2/25.3二元一次方程組的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案第1課時雞兔同籠1.能根據(jù)“雞兔同籠”及類似古算題的題意，找出等量關(guān)系，列出二元一次方程組并求解，掌握用二元一次方程組解決實際問題的基本方法.2.通過對比算術(shù)推理、一元一次方程、二元一次方程組三種解法，理解二元一次方程組在解決含兩個未知量問題時的優(yōu)勢，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型思想.掌握用二元一次方程組解決“雞兔同籠”及類似實際問題的步驟（審、設(shè)、列、解、驗、答）；能從實際問題中準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，列出二元一次方程組.理解二元一次方程組設(shè)元的思路，體會其與一元一次方程設(shè)元的區(qū)別與優(yōu)勢；準(zhǔn)確解讀古算題的文字表述，提煉復(fù)雜情境中的等量關(guān)系..第一環(huán)節(jié)自主學(xué)習(xí)新知自研：自研課本P120-P121頁的內(nèi)容，思考：【學(xué)法指導(dǎo)】情景引入《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書,許多問題淺顯有趣,其中下卷第31題”雉兔同籠”流傳尤為廣泛,飄洋過海流傳到了日本等國.●探究一：應(yīng)用二元一次方程組解古算題◆1.“雞兔同籠”題為:今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?提示：“上有三十五頭”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?你能算出雞兔各幾只嗎？譯文：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳.問籠子里雞和兔各有多少只?思考：已知條件是什么？所求問題是什么？隱藏了什么條件？已知條件是：35個頭，94只腳；所求問題是：雞和兔的數(shù)量；隱藏的條件是：雞有2只腳，兔有4只腳.◆2.小組討論：你能用幾種方法解決這一問題？【解法一】算術(shù)推理如果都是雞，35頭應(yīng)該有70只腳，實際有94只腳，多出24只腳，應(yīng)該是兔子的，每只兔子多兩只腳，所以兔子應(yīng)該有12只.所以雞有35－12＝23(只)（列式算）.【解法二】用一元一次方程求解思考：趣題中有怎樣的等量關(guān)系？解：設(shè)有雞x只，則有兔（35－x）只．由題意得2x＋4×（35－x）＝94．解得：x＝23．所以兔的只數(shù)為：35－x＝12．答：有雞23只，兔12只．【解法三】用二元一次方程組求解設(shè)雞有x只，有兔y只，雞兔合計只數(shù)xy35腳數(shù)2x4y94根據(jù)表格你能列出方程嗎？【解答】解：設(shè)有雞x只，兔y只．由題意得：x+y=5解得：x=23答：有雞23只，兔12只.對比三種解法，總結(jié)優(yōu)勢：◆3.小組討論：“算術(shù)法、一元一次方程法、二元一次方程組法，這三種方法各有什么優(yōu)缺點？”總結(jié)：算術(shù)法：優(yōu)點是無需設(shè)未知數(shù)，缺點是邏輯推理復(fù)雜，僅適用于簡單問題；一元一次方程法：優(yōu)點是比算術(shù)法更系統(tǒng)，缺點是需用一個未知量表示另一個未知量，列方程時易出錯；二元一次方程組法：優(yōu)點是直接設(shè)兩個未知量，更貼合問題的數(shù)量關(guān)系，列方程更直觀，缺點是需要解方程組，計算步驟稍多，但整體更易理解和掌握.總結(jié)：“當(dāng)實際問題中含有兩個未知量，且有兩個等量關(guān)系時，用二元一次方程組解決更便捷.”◆4.總結(jié)歸納：用二元一次方程組解決實際問題的步驟：審題：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；設(shè)元：用字母表示題目中的未知數(shù)（設(shè)兩個未知數(shù)）；列方程組：根據(jù)兩個等量關(guān)系列出方程組；解方程組：利用代入消元法或加減消元法解出未知數(shù)的值；檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.【例題導(dǎo)析】自研下面典例的內(nèi)容，回答問題：典例分析例1：今有甲、乙懷錢，各不知其數(shù).甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等.問甲、乙懷錢各幾何？（選自《張丘建算經(jīng)》）題目大意：甲、乙兩人各帶了若干錢.如果甲得到乙的10錢，那么甲的錢數(shù)比乙剩余的錢數(shù)多5倍；如果乙得到甲的10錢，那么兩人錢數(shù)相等.甲、乙兩人各帶了多少錢?【分析】等量關(guān)系：甲+10=5（乙-10），乙+10=甲-10.【解答】解：設(shè)甲的錢數(shù)為x，乙的錢數(shù)為y，根據(jù)題意，得x+10=5解這個方程組，得：x=38答：甲帶了38錢，乙?guī)Я?8錢.例2隔壁聽到人分銀，不知人數(shù)不知銀.只知每人五兩多六兩，每人六兩少五兩，問你多少人數(shù)多少銀？【分析】等量關(guān)系：人數(shù)×5=銀兩數(shù)﹣6；人數(shù)×6=銀兩數(shù)+5【解答】解：設(shè)人數(shù)為x人，銀兩為y兩，依題意得：5x=y-6解得：x=11答：人數(shù)為11人，銀兩為61兩.第二環(huán)節(jié)合作探究小組群學(xué)A.探討如何列二元一次方程解決古代數(shù)學(xué)問題，重點探討如何找等量關(guān)系；B.交流例題的解題思路和易錯點.C.相互檢查導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的完成書寫情況并給出等級評定.1．《周髀算經(jīng)》是古老的數(shù)理天文學(xué)著作，書中記載了一種用于度量日影長度的圭表．已知圭的長度比表的長度長5尺，且圭和表的長度之和為21尺，設(shè)圭的長度為x尺，表的長度為y，則可列方程組為（B）D.&x+D.&C.B.A.2.古代勞動人民在實際生活中有這樣一個問題：“耠子耬六十三，百根腿地里鉆，兩者各幾何？”其大意為：耠子和耬共有63個，共有100條腿，問有多少個耠子，多少個耬？