炎德·英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體2026屆高三年級1月聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號

涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答

案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

1.全集U={—3,—2,—1,0},A={-1,0},則CuA=

A.B.{-2}C.{-3}D.(-3,-2}

2.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z,若z=1—2i,則z=

A.1—2iB.1+2iC.2—iD.2+i

3.平面向量a=(3,一1),b=(x,1),且a—b=(1,—2),則x=

A.-1B.2C.√5D.3

4.函數(shù)f(x)=e,若f(x2+2)<f(3),則x的取值范圍為

A.(一2,2)B.(一2,-1)

C.(一1,1)D.(1,2)

5.正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長為2,側(cè)棱PA與底面ABCD所成角為45°,則該四棱錐的體

積為

AB.2√2CD.4√2

6.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則w的最小值為

AB.1CD.2

7.橢圓的左、右頂點(diǎn)為A?,A?,橢圓C的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是橢圓C上異于A?,A?

的一動點(diǎn)，過F作直線A?P的垂線，垂足為M,若橢圓C的離心率為,三角形A?A?M的面積

最大值為6,則橢圓C的方程為

ABCD.

數(shù)學(xué)試題第1.頁(共5頁)

1

8.函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足：當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，且f(x+1)=

f(1—x),f(x+2)=f(x—2),若函數(shù)g(x)=f(x)-|log。(x+1)|,(a>0且a≠1)共有6個(gè)

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.[310,14]B.(310,314)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a?=12,a?+as=a?+10,則

A.a?=10

B.公差d=-2

C.a?=—8

D.S,的最大值為S?或S?

10.拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若點(diǎn)P(1,2)在拋物線C上，過F點(diǎn)的直線I′交拋物

線C于A,B兩點(diǎn)，則

A.p=2

B.|PF|=2

C.圓x2+y2=5與準(zhǔn)線l交于M,N兩點(diǎn)，則三角形FMN的面積為8

D.以FA為直徑的圓與y軸只有一個(gè)公共點(diǎn)

11.如圖，在正三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=1,AA?=2,E,F分別在側(cè)面AA?B?B和側(cè)面

AA?C?C內(nèi)運(yùn)動(含邊界),點(diǎn)A?在平面AEF上的射影H在△AEF內(nèi)(含邊界),直線AA?

與平面AEF所成的角為30°.則

A.正三棱柱ABC-A?B?C?的體積為

B.正三棱柱ABC-A?B?C?的外接球的體積為π

C.H點(diǎn)到棱AA?的距離為√3

D.若直線BH與平面ABC所成的角為θ,則tanθ的最大值為3(2+√3)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數(shù)f(x)=3x+lnx在點(diǎn)P(xo,yo)處的切線斜率為4,則xo=·

13.從0,1,2,…,9這10個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，其中小于329的共有

個(gè).

數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)

2

14.數(shù)列{an}滿足an=2n—1,數(shù)列{bn}滿足b?=3,b?+1=2b+1.將{an}中的項(xiàng)按從小到大的順

序插人{(lán)b,}中，且在任意的b,bk+1之間插入2k—1項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列-{cn3:b1,:aj:;b2,

a?,a?,an,b?,…,設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Tn,則T10=.(請用數(shù)字作答).

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,

(1)證明：b=2c;

(2)若a=√7c,求內(nèi)角A的大小.

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD為等腰三角形，PD上底面

ABCD,AB//CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4,PC=2√5.,M為棱PC

的中點(diǎn).

(1)證明：BM//平面PAD;

(2)求平面PDM和平面DMB-所成夾角的正弦值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共5頁)

3

17.(本小題滿分15分)

函數(shù)f(x)=a(x+1)—lnx.

(1)若a=e,求f(x)的極小值；

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，證明：xe+f(?)≥0.

18.(本小題滿分17分)

某人工智能研發(fā)公司為了開拓新產(chǎn)品市場，從最新研發(fā)的經(jīng)典A型和卓越A+型兩款機(jī)器人

中(卓越A+型是A型的優(yōu)化版),隨機(jī)各抽取30臺進(jìn)行越野駕駛性能對比測試，測試在同等

環(huán)境中進(jìn)行，評定結(jié)果分為優(yōu)秀和良好兩種.得到了如下數(shù)據(jù)：經(jīng)典A型優(yōu)秀為7臺，卓越A+

型優(yōu)秀為20臺.

(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩款機(jī)器人的測試

結(jié)果是否與越野駕駛性能優(yōu)化有關(guān).

