專題05銳角的三角比與解三角形（5大考點(diǎn)）

日考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)01三角比的概念及求值

考點(diǎn)02解直角三角形相關(guān)計(jì)算

考點(diǎn)03仰角俯角問(wèn)題

考點(diǎn)04坡度坡比問(wèn)題

考點(diǎn)05方位角問(wèn)題

點(diǎn)夕三角比的機(jī)念自忒依

1.（2025?上海崇明?一模）在銳角VA8C中，如果各邊長(zhǎng)都縮小為原來(lái)的;，那么N4的正弦值（）

A.擴(kuò)大為原來(lái)的2倍B.縮小為原來(lái)的g

C.大小不變D.不能確定

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】正弦的概念辨析

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可得到答案.

【詳解】解：在銳角,/WC中，每個(gè)邊都縮小為原來(lái)的;，那么每個(gè)角的大小都不變，

，乙4的正弦值不變，

故選：C.

2.（2025?上海楊浦?一模）在RtAABC中，ZC=90°,44=4,AC=\,那么sinB的值是（）

A.：B.巫C.—D.厲

4154

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求角的正弦值

【分析】本題考查了求角的正弦值，熟練掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵.

由正弦的定義即可直接得出答案.

【詳解】解?：如圖，

故選：A.

3

3.（2025?上海黃浦?一模）在RtAABC中，己知NC=90。，cosA=-,那么sinB的值為（）

4

3434

A.-B.-C.-D.一

4355

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

Ar3

【分析】此題考查了解直角三角形，關(guān)鍵是熟練銳角三角函數(shù)的定義.畫(huà)出圖形，表示出cosA=2t=3,

AB4

再根據(jù)sin8的定義求解即可

【詳解】解：如圖所示，cosA=4f=4?

AB4

故選A.

4.12025?上海金山?一模）已知Rt/XABC中，NC=90。，AC=3,AB=5,那么下列各式中，正詢的是（）

33

-a-

A.5B.5

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值

【分析】本題考查求銳角三角函數(shù)值，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：?.?NC=90。，AC=3,A13=5,

?*-BC=后4=4,

八生二，cos八好」8t人生，，tan"*j

AB5AB5AC3BC4

故選A.

5.（2025?上海虹口?一模）在RtAABC中，已知NC=90,人8=5,BC=3,那么的正切值為（）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求角的正切值

【分析】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，利用勾股定理求得4C的長(zhǎng)度，然后求得的正切值即

可.

【詳解】解：:在RtZxA6c中，己知NC=90。，AB=5,6c=3,

：?AC=>/52-32=4-

?AC4

..tanZ.B=-----=—,

BC3

故選：D.

6.（2025?上海普陀?一模）在RtAABC中，NA8=9O。，如果sinB=|,那么cosA的值是（）

3344

A.-B.-C.-D.一

4553

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求角的余弦值

【分析】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???在RtZXABC中，乙4c8=90。，NA+N3=90。，

3

/.cosA=s\nB=—,

故選：B.

2

7.12025?上海靜安?一模）如果銳角A的余弦值為：，下列關(guān)于銳角A的取值范圍的說(shuō)法中，正魂的是（）

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.6（）o<ZA<90c

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】特殊三角形的三角函數(shù)

【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟知銳角三角函數(shù)的余弦函數(shù)值隨角增大而減小是解答此題

的關(guān)鍵.先求出cos30。，8s45。及cos60。的近似值，然后得出結(jié)論即可.

【詳解】解：cos30°=—ss0.9,cos450=^-*0.7,cos60°=^=0.5,

222

XVcosA=^0.67,余弦函數(shù)隨角增大而減小，且〈且，

3232

故選：c.

8.（2025?上海嘉定?一模）如圖，在直角梯形ABCO中，AD//BC,?D90?,如果對(duì)角線AC_L44,那

么C二D的值是（）

A.sinBB.cosBC.tanBD.cotB

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、求證同角三角函數(shù)關(guān)系式

【分析】本題考查了三角函數(shù)的比值關(guān)系，平行線的性質(zhì)，熟悉掌握角三角函數(shù)的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

利用角的等量代換和三角函數(shù)的匕值關(guān)系求解即可.

