2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

4.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

五年高考

考點1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1.(2014課標(biāo)II文,11,5分，易)若函數(shù).危尸依1門在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是

()

A.(-8,-2]-1]

C.[2,+oo)D.[l,+co)

2.(2023新課標(biāo)11,6,5分，中)已知函數(shù)人丫尸。必Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則a的最小值為

()

A.e2B.eC.e-1D.e2

3.(2023新課標(biāo)/,19,12分，中)已知函數(shù)/a)=〃e+〃)-x.

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)a>0時，4)>21n嗎

4.(2023全國甲文,20,12分，中)已知函數(shù)/⑺=or-聾打￡(04).

⑴當(dāng)。=1時,討論兀T)的單調(diào)性;

(2)若y(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

5.(2015課標(biāo)〃文,21,12分，中)已知函數(shù)小尸In"a(l㈤，

(1)討論父刈的單調(diào)性；

(2)當(dāng)人x)有最大值,且最大值大于2〃-2時，求a的取值范圍.

考點2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值

1.(多選)(2023新課標(biāo)〃,11,5分，中)若函數(shù)/2=如北+/#0)既有極大值也有極小值，則

()

A.bc>0B.〃6>0

C.b2+Sac>0D.ac<0

2.(多選)(2022新高考/,10,5分，中)已知函數(shù).危)=/江+1,則()

A./(x)有兩個極值點

BJ(x)有二個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線的切線

3.（2021新高考/,15,5分，中）函數(shù)/W=|2x-1卜21nx的最小值為.

4.（2022全國乙理,16,5分，難）已知x=x\和x=xi分別是函數(shù)加0=2。飛我心。且存1）的極小

值點和極大值點.若》<必則a的取值范圍是_______.

5.（2021北京,19,15分，中）已知函數(shù)/（x）=^.

⑴若a=0,求曲線月U）在點（1，川））處的切線方程；

（2）若人工）在x=-l處取得極值，求/⑴的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值與最小值.

6.（2019課標(biāo)/〃文,20,12分，中）已知函數(shù)/⑺=2/_以2+2.

⑴討論./U）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)0<a<3時，記.信）在區(qū)間［0,1］的最大值為M最小值為〃?,求M-m的取值范圍.

7.(2023新課標(biāo)n,22,12分，難)

⑴證明:當(dāng)Ovxvl時/-FvsinxC;

(2)已知函數(shù)/(x)=cosOrin。-/),若x=0是/(x)的極大值點，求a的取值范圍.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.(2023山東煙臺開學(xué)考,3)函數(shù)火x尸?21nx?x］的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+oo)B.(-3,l)C.(l,+oo)D.(0,1)

2.(2023吉林長春六中月考,9)函數(shù)人丫尸cosx+("l)sin.t+l在區(qū)間［0,2兀］上的最小值、最大

值分別為（）

nn3nn

B?一y,-

C.—A+2D.-手,92

2'22'2

3.（2024屆江蘇無錫期中,5）當(dāng)x=2時，函數(shù)小尸—+加-⑵取得極值，則/（x）在區(qū)間[-4,4]上的

最大值為（）

A.8B.12C.16D.32

4.（2024屆湖南師大附中第4次月考,6）已知尸0是函數(shù)幻尸/ej〃m+ze'.$3的一個極值

點，則。的取值集合為（）

A.{。住-1}B.{0}

C.{1}D.R

5.（2024屆河北石家莊二中月考,5）已知函數(shù)./）=工3_3〃a2+9g+i在（l,+oo）上為單調(diào)遞增函

數(shù)，則實數(shù)〃？的取值范圍為（）

C.[l,3]D.[-l,3]

6.（2024屆重慶長壽中學(xué)期中,7）已知函數(shù)八x）=2x口Inx,則、＞5”是“函數(shù)於）在（1,2）上單調(diào)

遞減”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.（多選）（2024屆福建福州聯(lián)考,10）設(shè)函數(shù)/（x）=x3_izv電則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.函數(shù)在（?oo,-l）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)人外在上單調(diào)遞減

C.若6=-6,則函數(shù),/（X）的圖象在點（-2,代2））處的切線方程為尸10

D.若6=0,則函數(shù)/（x）的圖象與直線尸10只有一個公共點

8.（2024屆江蘇蘇州中學(xué)模擬,14）已知函數(shù)g（x戶2x+lnx?在區(qū)間[1,2]上不單調(diào),則實數(shù)。的

取值范圍是________.