（耠子有一條腿，耬有兩條腿）設(shè)耠子有x個，耬有y個，則可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組為x+3.《算法統(tǒng)宗》是我國明代著名數(shù)學(xué)家程大位的數(shù)學(xué)名著，它里面有這樣一道題：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少間客房，來了多少房客？若設(shè)該店有客房x間，房客y人，根據(jù)題意，可列方程組為7x4.我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)某商人準(zhǔn)備用28兩銀子買牛和羊(要求既有羊又有牛，且銀兩須全部用完)，且羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的2倍，請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能．（1）解：設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依題意得：&5&5解得：，答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；解：（2）設(shè)購買m頭牛，n只羊，依題意得：3m+2n=28，∴&m=2∴∵m、n均為正整數(shù)，∴m為2的倍數(shù)，∵羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的2倍， ∴n≥2m，或&商人有2種購買方法：①購買2頭牛，11只羊；②購買4頭牛，8只羊．題型一雞兔同籠問題1．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)）中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有16頭，下有44足，問雞兔各幾何．”設(shè)雞x只，兔y只，可列方程組（）A．x+y=162x+4y=44 B．x+y=16C．x+y=164x+4y=44 D．【分析】根據(jù)“上有16頭，下有44足”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵上有16頭，∴x+y＝16；∵下有44足，∴2x+4y＝44．∴根據(jù)題意可列方程組x+y=162x+4y=44故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．如圖，每只蜻蜓有6條腿，2對翅膀，每只蟬有6條腿，1對翅膀．現(xiàn)有若干蜻蜓和蟬，共有42條腿，10對翅膀，則蜻蜓和蟬的只數(shù)分別是（）A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2【分析】設(shè)蜻蜓是x只，蟬是y只，根據(jù)現(xiàn)有若干蜻蜓和蟬，共有42條腿，10對翅膀，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)蜻蜓是x只，蟬是y只，由題意得：6x+6y=422x+y=10解得：x=3y=4故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“方程”章中有一問題：“今有牛五、羊二，值金十兩；牛二、羊五，值金八兩．問牛值金幾何？”原文翻譯為：現(xiàn)有牛5頭，羊2頭，價值金10兩；牛2頭，羊5頭，價值金8兩．問：一頭牛值金（）兩．A．35 B．107 C．2021 【分析】設(shè)一頭牛值金x兩，一頭羊值金y兩，根據(jù)牛5頭，羊2頭，價值金10兩；牛2頭，羊5頭，價值金8兩得：5x+2y=102x+5y=8【解答】解：設(shè)一頭牛值金x兩，一頭羊值金y兩，根據(jù)題意得：5x+2y=102x+5y=8解得x=34∴一頭牛值金3421故選：D．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組．4．雞兔同籠，是中國古代著名典型趣題之一，大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題：“今有雉兔同籠，上有20頭，下有54足，問雉、兔各幾何？”翻譯過來就是：雞和兔在同一個籠子里，數(shù)一數(shù)共有20個頭，54條腿，問雞和兔各幾只？（列方程組解答）【分析】設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)“雞和兔在同一個籠子里，數(shù)一數(shù)共有20個頭，54條腿”，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意得：x+y=202x+4y=54解得：x=13y=7答：雞有13只，兔有7只．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．5．我國古代數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中有著名的“雞兔同籠”問題，其原文為“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”．其大意是“現(xiàn)有若干只雞和若干只兔放在一個籠子里，從上面數(shù)共有35個頭，從下面數(shù)共有94只腳，問籠子里雞和兔各有多少？請你用所學(xué)的知識進(jìn)行解答．【分析】設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意：從上面數(shù)共有35個頭，從下面數(shù)共有94只腳，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意得：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：雞有23只，兔有12只．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型二和、差、倍分問題6．現(xiàn)有100元和20元的人民幣共33張，總面額1620元．則其中面額100元的人民幣有（）A．12張 B．14張 C．20張 D．21張【分析】根據(jù)“有100元和20元的人民幣共33張，總面額1620元”可得相應(yīng)的方程組．【解答】解：設(shè)100元的人民幣為x張，20元的人民幣y張，根據(jù)題意得：x+y=33100x+20y=1620解得：x=12y=21即面額100的人民幣有12張．