【詳解】解：：？力90?,

CD

cosZ.ACD=----,

AC

*：KD//BC.

???NDCB=180°-ZD=l80°-90°=90°,

AC1AB,

...ZCAB=90°=XDCB,

???ZACD+ZACB=9（）。，ZB+ZACB=90。，

JZB=ZACD,

CD

cosZACD==cosB,

AC

故選:B.

9.（2025?上海松江?一模）在V4BC中，ZC=90°,AB=3,AC=2,下列結(jié)論正確的是（）

2222

A.tan>4=—B.cotA=—C.sirtA=—D.cosA=—

3333

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值

【分析】本題考查銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案.

【詳解】解：已知NC=90。，AB=3,AC=2,

；?BC7ABi-AC?=5

，A、taivl=,故選項(xiàng)錯(cuò)誤：

AC2

B、coL4=—=^,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

BC5

C、sin4=￡W=正，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

AB3

Ar2

A、cosA=—-=-,故選項(xiàng)正確；

AB3

故選：D.

10.（2025?上海閔行?一模）用含特殊銳角的三角比的式子表示：72=—.

【答案】2sin45°

【知識(shí)點(diǎn)】特殊三角形的三角函數(shù)

【分析1本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)45。的正弦值等于日求解即可.

【詳解】解：Vsin45°=—,

2

AV2=2sin45°,

故答案為：2sin45°.

11.（2025?上海寶山?一模）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,如果。、E分別是邊A8,AC的中點(diǎn)，=4,

V4無(wú):的面積是5,那么NAC。的正切值是.

9

【答案】T/0.4

【知識(shí)點(diǎn)】求角的正切值、與三角形中位線有關(guān)的求解問(wèn)題

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，求正切；根據(jù)三角形中位線定理得出。石的長(zhǎng)，再結(jié)合

V4OE的面積得出4E的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AC的長(zhǎng)，最后將NA8轉(zhuǎn)化為NA即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：。、E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，

.?.?！晔荲ABC的中位線，

ADE//BC,DE=-BC.

2

又ZAC8=90。，BC=4,

ZAED=90°,DE=2,

垂直平分AC,

DA=DC,

:.ZACD=ZA.

-ADE的面積是5,

:.^AE-2=5t

則AE=5,

:.AC=2AE=\0.

在RtaABC中，

ABC42

tanA==—=—,

AC105

2

Jtan/A8=tan4=一工

5

2

故答案為：—.

12.（2025?上海奉賢?一模）等腰三角形48c中，AB=AC,BD、CE分別是邊AC、A5上的中線，且

BD工CE,那么tanZABC=.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、三線合一、斜邊的中線等于斜邊的一半、求角的正切值

【分析】設(shè)8。與CE交于。連接AQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H,由題意得，點(diǎn)Q為VA8C的重心，則〃為8c

中點(diǎn)，AQ=2QH,則△Q6"為等腰直角三角形，設(shè)QH=m,則肛AQ=2/〃，即可求解.

【詳解】解：設(shè)BD與CE交于Q,連接AQ并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)，，

A

由題意得，點(diǎn)。為VA8C的重心，

???，為8C中點(diǎn)，AQ=2QH

VAB=ACf

???AHIBC,

VBD1CE,〃為BC中點(diǎn)

，QH=HB=HC=；BC,

VAHIBC,

為等腰直角三角形，

工設(shè)Q"=，〃，則B"=〃?,AQ=2m,

?./AAA"3m

..tanZ.ABC==——=3,

BHm

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)角的正切值，等腰三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟

練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?上海嘉定?一模）在等腰V/1AC中，AB=AC,如果人8:4C=3:2,那么sin/84C的值是

【答案】逑

9

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求角的正弦值

【分析】本題考查求角的正弦值，勾股定理..過(guò)點(diǎn)B作8O_LAC,根據(jù)鉆:8C=3:2,不妨設(shè)AB=AC=3,

BC=2,設(shè)CD=x,勾股定理列出方程求出C。的長(zhǎng)，進(jìn)而求出8D的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)3作8O_LAC,如圖，設(shè)8=x,

