第八章二

重積分教學(xué)內(nèi)容和基本要求

理解二重積分的概念，及其性質(zhì),

掌握積分中值定理。掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)).重點(diǎn)與難點(diǎn)二重積分的計(jì)算方法,二重積分的定義引例主要內(nèi)容第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的性質(zhì)回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi表示小區(qū)間[xi,xi+1]的長,f(

i)xi表示小矩形的面積,λ為所有小區(qū)間長度的最大值.§8.1二重積分的概念與性質(zhì)多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容簡介

一元積分學(xué)是討論確定形式和式的極限，并用此思想得出了一些量的計(jì)算。

這種討論和式的極限的思想可以推廣到定義在區(qū)域上的多元函數(shù)的情形。

柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂1.曲頂柱體的體積一、引例曲頂柱體曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，一般z=f(x,y)在D上連續(xù)。以平面有界區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D為準(zhǔn)線，母線平行于z軸。

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法。

設(shè)有一立體.其底面是xOy

面上的區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y)0,連續(xù).Oyzxz=f(x,y)D如何求曲頂柱體的體積V.步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，

先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，

具體步驟見下頁:(i)

用曲線將D分成n個(gè)小區(qū)域D1,D2,…,Dn

,每個(gè)小區(qū)域Di都對應(yīng)著一個(gè)小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)連續(xù),小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(

i,

i)Di.小平頂柱體的高=f(

i,

i).若記

i=Di的面積.則小平頂柱體的體積=f(

i,

i)

i

小曲頂柱體體積

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)(iii)

因此,大曲頂柱體的體積

分割得越細(xì),則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得“無限細(xì)”,

則右端近似值會(huì)無限接近于精確值V.也就是(iv)

其中Di的直徑是指Di中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離.其中

(

i,

i)Di,

i=Di的面積.xyDi如圖

當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時(shí),平面薄板的質(zhì)量=面密度×面積.2.平面薄板的質(zhì)量M.

若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時(shí),薄板的質(zhì)量不能用上述公式算,應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M？(i)

用曲線將D分成n個(gè)小區(qū)域D1,D2,…,Dn

,

設(shè)一平面薄板,所占區(qū)域?yàn)镈,面密度

(x,y)0

連續(xù).(x,y)D.求該平面薄板的質(zhì)量M.0xyDDiDi的面積記作

i.0xyDDi

由于

(x,y)0連續(xù),從而當(dāng)Di很小時(shí),

(x,y)在Di上的變化不大,可近似看作

(x,y)在Di上是不變的.

從而可用算均勻薄板的質(zhì)量的方法算出Di這一小塊質(zhì)量的近似值.(ii)即,(

i,

i)Di,以

(

i,

i)作為Di這一小片薄板的面密度.從而,第i

片薄板的質(zhì)量mi

(

i,

i)

i(iii)故,平面薄板的質(zhì)量(iv)

設(shè)z=f(x,y)是定義在有界閉區(qū)域D

R2上的有界函數(shù).

將D任意分割成n個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域Di(i=1,2,…,n),其面積記為

i.(

i,

i)Di,作積f(

i,

i)

i,

二、二重積分的定義1.定義

若對任意的分法和任意的取法,當(dāng)

0時(shí),和式的極限存在且極限值都為I,則稱f(x,y)在D上可積,

記為f(x,y)

R(D),并稱此極限值

I為f(x,y)在D上的二重積分.記作

即積分區(qū)域被積函數(shù)面積微元二重積分符號(hào)積分變量積分和注1.

定積分二重積分區(qū)別在將小區(qū)間的長度

xi換成小區(qū)域的面積

i,

將一元函數(shù)f(x)在數(shù)軸上點(diǎn)

i

處的函數(shù)值f(

i)換成二元函數(shù)f(x,y)在平面上點(diǎn)(

i,

i)處的函數(shù)值f(

i,

i).可見,二重積分是定積分的推廣.注2.

若將D用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.(如圖)DiD則除邊界上區(qū)域外,Di的面積

i=xi

yi,故也將二重積分寫成是我們常用的寫法注3.

可以證明若f(x,y)在D上連續(xù),則f(x,y)在D

上可積,

若f(x,y)在D上有界,且在D內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn),或只在有限條曲線上不連續(xù),則f(x,y)可積.三、二重積分的性質(zhì)設(shè)D為有界閉區(qū)域,以下涉及的積分均存在.性質(zhì)1.

性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.若在D上有f(x,y)

g(x,y),則特別:(i)若在D上f(x,y)0,則(ii)這是因?yàn)?/p>

|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|積分后即得.性質(zhì)5.若在D上m

f(x,y)

M,則設(shè)

f(x,y)

C(D),則(

,

)D,使得性質(zhì)6.性質(zhì)7.1.二重積分的幾何意義(i)

z=f(x,y)0,(ii)

z=f(x,y)<0,(iii)=(D1上曲頂柱體體積)(D2上曲頂柱體體積)設(shè)x,y

在D上可積,則內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.二重積分的幾何意義曲頂柱體體積的代數(shù)和GoodBye一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分由二重積分的幾何意義知,當(dāng)f(x,y)0時(shí),如圖若點(diǎn)x處截面面積為A(x),

則體積xy0axA(x)§8.2二重積分的計(jì)算(1)設(shè)積分區(qū)域D是由兩條平行于y軸的直線x=a,x=b

及兩條曲線y=y1(x),y=y2(x)圍成.如圖即,D:y1(x)

y

y2(x),a

x

b稱為x—型區(qū)域.特別情形是:A、B退縮成一點(diǎn),E、F退縮成一點(diǎn).xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由幾何意義知,以D為底的曲頂柱體體積V.如圖.過點(diǎn)x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f

(x0,y)為曲邊的曲邊梯形.由定積分的幾何意義,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab從而,故右端稱為先對y,再對x的二次積分(累次積分).計(jì)算原則:

由里到外.