測試結(jié)果

款類總計(jì)

優(yōu)秀良好

A+型2030

A型730

總計(jì)

(2)該公司為了進(jìn)一步測試卓越A+型機(jī)器人的漢語智能性能，組織機(jī)器人隊(duì)與人類隊(duì)(母語

為漢語)進(jìn)行詩詞搶答賽.每局比賽只有勝和負(fù)兩種情況(無平局),每局人類戰(zhàn)勝機(jī)器人

的概率為·,勝者記2分，負(fù)者記1分.每個(gè)挑戰(zhàn)者只能挑戰(zhàn)一局，每局勝負(fù)不受其他因素

的影響.

(i)求三局比賽中，人類隊(duì)累計(jì)得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)若采用“比賽賽滿(2n—1)局，勝方至少獲得n局勝利”的賽制，人類隊(duì)取勝的概率為

A(n);若采用“比賽賽滿(2n+1)局，勝方至少獲得(n+1)局勝利”的賽制，人類隊(duì)取勝

的概率為A(n+1),比較A(n)與A(n+1)的大小，并說明其統(tǒng)計(jì)意義.

數(shù)學(xué)試題第4頁(共5頁)

4

參考公式

α0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

19.(本小題滿分17分)

雙曲線(的一條漸近線為l?:y=x,點(diǎn)B(5,4)在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若一條直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線

為雙曲線的切線，該公共點(diǎn)為切線的切點(diǎn).設(shè)雙曲線C在切點(diǎn)N處的切線為l,求切線l與

雙曲線的兩漸近線所圍成的三角形的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l?的對稱點(diǎn)為R,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B′,雙曲線上的動點(diǎn)M與B′,B

不重合，且動直線MB與直線OR相交于點(diǎn)P,動直線MB′與直線OR相交于點(diǎn)P'.求證：

存在實(shí)數(shù)λ,使得|OR|2=λ|OP|·|OP′|,并求出實(shí)數(shù)λ的值.

數(shù)學(xué)試題第5頁(共5頁)

5

炎德·英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體2026屆高三年級1月聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

一、二、選擇題

題號1234567891011

答案DBBCCACCABCABDAD

1.D【解析】由題意，U={-3,—2,—1,0},又A={-1,0},所以CA={-3,—2}.故選：D.

2.B【解析】由z=1—2i,故z=1+2i,故選：B.

3.B【解析】因?yàn)閍=(3,-1),b=(x,1),所以a—b=(3-x,-1-1)=(1,—2),所以x=2.故選：B.

4.C【解析】因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，由f(x2+2)<f(3),

所以x2+2<3,所以x2-1<0,解得-1<x<1.故選：C.

5.C【解析】如圖，正四棱錐P-ABCD中，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,連接PO,

則PO⊥平面ABCD,則∠PAO為PA與底面ABCD所成角，且∠PAO=45°,

所以PO=PAsin45°=√2,且AC=2OA=2OP=2√2,所以AB=2,

所以該四棱錐的體積為.故選C.

6.A【解析】函數(shù))(w>0)的圖象關(guān)于直線對稱，

A

所以,k∈Z,得,k∈Z,因?yàn)閣>0,

所以當(dāng)k=0時(shí)，w取最小值，為故選：A.

7.C【解析】因?yàn)锳?M⊥MF,所以點(diǎn)M在以A?F為直徑的圓上，所以A?A?邊上的高為半徑時(shí)，△A?A?M的面積

最大，即

又因?yàn)?即,所1,解得a=2√2,所以c=√2,得b=√a2—c2=√6,故橢圓C的方程為

.故選：C.

8.C【解析】由得

因?yàn)閒(x+1)=f(1-x),所以函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

因?yàn)閒(x+2)=f(x—2),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x),

所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).又函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，且值域?yàn)閇-3,3],函數(shù)y=

log。(x+1)|在區(qū)間(一1,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-1時(shí)y=|og。(x+1)|→+∞,

當(dāng)x=0時(shí)y=|log.1|=0.函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f(x)圖象與函數(shù)y=|log(x+1)|,(a>0,a≠1)圖

象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).不妨設(shè)a>1,作出函數(shù)y=f(x)與y=|log(x+1)|的圖象如下：

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-|log(x+1)|,(a>0,a≠1)共有6個(gè)零點(diǎn)，

6

所以當(dāng)a>1,x>0時(shí)，得所以√10<a<314,

當(dāng)0<a<1,x>0時(shí)，得所以

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(310,3√14)U.故選：C.

9.ABC【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,

對于A:因?yàn)閍?+a?=a?+a?=a?+10,所以a?=10,故A正確；

所以a?—a?=d=-2,故B正確；

對于C:a?=a?+(11-1)d=12+10×(-2)=-8,故C正確；

對于D:因?yàn)樗?≤n≤7,可知數(shù)列{a,}的前7項(xiàng)非負(fù)，所以S,的最大值為S?或S?,故D

錯(cuò)誤；故選：ABC.