A

■:AB:BC=3:2,

???不妨設(shè)｛4=AC=3,BC=2,則：AD=3-x,

在RtAADB中，BD2=AB2-AD2>

在RtZXCQB中，BD2=BC2-CD2,

AAB2-AD2=BC2-CD2,即：32-(3-x)2=22-x2,

2

解得：x

J

r.CD=-,

3

???如荷方=殍

4yli

在Rt&lDB中,?BD下4夜,

sinZBAC===

AB39

故答案為：巫

9

14.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）已知在V/1BC中，AB=AC=3,BC=2,那么N84C的正弦值等于

【答案】曰近

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、用勾股定理解三角形、求角的正弦值

【分析】本題主要考查了正弦的定義，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)4作A”_L8C于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作

CK_LAB丁點(diǎn)K根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理得出再根據(jù)等面積法求出CK,再根據(jù)三角形正

弦的定義求解即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作4〃_L8C于點(diǎn)兒過(guò)點(diǎn)C作CKJ.A8卜點(diǎn)K.

A

???BH=CH=\,

JAH7ABi-BH2="一I=272，

'：CK±AB

：.-BCAH=-ABCK,

22

/AH?2.2a4右

22

472

?一CK丁4女

sinZ.BAC=---=-----=----

AC39

故答案為：逑.

9

15.（2025?上海普陀?一模）如圖，VA4C中，AB=AC,A8的中垂線?！攴謩e與A8、BC交于點(diǎn)E、D.如

果8。=4,DC=5,那么/8的余弦值為

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、求角的余

弦值

【分析】連接A。，先利用等腰三角形的性質(zhì)可得4=NC,再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得

BE=gBA,DA=DB=4,從而可得4=/MD，然后利用等量代換可得：ZBAD=NC,從而可證

ABADs/\BCA,最后利用相似三角形的性質(zhì)求出84的長(zhǎng)，從而求出庭的長(zhǎng)，再在R/中，利用銳

角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解:連接4。，

VAB=ACt

:.NB=/C,

?；DE是AB的垂直平分線，

/.BE=LBA,DA=DB=4,

2

:.NB=/BAD，

：.ZBAD=ZC,

NB=NB,

J△BAXABCA,

.BABD

：.BA2=BCI3D=（4+5）x4=36,

:.BA=6或班=-6（舍去），

/.BE=-BA=3

2t

BF3

在RtBED中，cos5=—=-,

BD4

3

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性

質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

4

16.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在RtAABC中，ZABC=90,8。_LAC于。，如果cotA=§,那么cos/CBD

的值是.

B

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求角的余弦值

【分析】此題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出

ZA=NCBD,則cosNC8O=cosA,再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求解即可.

【詳解】解：???/A8C=90,BOJ.AC,

???ZA+ZABD=NCBD+ZABD=90°,

：,ZA=ZCBD,

4

*.*cotA=—,

3

設(shè)A8=4x,BC=3x,

；?，。=勿4+8。2=5x，

..cosZCBD=cosA==—,

AC5

4

故答案為：T-

J

17.（2025?上海靜安?一模）如圖，已知.ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在小正方形的方格頂點(diǎn)上，那么sin。的值是—.

【答案】跡

50

【知識(shí)點(diǎn)】求角的正弦值、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題

【分析】本題考查了三角形函數(shù)、勾股定理.苜先根據(jù)網(wǎng)格求出三角形的三邊，在三角形中過(guò)點(diǎn)A作AQJ.4C,

利用三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)正弦的定義求出結(jié)果.

【詳解】解?：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作4O_L8C,

在//WC中AB=3，AC=712+32=x/io?BC=V32+42=5?

:.S.=-BCAD=-AD,

rtr22

當(dāng)以人4為.ABC的底邊時(shí)，對(duì)應(yīng)的高為3,

v9

.\-AD=-

22t

9

解得：AD=-,

9

99N/H).

sinC=—=-^==—7==------

ACy/105M50

故答案為：觀.

50

18.（2025?上海楊浦?一模）已知矩形ABC。（A/）＞人4）,點(diǎn)E是邊A/）的中點(diǎn)，將“跖沿BE翻折，點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC那么tanNFBC=.