即先將x看作常數(shù),以y

為積分變量,求里層積分.

得到的結(jié)果是只含x,不含y

的函數(shù)式,再求外層積分(以x為積分變量).注1.

公式雖是在條件f(x,y)0下得到的,但對一般的f(x,y)都成立,只須D是x—型區(qū)域即可.注2.

習(xí)慣上常將右端的二次積分記作即ODx+y=111xy(2)若D:x1(y)

x

x2(y),c

y

d,稱為y—型區(qū)域,

則類似二重積分可化為先對x,再對y的二次積分.即xy0dACBEFx=x2(y)x=x1(y)DoxycdDoxycdDoxycdD以上都是

y—型區(qū)域(3)若D既是x—型區(qū)域,又是y—型區(qū)域.

比如x0yx0yx0y則既可先對x積分,又可先對y積分.等等,

當(dāng)用按某種次序計(jì)算二重積分比較麻煩時(shí),改換積分次序有可能會(huì)使計(jì)算變得簡單.此時(shí),o-12(1,-1)(4,2)xyx=y+2x=y2D(4)若D的形狀較復(fù)雜,既不是x—型區(qū)域,也不是y—型區(qū)域.xy0D1D2D3D

則可用一些平行于x

軸和平行于

y

軸的直線將其分成若干塊,使每一塊或?yàn)閤—型,

或?yàn)閥—型,

分塊積.如圖xy0y=xy=x2x

為確定累次積分的上、下限.作與y軸同向的射線,從下至上穿過D.則y是由下方的曲線y=x2變到上方的曲線y=x的.解:

先畫區(qū)域D的圖形.法1.

先對y積分.里層積分的下限為x2,上限為x.由于該射線變化范圍是[0,1].因此,外層積分下限為0,上限為1.即：練1xy0y=xy=x2xy0y=xy=x211法2.

先對x

積分.作與x軸同向射線,從左至右穿過D.y則x是從左方曲線x=y變到右方曲線y=x2.即故里層對x

積分的下限為y,上限為而該射線的變化范圍是[0,1].故外層對y的積分下限為0,上限為1.xy0y=xy=x211結(jié)論：不論是先對x

積分還是先對y

積分

里層積分的上、下限總是曲線的函數(shù)表達(dá)式,而外層積分的上、下限是點(diǎn)的坐標(biāo).且上限

下限.稱為從里到外，線—線，點(diǎn)—點(diǎn)，例3

關(guān)于分塊函數(shù)在D上的積分.其中D：0

x1,0

y1解：積分區(qū)域如圖記f(x,y)=|y–x|=y–x,當(dāng)y

x時(shí),x–y,當(dāng)y<x時(shí),

且區(qū)域D1:y

x和D2:y<x分處在直線y=x的上，下方.故，yx011DD2y

=xD1原式=注：分塊函數(shù)的積分要分塊(區(qū)域)來積.帶絕對值、max、min以及取整的函數(shù)是分塊函數(shù).yx0D211y

=xD1D

右邊的二次積分并不是兩個(gè)定積分之積，計(jì)算時(shí)必須由里至外，這當(dāng)然較繁瑣.但在某些情形下，可將右端化為兩個(gè)定積分之積.關(guān)于二重積分計(jì)算的其它問題在將二重積分化為二次積分的公式例4

設(shè)D：a

x

b,c

y

d.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可積，則yx0dcab證：比如，只須要求里層積分的被積函數(shù)f2(y)和上、下限都與x無關(guān)即可.關(guān)于利用對稱性積分的問題(1)若D的圖形關(guān)于x軸對稱.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中點(diǎn)(x,–y)與(x,y)關(guān)于x軸對稱，即函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù).(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的圖形關(guān)于y軸對稱.yx0D2D1若f(–x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的關(guān)于y軸的對稱點(diǎn).(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，則ABCD提交例5則單選題1分yxoD2D1(3)若D的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.若f(-x,-y)=-f(x,y).其中

(-x,-y)是(x,y)的關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).(ii)f(-x,-y)=f(x,y)，則則如圖所示,區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,對于被積函數(shù),有yxoD2D1所以(4)若D的圖形關(guān)于直線y=x對稱.則有yxoD2D1oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xxy例8

設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換D1D2oy-111解：由于是“積不出”的，

要改換積分次序先畫積分區(qū)域D的圖形.由積分表達(dá)式知，D：y

x1,0

y1畫曲線x=y

和x=1，直線y=0,y=1如圖：故原式=yx0Dy

=x練2改換解：寫出D的表達(dá)式，畫D的圖形改為先對x再對y的積分yx0D24練3三、二重積分的換元法考慮若作變量代換x=g(u,v),y=

(u,v),應(yīng)如何計(jì)算作了變量代換后的二重積分？定理1.

設(shè)變換x=g(u,v),y=h(u,v)時(shí)uov平面上的有界閉區(qū)域D*一一對應(yīng)地變成xoy平面上的有界閉區(qū)域D，且滿足若f(x,y)可積，則(1)x=g(u,v),y=h(u,v)C1(D*)三、用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分xy

Dr=r(

)0稱為“曲邊三角形”或“曲邊扇形”曲邊的極坐標(biāo)方程為r=r(

).D的最小極角為

，最大極角為

.此時(shí)，D*:0

r

r(

),

.從而：0y

x12

y=x

D特例：y0x

r=r(

)0xy

r=r(

)稱為“極點(diǎn)位于D的邊界上”的情形.DD(2)若積分