故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題干信息找出等量關(guān)系并據(jù)此列式計算是解題的關(guān)鍵．7．有大小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)貨15.5噸，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)貨35噸，那么3輛大貨車與5輛小貨車一次可以運(yùn)貨噸．【分析】設(shè)1輛大貨車一次可以運(yùn)貨x噸，1輛小貨車一次可以運(yùn)貨y噸，根據(jù)“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)貨15.5噸，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)貨35噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入（3x+5y）中即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)1輛大貨車一次可以運(yùn)貨x噸，1輛小貨車一次可以運(yùn)貨y噸，依題意得：2x+3y=15.55x+6y=35解得：x=4y=2.5∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，∴3輛大貨車與5輛小貨車一次可以運(yùn)貨24.5噸．故答案為：24.5．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．開學(xué)初樂樂用自己積攢的零用錢購買一些文具，他先花了零用錢的13買了一支鋼筆，接著又用剩下零用錢的34買了一個全自動削筆機(jī)，已知這個全自動削筆機(jī)比這支鋼筆貴了【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用及分?jǐn)?shù)的計算，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)樂樂積攢的零用錢為x元，則一支鋼筆花了13x元，全自動削筆機(jī)花了1-1【解答】設(shè)樂樂積攢的零用錢為x元，則一支鋼筆花了13x元，全自動削筆機(jī)花了又這個全自動削筆機(jī)比這支鋼筆貴了21元，所以12x-1一支鋼筆花了13答：樂樂購買這支鋼筆花了42元錢．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的長度是它的13，另一根露出水面的長度是它的15，兩根鐵棒的長度之和為【分析】設(shè)較長鐵棒的長度為xcm，較短鐵棒的長度為ycm．因為兩根鐵棒之和為55cm，故可得方程：x+y＝55，又知兩棒未露出水面的長度相等，又可得方程23x=4【解答】解：設(shè)較長鐵棒的長度為xcm，較短鐵棒的長度為ycm，由題意得：x+y=552解得：x=30y=25答：較長鐵棒的長度為30cm，較短鐵棒的長度為25cm．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．10．北大附中暢春園校區(qū)教學(xué)樓有4層，其中初一、初二的班級教室都在2﹣4層，共有35個班，1200名學(xué)生．進(jìn)出教學(xué)樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．周一早上參加升旗儀式時，各班從教室出發(fā)，如果通過兩道正門和一道側(cè)門走到操場，那么4分鐘可以集合完畢；如果通過兩道側(cè)門和一道正門走到操場，那么5分鐘可以集合完畢（出門跑到操場指定位置的時間忽略不計）．求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少人？【分析】設(shè)一道正門平均每分鐘可以通過x人，一道側(cè)門平均每分鐘可以通過y人，根據(jù)兩種假設(shè)列方程組求解即可．【解答】解：設(shè)一道正門平均每分鐘可以通過x人，一道側(cè)門平均每分鐘可以通過y人，根據(jù)題意得4(2x+y)=12005(x+2y)=1200解得x=120y=60答：一道正門平均每分鐘可以通過120人，一道側(cè)門平均每分鐘可以通過60人．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，仔細(xì)審題，找出題目的已知量和未知量，設(shè)兩個未知數(shù)，并找出兩個能代表題目數(shù)量關(guān)系的等量關(guān)系，然后列出方程組求解即可．題型三盈不足問題11．閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細(xì)數(shù)，鴉樹各幾何？”大意是：“一群烏鴉在樹上棲息，若每棵樹上有3只，則5只沒地方去，若每棵樹上有5只，則多了一棵樹．”設(shè)烏鴉x只，樹y棵．依題意可列方程組（）A．3y+5=x5(y-1)=x B．3x+5=yC．3y+5=x5y=x-5 D．【分析】直接利用已知表示出烏鴉的數(shù)量進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)烏鴉x只，樹y棵．依題意可列方程組：3y+5=x5(y-1)=x故選：A．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等式是解題關(guān)鍵．12．在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（）A．7x+7=y9(x-1)=y B．7x+7=yC．7x-7=y9(x-1)=y D．【分析】根據(jù)“如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住，∴7x+7＝y(tǒng)；∵如果每一間客房住9人，那么就空出一間房，∴9（x﹣1）＝y(tǒng)．∴根據(jù)題意可列方程組7x+7=y9(x-1)=y故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．13．我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩；則①人數(shù)為人；②銀子共有兩．【分析】設(shè)有x人，y兩銀子，列出方程組，解方程組即可求解．【解答】解：設(shè)有x人，y兩銀子，由