【答案】—/7V2

44

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、勾股定理與折疊問(wèn)題、矩形與折疊問(wèn)題、求角的正切值

【分析】延長(zhǎng)3廠交CO于點(diǎn)G,連接EG,由矩形的性質(zhì)可得45=8,AB//CD,

N8AE=/8CD=NO=90。，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得/胡b=NGb,由折置的性質(zhì)可得4E=莊,

AB=FB,NBAE=NBFE=9（）o,由等邊對(duì)等角可得4%b=NAF3,利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得

ZEFG=180°-ZBFE=90°,由對(duì)頂角相等可得—A網(wǎng)=4如G,進(jìn)而可得NGB=NC尸G,由等角對(duì)等

邊可得FG=CG,由點(diǎn)E是A。邊的中點(diǎn)可得AE=OE,進(jìn)而可得。七=在，利用HL可證得

Rt.EFG^RtEDG,于是可得?G=/X7,進(jìn)而可得。G=CG,則CG=；CO=JA/3即

AB=2FG,BF=2FG,BG=3FG=3CG,利用勾股定理可得8C=JBG?-CG?=20CG，然后根據(jù)

tan/咫C=5^即可得出答案.

Lj

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)所交C。于點(diǎn)G,連接EG,

G四邊形ABCZ）是矩形,

:.AB=CD,AB//CD,ZBAE=ZBCD=ZD=9()°,

:.NBAF=NGCF,

將沿跖翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)尸處，

：.AE=FE,AB=FB,NBAE=NME=90。,

:.ABAF=ZAFB,

NBFE+/EFG=180°,

NEFG=180°-ZBFE=90°,

又?.?ZAFB=/CFG,

NGCF=NCFG,

:JG=CG,

.ZEFG=90°,

.\ZEFG=ZD=90o,

點(diǎn)七是A。邊的中點(diǎn)，

..AE=DE,

:.DE=FE,

又EG=EG,

Rt.EFGgRt..EDG(HL),

:.FG=DG,

:.DG=CG,

:.CG=-CD=-AB

22f

:.FG=-AB

2t

:.AB=2FGt

；.BF=2FG,

:.BG=3FG=3CG,

/.BC=ylBG2-CG2=y/（3CG）‘-CG?=2叵CG，

?.t"FBC=T=%=、=顯,

BC2V2CG2V24

故答案為：紅.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正切值，矩形的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，折疊的性質(zhì)，等邊對(duì)等角,

利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度，對(duì)頂角相等，等角對(duì)等邊，線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，線

段的和與差，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

Z點(diǎn)分解直龜三角形相關(guān)計(jì)算

19.（2025?上海奉賢?一模）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)ROP=10,射線OP與工軸正半軸的夾

3

角為。，如果sina=g,那么點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

【答案】（8,6）

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、已知正弦值求邊長(zhǎng)

【分析】過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)M,利用三角函數(shù)的定義，勾股定理，點(diǎn)的坐標(biāo)的意義解答.

本題考查了正弦函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，坐標(biāo)的確定，熟練掌握正弦函數(shù)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM_Lx軸于點(diǎn)M,

?**OM=yjOP^-PM2=Vl02-62=Vl（X）-36=>/64=8?

???點(diǎn)產(chǎn)（&6）.

故答案為:(8,6).

3

2。.(2。25,上海楊浦?一模)在口1"席中'幺以=90°,垂足為點(diǎn)“BC=9,cosZACD=-,

那么AB的長(zhǎng)為—

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、余弦的概念辨析、已知余弦求邊長(zhǎng)

【分析】本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，余弦的定義，已知余弦求邊長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握

余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

由乙4。8=90?？傻肗ACZ)+N8CD=90。，由C￡>_LA8可得NC￡>8=90。，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可

得/8CD+ZB=90。，進(jìn)而可得NA=NACD,則cos/8=cos/ACD=—,即cosNB=----=—,由此即可求出

4AB4

的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，

X

L\AQZACB=90。，

CB

/.ZA8+N38=90°,

CDLAB,

/SA=90。，

;.NBCD+NB=90°,

:.NB=ZACD,

3

cosNB=cosZ.ACD=—,

4

/nBC3

/.cosz?=----=—,

AB4

44

...AB=-BC=-x9=l2

33f

故答案為：12.

2

21.（2025?上海閔行?一模）在Rtz\A8C中，ZC=90°,A8=10,cosA=-,那么直角邊AC長(zhǎng)為.

