垂直既不充分也不必要條件，故A錯誤；對于B：直線xcosα﹣y+3＝0的傾斜角θ，可得tanθ＝cosα∈[﹣1，1]，所以θ的取值范圍為[0，π4]]∪[3π4，π），所以對于C：圓C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0的圓心為（3，﹣2），半徑r＝1，圓C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0的圓心為（7，1），半徑R=50-a，（a＜50兩圓有且只有一個公共點，則兩圓外切和內(nèi)切，則(3-7)2+(-2-1)2=5＝1+解得a＝34或a＝14，故C錯誤；曲線方程變形為（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，表示圓心A為（2，2），半徑為2的下半圓，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：直線y＝x+b與曲線y=3-4x-x2有公共點，則直線y＝x+b與圓相切或過點（當直線y＝x+b與半圓相切時，|2-3+b|2=2，解得b＝1﹣2當直線過點（0，3）時，b＝3，則數(shù)b的取值范圍為[1﹣22，3]．故D正確．故選：AC．【點評】本題考查直線與直線的位置，圓與圓的位置，以及直線與圓的位置關系，屬中檔題．（多選）12．已知圓O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圓O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0交點為A，B，則（）A．圓O1和圓O2有兩條公切線 B．直線AB的方程為x﹣y+1＝0 C．圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圓O1上的點到直線AB的最大距離為2+【考點】圓方程的綜合應用．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由兩個圓的方程求出圓心的坐標和半徑，據(jù)此依次分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圓心為（1，0），半徑R＝2，圓O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2，其圓心為（0，1），半徑r=2依次分析選項：對于A，兩圓的圓心距d=2，有2-2＜2＜2+2，則兩圓相交，則圓O1對于B，圓O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圓O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0，聯(lián)立兩個圓的方程可得x﹣y+1＝0，即直AB的方程為x﹣y+1＝0，B正確；對于C，直AB的方程為x﹣y+1＝0，經(jīng)過圓O2的圓心，則線段AB為圓O2的直徑，故|PQ|≤|AB|，C錯誤；對于D，圓O1的圓心為（1，0），到直線AB的距離d=|1+1|2=2，圓O1上的點到直線AB的最大距離為d+R＝2故選：ABD．【點評】本題考查圓的方程的綜合應用，涉及圓與圓的位置關系，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．已知O為坐標原點，點P在圓（x+1）2+y2＝9上，則|OP|的最小值為2．【考點】直線與圓的位置關系．【專題】函數(shù)思想；轉化法；直線與圓；坐標系和參數(shù)方程；運算求解．【答案】2．【分析】由圓的參數(shù)方程可得P的坐標，再由兩點間的距離公式寫出|OP|，結合三角函數(shù)求最值．【解答】解：如圖，令x+1＝3cosθ，y＝3sinθ，得x＝3cosθ﹣1，y＝3sinθ，即P（3cosθ﹣1，3sinθ），∴|OP|=(3cosθ-1則當cosθ＝1時，|OP|有最小值為2．故答案為：2．【點評】本題考查圓的應用，考查圓的參數(shù)方程，考查運算求解能力，是基礎題．14．已知AC、BD為圓O：x2+y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，2），則四邊形ABCD的面積的最大值為5．【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設圓心到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d12+d22＝3，代入面積公式s=12AC×BD，使用基本不等式求出四邊形【解答】解：如圖連接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分別為E、F∵AC⊥BD∴四邊形OEMF為矩形已知OA＝OC＝2OM=3設圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d12+d22＝OM2＝3．四邊形ABCD的面積為：s=12?|AC|（|BM|+|MD從而：s=1當且僅當d12＝d22時取等號，故答案為：5．【點評】此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．解答關鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對角線長度之積的一半來計算．15．設圓C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，過圓心C作直線l交圓于A，B兩點，與y軸交于點P，若A恰好為線段BP的中點，則直線l的方程為y＝2x﹣1或y＝﹣2x+11．【考點】直線與圓相交的性質；直線的一般式方程與直線的性質．【專題】計算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意可設直線L的方程為y﹣5＝k（x﹣3），P（0，5﹣3k），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y-5=k(x-3)(x-3)2+(y-5)2=5，然后由方程的根與系數(shù)關系可得，x1+x2，x1x2，由A為PB的中點可得x2＝2【解答】解：由題意可得，C（3，5），直線L的斜率存在可設直線L的方程為y﹣5＝k（x﹣3）令x＝0可得y＝5﹣3k即P（0，5﹣3k），設A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立y-5=k(x-3)(x-3)2+(y-5)2=5消去y可得（1+k2）x2﹣6（由方程的根與系數(shù)關系可得，x1+x2＝6，x1x2=9∵A為PB的中點∴0+x22=x1即x把②代入①可得x2＝4，x1＝2，x1x2=9∴k＝±2∴直線l的方程為y﹣5＝±2（x﹣3）即y＝2x﹣1或y＝﹣2x+11故答案為：y＝2x﹣1或y＝﹣2x+11【點評】本題主要考查直線和圓的位置關系，方程的根與系數(shù)關系的應用，體現(xiàn)了方程的數(shù)學思想，屬于中檔題．