10.ABD【解析】對于A:由點(diǎn)P(1,2)在拋物線C上，得4=2p.解得p=2,故A正確；

對于B:,故B正確；

對于C:直線l:x=-1交圓x2+y2=5于點(diǎn)M(-1,2),N(-1,—2),又F(1,0),則三角形FMN的面積為

=4,故C錯(cuò)誤；

對于D:設(shè)A(4a2,4a),根據(jù)拋物線定義可知|FA|=xA+1=4a2+1,又以FA為直徑的圓的半徑為

,而線段FA的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為,因此以FA為直徑的圓與y軸相切.故D正確；故選：ABD.

11.AD【解析】對于A:因?yàn)樵谡庵鵄BC-A?B?C?中，AB=1,AA?=2,所以正三棱柱ABC-A?B?C?V

故A正確；

對于B:設(shè)正三棱柱ABC-A?B?C?的外接球的球心為O,則外接球的半經(jīng)為,所以

正三棱柱ABC-A?B?C?的外接球的體積為,故B錯(cuò)誤；

對于C,D:因?yàn)辄c(diǎn)H為A?在平面AEF上的射影，所以A?H平面AEF,連接AH,

圖1圖2圖3

則A?H⊥AH,故H在以AA?為直徑的球面上.又AA,與平面AEF所成的角為30°,

所以∠HAA?=30°,過H作HO?⊥AA?于點(diǎn)O?,如圖1所示，則HA?=1,HA=√3,,所以H點(diǎn)

到棱AA?的距離為,故C錯(cuò)誤；所以H在如圖2所示的圓錐AO?的底面圓周上，又H在△AEF內(nèi)(含邊界),故

H在三棱柱ABC-A?B?C?及其內(nèi)部，其軌跡是以O(shè)?為圓心，O?H為半徑的圓中圓心角為60°的圓弧，且H在底面

ABC上的射影H′的軌跡(以A為圓心為半徑的一段圓弧)如圖3所示，連接BH′,易知直線BH與平面ABC所

成的角θ=∠且,故當(dāng)BH′最小時(shí)，tanθ最大，A是圓弧圓心，則當(dāng)H′在AB上

時(shí)，BH′最小，最小值為,所故D正確.故選：AD.

三、填空題

12.1【解析】易知,根據(jù)切線斜率為4,得,解得xo=1.

13.167【解析】當(dāng)百位數(shù)小于3時(shí)，共有C·A?=144個(gè)；當(dāng)百位數(shù)為3,十位數(shù)小于2時(shí)，此時(shí)共有C·A=16個(gè)；

當(dāng)百位數(shù)為3,十位數(shù)為2時(shí)，共有C=7個(gè).

7

綜上所述，共有144+16+7=167個(gè).

14.12182【解析】對于數(shù)列{ba},由ba+1=2b+1可得ba+1+1=2(b?+1),又b?+1=4≠0,

所以,所以數(shù)列{b,+1}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，

故b?+1=4×2”?1=2"+1,得b=2"+1-1.

又a=2n—1,

新數(shù)列{c。}結(jié)構(gòu)為：b?后插1項(xiàng)，b?后插3項(xiàng)，…,b后插2k—1項(xiàng)，到b,總項(xiàng)數(shù)為m+1+3+…+2m-3=m+

當(dāng)m=10時(shí)，到b??共102—10+1=91項(xiàng)，

插入的a?到ag1的和為

第92到100項(xiàng)為b??后插的9項(xiàng)，即a82到aso,其和為902—812,故T1o=4082+812+(902—812)=12182.

四、解答題

15.【解析】(1)在△ABC中，,又

則inA,而sinA>0,………………………3分

則bc=b2-2c2,即(b—2c)(b+c)=0,又b+c>0,則b=2c.6分

(2)由a=√7c,則a2=7c2,8分

由余弦定理,……………11分

又0°<A<180°,所以A=120°13分

16.【解析】(1)取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,如圖所示：

翻印必!

在△PCD中，因?yàn)镸,N分別是棱PC,PD的中點(diǎn)，所以MN為^PCD的中位線，

所以MN//DC,且,易

所以MN//AB,且MN=AB,所以四邊形ABMN為平行四邊形，

所以AN//BM,............................................................................................................................................................4分

又ANC平面PAD,BMC平面PAD,所以BM//平面PAD..............................................................................6分

(2)由已知PD⊥CD,CD=4,PD=2√5,所以PD2+CD2=CP2,即PD2+16=20,得PD=2,所以AD=2,…8分

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),9分

因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以M(0,2,1),所以DA=(2,0,0),DB=(2,2,0),DM=(0,2,1),