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】已知余弦求邊長(zhǎng)

【分析】本題考查解直角三角形.先根據(jù)余弦定義求得AC即可.

【詳解】解：如圖,

2AC

???在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=]O,cosA=-=—

5AB

：.AC=-AB=-x\0=4,

55

故答案為：4.

2

22.（2025?上海普陀?一模）已知VA8C中，N84C=90。，AO是邊BC上的高，cotZDAC=-.如果8。=4,

那么AD=.

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考杳了余切的定義，根據(jù)已知可得N8=90O-ND48=ND4C,進(jìn)而根據(jù)余切的定義，得出

cotB=M=：,即可求解.

AD3

【詳解】解：如圖所示，

VA8C中，ZBAC=90°,4。是邊BC上的高,

???=90°-NDAB=ZDAC

2

???cotZDAC=-

3

???AD=6,

故答案為：6.

23.(2025?上海黃浦?一模)如圖，已知點(diǎn)。是VMC的重心，BOW如果8。=8,那

么點(diǎn)A、。的距離為.

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、由平行判斷成比例的線段、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】此題主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行線分線段成比例.連接AO并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)

E在AE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，，使EH=EO,連接八"，BH,延長(zhǎng)CO交A3于點(diǎn)兒解Rt30C得OC=6,

8c=10,證明四邊形是矩形得C尸〃BH,OH=BC=10,然后利用平行線分線段成比例求得得

AO=OH=1(),據(jù)此nJ得點(diǎn)A、。的距離.

【詳解】解：連接40并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)￡在4E的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)〃，使日/=9，連接A",BH，延

長(zhǎng)CO交A8于點(diǎn)人如圖所示：

OC3

J在心80c中，tanZCBO=——=-,

OB4

???08=8,

3

???OC=±OB=6,

4

2:22

由勾股定理得：BC=yl0C+0B=>/6+8=10?

???點(diǎn)。是VABC的重心，

AAE,C尸都是VABC的中線，

:?BE=CE,AF=BF,

又?:EH=EO,

???四邊形8“。是平行四邊形,

???BOLCO,

???平行四邊形3”。是矩形，

:.CF〃BH、OH=BC=\0,

.AFAO

??,

BFHO

,:AF=BF,

AAO=OH=\Q,

???點(diǎn)A、。的距離為10.

故答案為：1。.

24.（2025?上海青浦?一模）在VABC中，NC=90。，點(diǎn)。、E分別在邊人4、4c上，且垂直平分A8.聯(lián)

結(jié)8￡,如果tanN4=；,那么cosZ.CBE=.

3

【答案】~/0.6

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了解直角三角形及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)及正切和余

弦的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)及余弦和正切的定義即可解

決問(wèn)題.

【詳解】解?：如圖所示，

AE=BE.

??人BCI

.tanA=---=—,

AC3

設(shè)8c=a,AC=3a,

:.CE=3a-AE=3a-BE.

在RtBCE中，CE1iBC-=BE\

/.(3a-BE)2+a2=BE\

BmE=—5a.

3

在RtBCE中,

cosZCBF=—=-^=-.

BE九5

3

3

故答案為：—.

J

25.(2025?上海虹口?一模)如圖，在中，ZABC=90SAC=5,tanC=2,。是AC上的動(dòng)點(diǎn),

將△8C。沿翻折，如果點(diǎn)C落到△A3。內(nèi)(不包括邊)，那么C。的取值范圍是.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理與折疊問(wèn)題、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，先解直角

三角形得到A8=28C,再利用勾設(shè)定理求出BC=逐：設(shè)點(diǎn)。擰疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,再分點(diǎn)E恰好在AC上

和點(diǎn)E恰好在A8上兩種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???在RtZ\ABC中，ZABC=90°,tanC=2,

,,正=2，

???AB=2BC,

在RlZ\A8C中，由勾股定理得4丁+8。2=A。2,

???(2BC)2+BC2=5\

ABC=5

設(shè)力、C’折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)石恰好在4c上時(shí)，

由折疊的性質(zhì)可得NBDC=ZBDE=90°,則同理可得CD=\；

BC

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E恰好在A8上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作OFd.8c于F,

A

由折疊的性質(zhì)可得/EBD=NCBD=1NABC=45°,

2

???DFLBC,

???V8D/是等腰直角三角形，

???BF=DF,

nr

???在RtZ\C￡>/中，tanC=——=2,

CF

???BF=DF=2CF,

JBC=BF+CF=3CF=5

??Cr=——,

3

:.CD=VCF2+DF2=45CF=-,

3

???當(dāng)點(diǎn)C落到△ABD內(nèi)（不包括邊）時(shí)，

故答案為：l<CO<g.