9.（2024屆河南省實驗中學(xué)月考』5）若函數(shù)/（x）=x3_12x在區(qū)間僅/+4）上存在最大值，則實數(shù)

Q的取值范圍是.

10.（2024屆湖北武漢二中測試,15）已知函數(shù)/（工尸公_4加+0￡口,4],危）的最大值為3,最小

值為-6,則a+b的值是________.

11.（2023重慶八中入學(xué)考,18）已知函數(shù)段）=々/6+（：05以4/￡1<）,若曲線/（工）在點（0,/（0））處

的切線方程為T+Z

（1）求兀0的解析式;

（2）求函數(shù)/U）在［0,2利上的值域.

綜合拔高練1

1.（2024屆湖南長沙長郡中學(xué)月考,4）若0<102<1,則（）

A.e"2—e'i>Inx2—InxlB.eXz-eX1<lnxz-lnx\

CjC2eXi>xleX2D.x2eX1<xleX2

2.（多選）（2024屆廣東東莞月考［1）己知函數(shù)/（x尸加以升皿x存在極值點，則實數(shù)。的值可

以是（）

A.OB.-eC.lD.1

3.（2024屆山東泰安月考,15）設(shè)若函數(shù)尸有大于零的極值點，則口的取值

范圍是________.

4.（2024屆遼寧遼東教學(xué)共同體期中,19）已知函數(shù)人工尸e\g（x）=1.

⑴直接寫出曲線TU）與曲線尸g（x）的公共點坐標(biāo)，并求曲線產(chǎn)心）在公共點處的切線方

程；

（2）已知直線尸/分別交曲線尸危）和尸g（x）于點48,當(dāng)?！辏?,c）時，設(shè)△044的面積為S（〃）,

其中O是坐標(biāo)原點，求S(a)'l勺最大值.

5.(2024屆湖南長沙南雅中學(xué)開學(xué)考,21)已知函數(shù)/(x)=ar：m+l)lnx(WO)?

(1)討論函數(shù)人外的單調(diào)性；

(2)若既有極大值乂有極小值，且極大值和極小值的和為g(。)，解不等式g(〃)v2o-2.

6.(2024屆北京一零一中學(xué)測試［8)已知函數(shù)./(x尸級3+必+2在x=2處取得極值-14.

⑴求a,b的值;

⑵求曲線月(x)在點處的切線方程；

(3)求函數(shù)段)在［?3,3］上的最值.

綜合拔高練2

1.(多選)(2024屆湖北宜昌中學(xué)階段練,12)已知函數(shù)人匯尸以+?+aln：在％W(±2)上有三

個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值可以是)

A.-eB.-27eC.-yD.-^

2.（多選）（2024屆安徽池州一中階段練,10）已知函數(shù).小尸一么2+但則下列說法正確的是

（）

A.函數(shù)?v）的極值點個數(shù)可能為0,1,2

B.若函數(shù)4丫）有兩個極值點，則

C.若a=1,則函數(shù)｛x）在七,2］上的最小值為看

D.若昕1,則函數(shù)小:）在片2］上的最大值為2

3.（2024屆湖北黃岡中學(xué)月考,14）定義在R上的函數(shù)、叱）=1、3.+3.

①/（x）在（0,1）上是減函數(shù)，在（1,+oo）上是增函數(shù).

②［'）在（0,十8）上存在極小值.

③/任）的圖象在尸0處的切線與直線產(chǎn)2x+2垂直.

④設(shè)g（x）=4In若存在［1,e］,使得半的勺'Q）,則m>5-e2.

以上描述中正確的是_______.（填序號）

4.（2024屆北京海淀北大附中校考,20）已知函數(shù)次》）=—（41）2.

⑴若。=1,求曲線人均在（0,負(fù)0））處的切線方程；

⑵求/（X）的極大值與極小值.

5.(2024屆江蘇鎮(zhèn)江--中?？?19)已知函數(shù)41)=小爐」

(1)判斷/(X)在定義域上是否存在極值，若存在,求出其極值;若不存在，說明理由.