16．圓C的方程為（x﹣2）2+y2＝4，圓M的方程為（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則PE→?PF→的最小值為【考點】直線和圓的方程的應用．【專題】計算題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由兩圓的圓心距|CM|＝5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則PE→?PF→的最小值是HE【解答】解：（x﹣2）2+y2＝4的圓心C（2，0），半徑等于2，圓M（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1，圓心M（2+5cosθ，5sinθ），半徑等于1．∵|CM|=(5sinθ)2+(5cosθ)∵PE→?PF→=|PE→|?|PF|→?cos∠EPF，要使PE如圖所示，設直線CM和圓M交于H、G兩點，則PE→?PF→|HC|＝|CM|﹣1＝5﹣1＝4，|HE|=|HC|2-|CE|2=16-∴cos∠EHF＝cos2∠MHE＝1﹣2sin2∠MHE=1∴HE→?HF→=|HE|?|HE|?cos∠EHF＝2故答案為：6．【點評】本題考查兩圓的位置關系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，判斷PE→?PF→四．解答題（共4小題）17．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A（﹣1，1）和B（2，0），線段AB的垂直平分線交該圓于C、D兩點，且|CD|＝10（Ⅰ）求直線CD的方程；（Ⅱ）求圓P的方程．【考點】圓的一般方程．【專題】直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接用點斜式求出直線CD的方程；（2）根據(jù)條件得知|PA|為圓的半徑，點P在直線CD上，列方程求得圓心P坐標，從而求出圓P的方程【解答】解：（1）直線AB的斜率k=-13，AB中點坐標為（12，∴直線CD的斜率為3，方程為y-12=3（x-12）即3x﹣y（2）設圓心P（a，b），則由點P在直線CD上得：3a﹣b﹣1＝0①…（8分）又直徑|CD|＝10，∴|PA|＝5∴（a+1）2+（b﹣1）2＝25②…（10分）由①②解得a=2b=5或∴圓心P（2，5）或P（﹣1，﹣4）…（12分）∴圓P的方程為（x﹣2）2+（y﹣5）2＝25或（x+1）2+（y+4）2＝25…（14分【點評】此題考查直線方程的點斜式、圓的標準方程的求法．18．已知圓C1：x2+y2﹣4x﹣3＝0和C2：x2+y2﹣4y﹣3＝0．（1）求兩圓C1和C2的公共弦方程；（2）若圓C的圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，并且通過圓C1和C2的交點，求圓C的方程．【考點】圓系方程；兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定．【專題】計算題；綜合法；直線與圓．【答案】（1）x﹣y＝0．（2）x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0．【分析】（1）將圓C1和C2的方程相減得公共弦的方程．（2）設此圓的方程為：x2+y2﹣4x﹣3+λ（x2+y2﹣4y﹣3）＝0，求出圓心坐標（21+λ，2λ1+λ），代入直線x﹣y﹣4＝0上，求解【解答】解：（1）將圓C1和C2的方程相減得：x﹣y＝0，此即為公共弦的方程．（2）因為所求的圓過兩已知圓的交點，故設此圓的方程為：x2+y2﹣4x﹣3+λ（x2+y2﹣4y﹣3）＝0，即（1+λ）（x2+y2）﹣4x﹣4λy﹣3λ﹣3＝0，即x2+y2-4x1+λ-由于圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，∴21+λ-2λ1+λ-4所求圓的方程為：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0．【點評】本題考查圓系方程的應用，兩個圓的位置關系以及圓的方程的求法，考查計算能力．19．已知點M（3，1），直線ax﹣y+4＝0及圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求過M點的圓的切線方程；（2）若直線ax﹣y+4＝0與圓相切，求a的值；（3）若直線ax﹣y+4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為23，求a【考點】直線與圓相交的性質．【專題】綜合題；直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）點M（3，1）在圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4外，故當x＝3時滿足與M相切，由此能求出切線方程．（2）由ax﹣y+4＝0與圓相切知|a-2+4|1+a2=（3）圓心到直線的距離d=|a+2|1+a2，l＝23，r＝2，由r2＝d2+（l2【解答】解：（1）∵點M（3，1）到圓心（1，2）的距離d=4+1=5＞∴點M在圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4外，∴當x＝3時滿足與M相切，當斜率存在時設為y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1＝0，由|k-2+1-3k|k2+1=2∴所求的切線方程為x＝3或3x﹣4y﹣5＝0．（5分）（2）由ax﹣y+4＝0與圓相切，知|a-2+4|1+a2=解得a＝0或a=43．（（3）圓心到直線的距離d=|a+2|1+a又l＝23，r＝2，∴由r2＝d2+（l2）2，解得a=-3【點評】本題考查圓的切線方程的求法和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離、兩點間距離等知識點的合理運用．20．平面直角坐標系xOy中，直線x﹣y+1＝0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為6．（1）求圓O的方程；（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；（3）設M，P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【考點】直線與圓的位置關系．【專題】綜合題．【答案】（1）圓O的方程為x2+y2＝2；（2）直線l的方程為x+y﹣2＝0；（3）是定值，設M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），x12+直線MP與x軸交點(x1y直線NP與x軸交點(x1ymn=x1故mn為定值2．