26.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，在一副三角尺中，ZBAC=ZEDF=90°,ZB=30°,NE=45。，AB=EF,

分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)。畫(huà)AG、O”交邊8C、邊用于點(diǎn)G、點(diǎn)”，如果AG分割VA4C得到的兩個(gè)三角形與DH

AC

分割.QE尸得到的兩個(gè)三角形分別相似，那么黑?的值為_(kāi)_____.

DH

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解青角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查的是三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定，先證明AC：AB：BC=I：G：2,

DE:DF:EF=1:1:6,結(jié)合A5=EV，設(shè)AB=EF=a小,可得AC=&〃?，4C=2&，〃，DE=DF=Cm,

由4w/E可得AG分V48c的兩個(gè)三角形與Z）H分?！?的兩個(gè)三角形相似，可得BAG^DEH,

ACG^FDH,過(guò)G作GK_LA8于K,過(guò)H作HLLDE于L,則-AKG/EL”為等腰直角三角形；再進(jìn)

一步求解即可.

【詳解】解：???NBAC=NEOF=90o,N8=30o,NE=45。，

AAC:AB:BC=\:>/3:2fDE:DF:EF=，

*/AB=EF,

設(shè)A8=EF=瓜m?

***AC=yflm?BC=2x[2m,DE=DF=\/3w,

VZBwZE,

如圖，AG分VABC的兩個(gè)三角形與?！狈?DE/的兩個(gè)三角形相似，

:?/B=NEDF=3G,ZZMG=ZE=45°,ZC4G=ZF=45°,NC==60°,

BAGs,DEH，ACGs,FDH，

過(guò)G作GK_LA8于K,過(guò)H作HL工DE于L,

則.AKG,」ELH為等腰直角三角形：

設(shè)AK=GK=x,EL=LH=y,

???頷爾與生.一tan/皿邛啜=忑匕

3BK\J6rn-x

3-6

解得:y=m，

/.AG=\/2x=(3-\[3^rn,DH=2y=,

.AG.

..-----=1，

DH

故答案為：1

27.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，己知在V/WC中，高AZ）、3E相交于點(diǎn)F,tanC=-,BD-CE-6,那

么跖的長(zhǎng)為

【答案】9-25/13/-2713+9

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】此題重點(diǎn)考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確運(yùn)用勾股定理、解直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)同角的余角相等得到N3H）=NC=900-NC8E,由解直角三角形的知識(shí)得出尸。和8E的長(zhǎng)，由勾股

定理即可求出所的長(zhǎng).

【詳解】解：?.在VA4c中，高A。、防相交于點(diǎn)尸，

:八DJLBC,BELAC,

:.ZBDF=NBEC=90。,

ABFD=ZC=90°-ZCZ?E,

3

vtanC=-,BD=CE=6,

2

BD「BE3

---=tanZ.BFD=tanC=—=—,

FDCE2

22

：?FD=—BD=—x6=4,

33

BE=-CE=-x6=9,

22

???BF=VBD2+Frr=762+42=2713,

：.EF=BE-BF=9-2y[\3,

故答案為：9—25/13.

3

28.（2025?上海寶山?一模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,tanZ^=-,AC=6,。是斜邊A8二任意一點(diǎn),

4

點(diǎn)、E、尸分別是“CDsBCQ的重心，那么四邊形CEZ）產(chǎn)的面積是.

【答案】8

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、重心的有關(guān)性質(zhì)

【分析】本題考查解直角三角形，三角形的重心，先求出8C的長(zhǎng)，進(jìn)而得出VAKC的面積，再分別連接

AE,8/并延長(zhǎng)，根據(jù)重心的性質(zhì)得出它們與C。的交點(diǎn)為同一點(diǎn)，最后得出CDE及VC。產(chǎn)的面積分別為

,SC￡>和△58面積的g即可解決問(wèn)題.