(2)若兀0巳0￥在[0,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

4.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

五年高考

考點1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1.(2014課標(biāo)II文,11,5分，易)若函數(shù)段尸6-lnx在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增，則攵的取值范圍是

()

A.(?8,-2]

C.[2,+co)DJI,+8)

答案D

2.(2023新課標(biāo)II,6,5分，中)已知函數(shù).危尸〃以hix在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則a的最小值為

()

A.e2B.eC.e'1D.e-2

答案C

3.(2023新課標(biāo)/,19,12分，中)已知函數(shù)./(x尸。(e"+〃)-x.

(1)討論“丫)的單調(diào)性；

(2)證明:當(dāng)a>0時出)>21n嗎

解析(1)中已知得函數(shù)/(X)的定義域為R,

/UWeY-l.

①當(dāng)a<0時,/?)<0,.歡)在R上單調(diào)遞減;

②當(dāng)a>0時，令/。尸0,則x=lni

當(dāng)x<l4時，/(x)v0,./(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l4時，/(》)>0,?0單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a<0時,小)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時,?v)在(-8,1嶗上單調(diào)遞減，在(in：,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：由⑴知，當(dāng)a>0時,'/)在(一8,1嶗上單調(diào)遞減,在。吟+8)上單調(diào)遞增，則

/(x)min守QnJ=aQ+-lni=l+a2+lna.

要證明./(x)>21n只需證明l+tAHna>2\nQ+|,

即證(z2-lnW>0.

112y2一1

令g(x)=x2-\nx*x>0),則g'(.0=2x—=

當(dāng)(Ka當(dāng)時g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x*時,g'a)>o,ga)單調(diào)遞增，

???鼠x)min=g(曰)=1—1=—ln^=lnV2>0,

???以x)>0在(0,+00)上恒成立，

即a2-In

Z./(x)>21n

4.(2023全國甲文,20,12分，中)已知函數(shù)/㈤=依-斗人￡(0,胃

(1)當(dāng)4=1時，討論./(X)的單調(diào)性；

⑵若兀r)+sinx〈O,求a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=l時J(x)=.o歲F￡(0,與,

、一cos3x+2sin2xcosx_cos3r-cos2x-2sin2x

t(X)=1--------------7----------=----------------s------------

cos^xcos°x

32

_COSX+COSX-2A

3<U,

cosh

所以函數(shù)./w在(o()上單調(diào)遞減.

2

⑵令g(x)=￡^-sin%sinx-sinjcosx

cos2x

sinx—sinx（l—sin2x）_sin3x

cos2xcos^x^

324224

I.I.I”\3cosxsinx+2sinxcosx3cosxsinx+2sinx

則g（x）=------記------=—次一，

因為（0弓）,所以3cos2xsin2x+2sin4x>0,cos3x>0,

則g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(0弓)上單調(diào)遞增,

g(0)=0,當(dāng)時,g(x)->+8,

因為7W+sinxvO恒成立，所以^^一sin%>a%在(0,；)上恒成立,

即直線在時恒在g(x)的圖象下方，如圖所示，

由圖及g'(0尸0可得?<0,

即a的取值范圍為(心⑼.

5.(2015課標(biāo)〃文,21,12分，中)己知函數(shù)7W=lnx+a(l-x).

(1)討論外)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)/(X)有最大值,且最大值大于2〃-2時，求a的取值范圍.

解析(1)?x)的定義域為(0：十⑼J⑺三乜

若歸)，則所以/(X)在(0,+?))上單調(diào)遞增.

若心0,則當(dāng)(0,3時/⑶>0;當(dāng)xWG+8)時/。)<0.所以危)在(0*)上單調(diào)遞增，在

Q,+8)上單調(diào)遞減.

⑵由⑴知，當(dāng)?<0時,/(x)在0+8)上無最大值;當(dāng)a>0時,.危)在W處取得最大值，最大值為

f0=1*+Q(1-^=-lna+a-1.

因此/0>2〃-2等價于Ina+a-lvO.

令g(〃)=lna+a-\/>0,

則g(〃)在(0,+8)上單調(diào)遞增01)=0.

于是，當(dāng)0<?<1時0a)vO;當(dāng)時,g(o)>0.

因此必的取值范圍是(0,1).