【分析】（1）求出O點到直線x﹣y+1＝0的距離，進而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；（2）設直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程；（3）設M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），x12+y12=2，x22【解答】解：（1）因為O點到直線x﹣y+1＝0的距離為12，（2所以圓O的半徑為(1故圓O的方程為x2+y2＝2．（4分）（2）設直線l的方程為xa+yb=1(a＞0，b由直線l與圓O相切，得|ab|a2+b2DE當且僅當a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x+y﹣2＝0．（10分）（3）設M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），x12+直線MP與x軸交點(x1y直線NP與x軸交點(x1y2+mn=x1故mn為定值2．（16分）【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．平面向量數(shù)量積的性質及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質：設a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?c解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯誤；∵|a→?b→|≠|a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|a→|?【命題方向】本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．3．直線的一般式方程與直線的性質【知識點的認識】直線方程表示的是只有一個自變量，自變量的次數(shù)為一次，且因變量隨著自變量的變化而變化．直線的一般方程的表達式是ay+bx+c＝0．1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率為-（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?A1A2=B1B2≠C1C2；l1與l24．直線的一般式方程與直線的垂直關系【知識點的認識】1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1∥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率為-（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?A1A2=B1B2≠C1C2；l1與l25．點到直線的距離公式【知識點的認識】﹣點到直線距離：點（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離為：d=|A【解題方法點撥】﹣計算距離：1．代入直線方程：將點的坐標代入直線方程．2．計算絕對值：計算Ax0+By0+C的絕對值．3．計算模：計算法向量的模A24．求解距離：將絕對值與模相除，即得距離．【命題方向】﹣距離計算：考查點到直線的距離計算，可能涉及多種坐標系變換或應用．6．圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】可以是以單獨考點進行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標準方程作為基礎考點往往出現(xiàn)在關于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進行轉化．例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標準方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：設出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程．解答：設圓的標準方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5點評：本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關鍵是確定圓的半徑．例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圓的標準方程，半徑已知，只需找出圓心坐標，設出圓心坐標為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關于a與b的關系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標，根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．解答：設圓心坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d=|4a-3b|5=r化簡得：|4a﹣3b|＝5①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a=-∴圓心坐標為（2，1），則圓的標準方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故選：A點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學生靈活運用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程．例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（）A．1B．2C．2D．4分析：把圓的方程化為標準形式，即可求出圓的半徑．解答：圓x2+y2+2y＝1化為標準方程為x2+（y+1）2＝2，故半徑等于2，故選B．點評：本題考查圓的標準方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標準形式，是解題的關鍵．7．根據(jù)圓的幾何屬性求圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】﹣標準方程推導：考查如何從幾何屬性推導圓的標準方程，通常涉及基本的幾何知識和代數(shù)運算．8．圓的一般方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圓心坐標為（-D2，-E23．圓的一般方程的特點：（1）x2和y2系數(shù)相同，且不等于0；（2）沒有xy這樣的二次項．以上兩點是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．9．其他形式的圓和圓弧的方程【知識點的認識】﹣圓弧方程：