AC3

【詳解】解：在RtZ\A8C中，tanB=—=-,AC=6.

BC4

:.BC=8,

:.S<=-2AC-BC=-2x6x8=24,

**?SACD+SBCD=24.

連接尸并延長(zhǎng)，分別交CD于點(diǎn)N,

■:E,產(chǎn)分別為.A8和△4C。的重心，

???點(diǎn)M為CO中點(diǎn)，點(diǎn)N為CO中點(diǎn)，

???M,N重合.

???點(diǎn)E為.ACD的重心，

；?AE=2EM,

???cADE—-6.DEM?，q,ACE~—6CEM?

**S、cD￡=?

同理可得，S.CDF=；S.BCD，

**S.CDE+SCDF=~(*^MCD+Ssen)=24=8,

即四邊形CEDF的面積為8.

故答案為：8.

29.(2025?上海寶山?一模)如圖，已知V48C,A8=AC=4,ZB=30°,。是邊8c的中點(diǎn)，線段AB繞

點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A8',線段ATT與AC8C分別交于點(diǎn)￡尸，如果AEFC是直角三角形，那么

AE的長(zhǎng)是.

【答案】G+1或2

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等腰三角形的性質(zhì)和判定、含30度角的直角

三角形

【分析】由三線合一可得AO上8C,進(jìn)而求出各邊長(zhǎng)，然后根據(jù).瓦C是直角三角形分類討論，當(dāng)

NF￡C=90。時(shí)或ZE"C=90。時(shí)，畫(huà)出圖形，利用特殊角求解即可.

【詳解】解：連接AO,

VAti=AC=4f。是〃C'中點(diǎn),

AADJ.BC,&PZ4DB=90°,

???Zfi=ZC=30°,

AZZ?AD=60°,4)=[44=底4=2,=CD=Afi?cos30°=25/3,

22

???線段AB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段49,

AZZiAD=ZA,=60o,23=N4'=30。，BD=B'D=2>/3,

①當(dāng)NFEC=90。時(shí)，

?IZC=30°,

JZEFC=60°=ZDM*,

???AA'Z)/是等邊三角形，

JDF=AD=2,

,CF=CD-DF=26-2,

:.CE=CF*cos30°=(2x/3-2)x^-=3-V3，

???AE=AC_CE=4_(3-@=G+1；

②當(dāng)NEFC=900時(shí)，

此時(shí)乙4'尸D=90。，NA'=60。，ZA'D/=30。,

在Rt4尸。中，AO=2,

：,。尸=AO?sin600=2x正=6,

2

:?CF=CD-FD=2&->5=B

在RtZXEPC中，ZC=30°,

.CE=￡-=3=2

?cos30°V3

2

???AE=AB-CE=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)

算，掌握等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合分析，分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

30.（2025?上海徐匯?一模）如圖，4〃4〃4,且4和4之間的距離是14和4之間的距離是的三個(gè)

頂點(diǎn)分別在444上，/AC與，2交于點(diǎn)。，如果BC_LAGtun/班C=g,那么3D的長(zhǎng)是.

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查平行線分線段成比例，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)8作4E_L/3,AFU，

AF交12于點(diǎn)G,根據(jù)平行線分線段成比例，得到甯=；,證明8ECS.CE4,求出CE的長(zhǎng)，勾股定理求

出BC的長(zhǎng)，銳角三角形函數(shù)求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)4作6￡口，AF±/3,■交4于點(diǎn)G,則：Z5EC=ZAFC=90°,AG=1,BE=FG=2,

AAF=3,

.ADAG1

??==—，

CDFG2

：.CD=2AD,

VBC±AC,tanZBAC=-,

3

BC1

???一=-,Z4CB=90°,

AC3

???MBCE=ZCAF=90°-ZACF,

???4BEC=/AFC=鄧,

???BECsCFA,

.CEBC1

**AF-4C-3'

；?CE=\,

；?BC=\lEC2+I3E2=75?

JAC=38C=35

：.CD=-AC=245,

3

在RtZ\3C￡＞中，由勾股定理，得：BD=\IBC?+5=5；

故答案為：5.