考點2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值

1.(多選)(2023新課標(biāo)〃,11,5分，中)若函數(shù)J(x)=alnx-^+邦)既有極大值也有極小值，則

()

A.bc>0B.ab>0

C.b2+8ac>0D.ac<0

答案BCD

2.(多選)(2022新高考/,10,5分，中)已知函數(shù)段)=3.+1,則()

A./(x)有兩個極值點

BJ(x)有三個零點

C.點(0』)是曲線y=/(x)的對稱中心

D.直線尸2x是曲線產(chǎn)/⑴的切線

答案AC

3.(2021新高考/,15,5分，中)函數(shù)/W=|2x-1卜21nx的最小值為.

答案1

4.(2022全國乙理,16,5分灘)已知x=x)和x=x2分別是函數(shù)/⑴=2小e/gx)且在1)的極小

值點和極大值點若為〈必則。的取值范圍是.

答案())

5.(2021北京,19,15分，中)已知函數(shù)/㈤專登

⑴若聽0,求曲線產(chǎn)段)在點(1,川))處的切線方程；

⑵若./W在廣-1處取得極值，求/(X)的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值與最小值.

解析⑴當(dāng)4=0時

?7/⑴=1,

f'(X)—,36,故尸(1尸?4,故曲線y=/(x)在點(1,火1))處的切線方程為尸4(x-1)+1,即4x+y?5=0.

(2)由題意得/Q)與鏟，且/VI)=0,

故8?2。=0,解得。=4,故葺

mil拓一\_2/_6尸8_2(x+l)(x-4)

人JJ(%)&+4)2-(/+4，，

令/(x)>0,得x>4或x<-l;令/Q)<0,得-l<x<4,

故函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-00,-1)和(4,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-1,4).所以7W的極大值為

/(?1尸l,/(x)的極小值為/(4)與

又當(dāng)“￡(3,-1)時,3-24>0,故人工)>0;

當(dāng)不￡(4,+00)時,3-2^〈0,故加)<0,

.,./(X)max=/(-l)=h/(X),nin=/(4)=-i

6.(2019課標(biāo)W文,20,12分，中)已知函數(shù)人力=2%3-%+2.

(1)討論外)的單調(diào)性;

⑵當(dāng)0<67<3時，記義x)在區(qū)間［0,1］的最大值為M最小值為以求M-m的取值范圍.

解析(1)第一步:求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，并因式分解求出導(dǎo)函數(shù)的零點.

由題意知R,f\x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

令/。)=0,得x=0或

第二步:討論。的取值，比較根的大小關(guān)系，寫出單調(diào)區(qū)間.

①若心0,則當(dāng)xW(-8,0)Ug+8)時,/(x)>0；

當(dāng)x￡(0,9時J?)<0.

故/(X)在(?8,0)后,+8)單調(diào)遞增，在(0,§單調(diào)遞減；

②若。=0,/(工)在(-8,+00)單調(diào)遞增；

③若。<0,則當(dāng)(-8,§U(0,十8)時,/Q)>0;

當(dāng)x￡(/o)時J'(x)vo.

故4Y)在(-8,冢0,+8)單調(diào)遞增，在60)單調(diào)遞減

(2)當(dāng)0<〃<3時，由(1)知,處0在(0,￡)單調(diào)遞減，在C，l)單調(diào)遞增，所以人幻在［0,1］的最小值為

/0=一32,最大值為./(0)=2或/⑴=4.〃.

當(dāng)032時,/(1)>/(0),最大直為/⑴=4"

對于函數(shù)產(chǎn)白/+24吟"1,當(dāng)0<a<2時6VO,從而y=~a+2單調(diào)遞減,此時卷<》+2<2,即

M-〃?的取值范圍是(捺,2)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求值域)

當(dāng)2%<3時,川)勺(0),最大值為人。尸2,所以用-〃7=/而函數(shù)尸捺單調(diào)遞增，所以”-加的取

值范圍是像,1)

綜上,M-〃，的取值范圍是像,2)

易錯警示

解題時，易犯以下兩個錯誤:①對參數(shù)a未討論或?qū)?。分類討論不全面，尤其易忽略a=0的

情形而導(dǎo)致失分;②當(dāng)a>0吐段)在(-8,0),尊+8)單調(diào)遞增，將這兩個區(qū)間合并表示為危)

在(_8,0)UG，+8)單調(diào)遞增導(dǎo)致錯誤，從而失分.