設(shè)平面DMB的法向量為n=(x,y,z),則

令z=2,則y=-1,x=1,即平面DMB的一個(gè)法向量為n=(1,-1,2),11分

又PD⊥平面ABCD,DAC平面ABCD,所以PD⊥DA,由AD⊥DC,且PD∩DC=D,

所以DA⊥平面PCD,即DA⊥平面PDM,

所以DA=(2,0,0)為平面PDM的一個(gè)法向量，…………………13分

8

所以

所以平面PDM和平面DMB所成夾角的正弦值為，………15分

17.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)時(shí)………………1分

由f'(x)>0,得,即f(x)在上單調(diào)遞增；……………3分

由f(x)<0,得,即f(x)在區(qū)間)上單調(diào)遞減，…………………5分

所以f(x)的極小值為………………7分

(2)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=-(x+Inx+1),

因?yàn)閤e+f(x)=xe—(x+Inx+1),從而要證f(x)+xe≥0,即證xe-x—Inx-1≥0,

令h(x)=xe-x-Inx-1,定義域?yàn)?0,+∞),……………………8分

,其中x+1>0恒成立，設(shè)的解為x=xo,

當(dāng)0<x<x。時(shí))單調(diào)遞減，

當(dāng)x>x。時(shí)

因此h(x)=xe-x—Inx—1的最小值為h(x?)=x?e?一x?—Inx?-1,11分

由,…………12分

即h(x)=xe-x-Inx+1的最小值為0,………………………14分

綜上，h(x)=xe-x—Inx-1≥0,即xe2+f(x)≥0得證?！?5分

18.【解析】(1)依題意，列出2×2列聯(lián)表如下：

測試結(jié)果

款類總計(jì)

優(yōu)秀良好

A+型201030

A型72330

總計(jì)273360

…………………………1分

零假設(shè)為H?:測試結(jié)果與越野駕駛性能優(yōu)化無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H。不成立，即認(rèn)為測試結(jié)果與越野駕駛性能有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)

誤的概率不大于0.001.………………4分

(2)(i)X的所有可能取值為3,4,5,6,

………8分

(全正確得4分，每正確一個(gè)得1分)

∴X的分布列為

X3456

P

…………………………9分

9

∴數(shù)學(xué)期望…………10分

(ii)設(shè)“賽滿2n+1局人類隊(duì)獲勝”為事件C,要使事件C發(fā)生，有兩種情況：第一階段賽滿(2n-1)局人類隊(duì)勝，記為

事件A?,和第一階段賽滿(2n—1)局人類隊(duì)負(fù)，記為事件A?,

∴C=A?C+A?C,P(C)=P(A?C)+P(A?C),11分

①若第一階段人類隊(duì)勝，則人類隊(duì)在前(2n-1)局至少勝n局，分為人類隊(duì)至少勝(n+1)局和人類隊(duì)恰好勝n局，

(a)若人類隊(duì)至少勝(n+1)局，無論后面兩局結(jié)果如何，最終人類隊(duì)獲勝；………12分

(b)若人類隊(duì)恰好勝n局，且后面兩局中人類隊(duì)均負(fù)的概率為C2n-1p"(1一p)"-1(1—p)2,

………………13分

②若第一階段人類負(fù)，則人類隊(duì)恰好勝了(n—1)局，而后兩局必須全勝才能使得人類隊(duì)最后獲勝，

∴P(A?C)=C2n-1p"?1(1—p)"p2,

∴A(n+1)=P(C)=P(A?C)+P(A?C)=A(n)—C2n1P"(1—p)"?1(1-p)2+Cp"?1(1一p)"p2,

A(n+1)-A(n)=C21p”?1(1一p)”p2—C2-1p“(1—p)”?1(1-p)2

=C2n-1p"+1(1-p)”—C2n-1P"(1—p)+1

…………………16分

∴A(n+1)<A(n).

在人類隊(duì)每局獲勝概率為的條件下，局?jǐn)?shù)越多，人類隊(duì)獲勝的概率越小.……17分

19.【解析】(1)因?yàn)殡p曲線(a>0,b>0))的一條漸近線為y=x,點(diǎn)(5,4)在C上.

所解得a2=b2=9,………………2分

所以雙曲線C的方程為…………………3分

(2)設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(ro,y%),當(dāng)點(diǎn)N處的切線斜率不存在時(shí)，根據(jù)對稱性，取切線方程為x=3,與漸近線y=±x的

交點(diǎn)為A(3,3),B(3,—3),此時(shí)……………5分

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-y=k(x—x?),

與雙曲線方程聯(lián)立消去y,可得x2—[k(x-xo)+y。]2=9,

整理得(1—k2)x2+(2k2x?！?ky。)x—k2x2+2kyoxo—y?—9=0,

所以1