31.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在中，ZACB=90°,A8=5,sin8=g，點(diǎn)ED分別在邊AB,

BF4

BC上,—如果NC4Z）=/B,那么M的長(zhǎng)是.

X--x_xJ

A

cD”

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、已知正弦值求邊長(zhǎng)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查解直角三角形.熟練掌握銳角三角函數(shù)和勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正弦值求出人C的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出8C的長(zhǎng)，根據(jù)/C4D=NB,得到tanNC4E=tanA,進(jìn)而求

RF4

出CO的長(zhǎng)，再根據(jù)石=5,求出或:的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：???在中，^ACB=90°,AB=5,sinfi=—=-,

AB5

???AC=3,

；?BC=>JAB2-AC2=4,

???ZC4D=ZB,

tanZ.CAE=tanB,

.CD_AC

**AC-BC*

.CD3七八9

..--=—,CD=—,

344

..BE_4

*~CD~3f

/.BE=3.

32.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，在矩形A3c。中，AB=4,BC=6.點(diǎn)E在邊4。上，連接施，將

沿著跖翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸，連接FZ）.如果FD〃BE,那么點(diǎn)尸到CO的距離為.

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問(wèn)題、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問(wèn)題），掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意畫(huà)出圖

形，根據(jù)AQ〃4C,AG=FG,得出AE=OE,再通過(guò)相等的角的三角函數(shù)值相等，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作在PJ_CD于點(diǎn)P,

AG=FG,

AE=DE=—AD=3,

2

/.BE=dAE2+AB2=5,

FD//BE,

:.ZAFD=ZAGE=9(r,

ZDAF=ZABE=ZCDH,

DF.八適八上3

/.sinZDAF1r==sin/ABE==-

ADBE5

33.（2025?上海靜安?一模）如圖，在aAAC中，8。是MAC的中線，BC=2BD,AC=6>/5,1anA=；,

那么A4的長(zhǎng)為—.

【答案】8

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，勾股定理，合理構(gòu)造犍助線得到

DEI

tan/l=—=-,證明「AOES,ACV,是解題的關(guān)鍵.

AE2

DE1

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。E_LA3于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作5_1_48延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，可得tanA=、；=二，由勾股定

AE2

理解得。七二3（負(fù)值舍去），再證明ADE^.ACF,得到四=三=里=尊=,，求出CF=2OE=6,

AC~CF~AF~6y/5~2

AF=2AE=\2,貝U￡F=Af-AE=12-6=6,設(shè)BE=x,貝ij8F=EE-8E=6-x,在MBDE中,運(yùn)用勾

股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作OE_LA3于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作。_L4B延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

c

：.AD=CD=-AC=-x6y/5=3y/5,

22

DE1

在K/AOE中，tanA=——=-,

AE2

:.AE=2DE,

:.AD2=AE2+DE2=（2DE）2+DE2,即（3石了=5DE2,

解得，DE=3（負(fù)值舍去），

???AE=6,

DE±AB,CF±AB,

Z.DECF,

???ADE^ACF,

.ADDEAE3亞1

ACCFAF6近2

：,CF=2DE=6,A產(chǎn)=2A￡=12,貝U斯二Ab-AE=12—6=6,

設(shè)BE=x,WiJBF=EF-BE=6-x,

在R/BDE中,BD?=BE?+DE?=x2+9,

???BC=2BD,

JJ?C2=4?D2=4（X2+9）,

在Rf8c/中，BC2=BF2+CF2=（6-x）2+62,

.\4（X2+9）=（6-X）2+62,

整理得，X2+4X-12=0,

解得，x,=2,X2=-6（不符合題意，舍去），

，BE=2,

???AB=AE+BE=6+2=8,

故答案為：X.

34.（2025?上海虹口?一模）過(guò)三角形的重心作一條直線與這個(gè)三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三

角形相似，那么我們把這條直線叫做這個(gè)三角形的“重似線”，這條直線與兩邊交點(diǎn)之間的線段叫做這個(gè)三

4

角形的“重似線段如圖，在V48C中，AB=10,tan/?=-,tanC=2,點(diǎn)。、E分別在邊A8、AC上,

如果線段QE是VABC的“重似線段”，那么DE=.

【答案】千或3石

【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角