7.(2023新課標(biāo)II,22,12分，難)

(1)證明:當(dāng)0<^v<l時K-j^vsinx<x;

(2)已知函數(shù),危尸cosax-ln(l-/),若x=0是7U)的極大值點，求a的取值范圍.

解析(1)證明:令ga)=x-/-sinxfi<x<1,則g'(x尸1-2.x-cosx,令G(x)=g(x),得?尸-2+sinx<0

在區(qū)間(0,1)上恒成立，所以g。)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因為g'(0)=0,所以gQ)vO在區(qū)間

(0,1)上恒成立，所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減所以g(x)vg(0尸0,即當(dāng)0<x<l時咫2<sinx.

令/7(x)=sinx-x,0vxvl,則h\x)=cosx-\<0在區(qū)間(0,1)上恒成立，所以力(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)

遞減，所以A(x)v，7(0)=0,即當(dāng)0<r<1時,sinxVr

綜上，當(dāng)0<%<1時產(chǎn)/〈sin

(2)函數(shù)外)的定義域為(-1,1).

當(dāng)o=0時J(x尸㈤在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增產(chǎn)0不是/(X)的極大值

點，所以存0.

當(dāng)a>0時,/"(x)=-4sin

⑴當(dāng)0<。0加時，取"?=min{g,1}/￡(0,〃。，則〃x￡(0,l),

由(1)可得/(x)=-asinor+二2a^x+；二一.),

因為a2x2>0,2-a2>0,1-/>0,所以

所以為好在(0〃)上單調(diào)遞增，不合題意.

(ii)當(dāng)心或時，取x6(0,3)『0』),則axG(0,1),

由(1)可得/'(X尸-osin0￥。*-4(奴?〃25)壇3

3i2232

=--2(-ax+ax^ax+2-a)9

設(shè)h(x)=-a3x3+a2x2+a3x+2-cryXE^0,

貝|J力。)=-343爐+2。2%+43,

因為以0)=〃>0"(?=43??！?,且“(X)的圖象是開口向下的拋物線，所以VxW(0,￡),均有

6(x)>0,所以/7(x)在(0,?上單調(diào)遞增.

因為/7(0)=2-Q2<0,/O=2>0,所以力(x)在(0,：)內(nèi)存在唯一的零點〃.

當(dāng)工￡(0,〃)時，力(x)v0,又因為x>0,17：2>0.

則/"(X)^-〃3工3十々2工2+々3肝2-〃2)<0

即當(dāng)(0,〃)『0』)時,/3<0,則/(X)在(0,〃)上單調(diào)遞減.

又因為?v)是偶函數(shù)，所以.危)在(-〃⑼上單調(diào)遞增，

所以尸0是Hx)的極大值點.

綜合⑴(ii)知a>yf2.

當(dāng)f/<0時,由于將./W中的。換為-a所得解析式不變，所以符合要求.

故a的取值范圍為(?8,-&)U(a,+8).

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.(2023山東煙臺開學(xué)考,3)函數(shù)次x)=?21nx?x9的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+a))B.(-3,l)C.(l,+oo)D.(0,l)

答案D

2.(2023吉林長春六中月考,9)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sin"l在區(qū)間［0,2兀］上的最小值、最大

值分別為()

.nTTo3ITIT

AfiB.一萬百

C.混+2D.-第尹2

答案D

3.(2024屆江蘇無錫期中,5)當(dāng)k2時,函數(shù)仆)=3+瓜2_］2工取得極值,則/3在區(qū)間卜4,4］上的

最大值為()

A.8B.12C.16D.32

答案C

4.(2024屆湖南師大附中第4次月考,6)已知x=0是函數(shù)火x尸/戶22+2必式的一個極值

點，則a的取值集合為()

A.同位/}B.{0}

C.{1}D.R

答案C

5.（2024屆河北石家莊二中月考,5）已知函數(shù)./）*-3〃比2+9〃優(yōu)+1在（1,+8）上為單調(diào)遞增函

數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.（-8,-l）

C.[l,3]D.[-l,3]

答案D

6.（2024屆重慶長壽中學(xué)期中,7）已知函數(shù)/（x）=2x：alnx,則Z>5”是“函數(shù).危）在（1,2）上單調(diào)

遞減”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

7.（多選）（2024屆福建福州聯(lián)考,10）設(shè)函數(shù)危尸內(nèi)⑵+包則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.函數(shù)/（X）在（-co,-1）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)./（X）在上單調(diào)遞減

C.若g6,則函數(shù)/（x）的圖象在點（?2,/（?2））處的切線方程為尸0

D.若6=0,則函數(shù)/W的圖象與直線產(chǎn)10只有一個公共點

答案ABD

8.（2024屆江蘇蘇州中學(xué)模擬,14）已知函數(shù)g（x）=2x+lnx?在區(qū)間HZ上不單調(diào),則實數(shù)。的

取值范圍是_______.

答案（-10,-3）

9.（2024屆河南省實驗中學(xué)月考,15）若函數(shù)/（X）=、3_12X在區(qū)間（凡"4）上存在最大值，則實數(shù)

Q的取值范圍是.

答案（-6,-2）

10.（2024屆湖北武漢二中測試,15）已知函數(shù)/）=M?4/+Ax￡[l,4]，4）的最大值為3,最小

值為6則a+b的值是________.

答案件W

11.（2023重慶八中入學(xué)考,18）已知函數(shù)加尸or+b+cosx（d6￡R）,若曲線尺）在點。/（0））處

的切線方程為嚴(yán)%+2.

（1）求（丫）的解析式；

⑵求函數(shù)?丫）在［0,2句上的值域.

解析（1）因為/（X）=QX+6+COSx（a,b&R）,

所以/'（x尸a-sinx,

f/（0）=b4-cosO=2,fb+1=2,11

由題意得）”n、.n1即11所以a=3力=1,則/Cr）=p+l+cosx.

［f（0）=a-sinO=-,（a=5，22

（2）由（1）得/（X）4CH+COSxJG）』sinx,

由/V）>o且x￡［0,2汨可得或4爛2兀，函數(shù)/（x）在區(qū)間［o,2和酷2T上單調(diào)遞增，

由/。）《）且、［0,2用可得?<%<a函數(shù)/（X）在區(qū)間國書上單調(diào)遞減.

因此當(dāng)V時，函數(shù)取得極大值/。=NK1+cosi=1+V+字當(dāng)尸費時，函數(shù)取得

極小值/得）=畀歲1+皿曰=1+*當(dāng)

又｛0）=2,火2兀）弓*2兀+1+cos2K=1+兀+1=2十兀,

I+77--7<2<1+弓+4<2+TC,所以函數(shù)信）在［0,2兀］上的最大值為2+兀,最小值為1+號—

爭所以｛x）在［0,2用上的值域為［1+*亨，2+n.

綜合拔高練1

1.（2024屆湖南長沙長郡中學(xué)月考,4）若0<^i<x2<l,WJ（）

A.cx?—cXl>Inx2—InxlB.cx?—cXl<In%2-lnxi

C.X2eX1>xleX2D.x2eX1<xle%2

答案C

2.（多選）（2024屆廣東東莞月考,11）已知函數(shù)兀0=ax2-2"hix存在極值點,則實數(shù)17的值可

以是（）

A.OB.-eC.4D.-

2e

答案ABD

3.（2024屆山東泰安月考,15）設(shè)?！闞,若函數(shù)尸丹3%￡R有大于零的極值點，則。的取值

范圍是.

答案（書?1）

4.（2024屆遼寧遼東教學(xué)共同體期中,19）已知函數(shù)/（x尸F(xiàn)志⑴三.

⑴直接寫出曲線y=J［x）與曲線y=g（x）的公共點坐標(biāo)，并求曲線產(chǎn)/（x）在公共點處的切線方

程；

(2)已知直線尸a分別交曲線y=/(x)和尸g(x)于點，乃，當(dāng)a￡(0,c)時，設(shè)△CM8的面積為S(a),

其中。是坐標(biāo)原點，求S(a)的最大值.

解析(1)易得曲線與曲線y=g(x)的公共點坐標(biāo)為(1,c).

因為/'(X尸己所以/'(l)=e,所以曲線月(X)在公共點處的切線方程為V-e=e(x-l),即產(chǎn)ex

(2)因為直線尸。分別交曲線片/㈤和尸g(x)于點4民

所以力(Inq,q),8&Q).

S(a)=^a'\AB\=|^—Ina,〃￡(0,e).

因為aW(0,c)時1,lna<1,所以：>lna,

所以S(a)=1—/ina,a&(0,e),

求導(dǎo)得S\a)=-^(\+\na),

令S(a)=O,得a—,所以S(a),S(a)的變化情況如表：

因此,S(a)的極大值也是最大值，為S(J=|+^.

5.(2024屆湖南長沙南雅中學(xué)開學(xué)考,21)已知函數(shù)｛r)=4xT-(a+l)lnx(存0).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為g(a),解不等式g(a)<2a-2.

解析(1)函數(shù)應(yīng)丫)的定義域為(0,+8),對兒丫)求導(dǎo)得

?1a+l_ax2-(a+l)x+l_(ax-l)(x-l)

/\X)=a+^2~=^2=^2，

令/'(x)=0,則》=1內(nèi)得

當(dāng)a<0時,次-1<0,

令/q)>0,解得0<x〈l,令/⑺<0,解得x>\,

所以於)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，

①當(dāng)卜1,即。=1時/。心0恒成立，

所以火x)在(0,+8)上單調(diào)遞漕；

②當(dāng)乂1,即0<〃<1時，

a

令/(丫)>0,解得0<x<l或X*,令/Q)<0,解得l<r<i

所以火x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(13)上單調(diào)遞減，在6,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)%1,即a>\時，

令/9)>0,解得Ovxg或x>l,令/Q)〈0,解得衿<1,

所以/(X)在(0,?上單調(diào)遞增，在6,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述:當(dāng)a<0時，段)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<"1時,/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1*)上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)4=1時,./U)在(0,+oe)上單調(diào)遞增；

當(dāng)A1時在(09上單調(diào)遞增，在&1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵由⑴知:心0且存1,

且(十)十/(1尸1-〃+(〃+l)ln〃+〃-1=(〃+l)lna.

g(a)<2a-2等價于(a+l)lna<2a-2(a>0且。#1),

等價于解不等式In。義警<0,

Q+1

令皿〃尸In。普乂心0),(構(gòu)造函數(shù)皿〃),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值〃7(1尸0,從而解得不

等式的解集)

研“片一島^卷沿0，

所以“⑷在(0,+8)上單調(diào)遞增，且加⑴=0,

所以加(。)<0=〃7(1),即不等式的解集為S|0<〃vl}.

6.(2024屆北京一零一中學(xué)測試,18)己知函數(shù)小尸〃尤3+必+2在尸2處取得極值-14.

⑴求助的值；

⑵求|11|線產(chǎn)/㈤在點(1,/⑴)處的切線方程；

(3)求函數(shù)/(x)在［?3,3］卜的最值.

解析⑴因為/(工尸五+樂恐所以ff(x)=3ax2+b,

又函數(shù)?Y）在尸2處取得極值-14,

所以譚ME2^-14,即fiaX-S,解得G:匕2,

經(jīng)檢驗,。=1力=-12符合題意，故a=\,b=-\2.

（2）由⑴知加療-12x+2。尸3爐?12,

故火D=-9J紀(jì)尸-9.

所以曲線月（X）在點（1,川））處的切線方程為）M-9）=-9（x?1）,即9x+y=0.

（3）由（1）知:兀c）=xM2x+2,/'（x尸3<?12,

令/'（x）=0,解得加=-242=2,

xe［-3,3］時，隨x的變化/3,/（工）的變化情況如表:

X-3(3-2)-2(22)2(2,3)3

f'(x)+0-0+

f(x)11/18-14/-7

由表可知:當(dāng)產(chǎn)?2時,函數(shù)力力有極大值火?2尸18;

當(dāng)尸2時，函數(shù)./（x）有極小值｛2）=-14;

因為.火-2尸18次3尸-7,人2尸-14勺（-3）=11,

故函數(shù)/㈤在［-3,3］上的最小值為/（2尸“4,最大值為｛-2）=18.

綜合拔高練2

1.（多選）（2024屆湖北宜昌中學(xué)階段練,12）已知函數(shù)於）=以+?+。1-在xE&2）上白二

個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)。的取值可以是（）

-27

A.-eB.-2V^C.—e—D