解析幾何：三角形面積問(wèn)題、四邊形面積問(wèn)題、周長(zhǎng)問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一三角形面積問(wèn)題

1.(24-25高二下?河南鶴壁期末)已知雙曲線從.--卷=1e>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為從過(guò)點(diǎn)尸且垂直于x

軸的直線與E交于A,C兩點(diǎn)，其中B位于第一象限，且48工力。.

(1)求上的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)F且斜率為;的直線/與￡交于M,N兩點(diǎn)，求△&%二的面積.

2.(24-25高二下?云南昆明?期末)已知橢圓C：E+A=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，鳥(niǎo)，過(guò)點(diǎn)々作直線/

a~b

與。交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方).當(dāng)/的方程為y=JJ(x+l)軋|力到=2.

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)"為線段48的中點(diǎn)，求面積的最大值.

3.(24?25高二下?陜西西安?期末)已知橢圓C：5+￡=l(a〉…)的離心率為且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)E的直線/與橢圓C交于4B兩點(diǎn),求三角形。48面積的最大值.

4.(24-25高二下?甘肅白銀?期末)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為圓/+爐=20上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線/垂直x軸于點(diǎn)

。，點(diǎn)M滿足行=血兩.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。的方程；

(2)若直線/:y=x+m(m/0)與曲線C交于48兩點(diǎn)，求三角形O/B面積的最大值.

5.(24?25高二上?安徽黃山?期末)已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)尸(2,4).

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作直線/交拋物線于另一個(gè)交點(diǎn)。(。在第四象限)，設(shè)直線。巴尸。的斜率分別為4,《，若4+2%=0,

求△。尸。的面積.

6.(24?25高二下?江蘇南京?期中)已知橢圓的離心率為正，左、右頂點(diǎn)分別為A、B,

(T卜3

點(diǎn)尸、。為橢圓上異于A、8的兩點(diǎn)，A/IB尸面積的最大值為卡.

(1)求橢圓。的方程：

(2)設(shè)直線8。的斜率分別為勺、3，且勺=2A1

①求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

②設(shè)△尸和的面積分別為$、S”求IE-SJ的最大值.

7.(24?25高二下?廣東廣州?期中)如圖所示，橢圓二+與=1(心力>0*」，必=加,尸(%,為)是橢圓上任一點(diǎn),

a"o

0是坐標(biāo)原點(diǎn)，PO=2OM，過(guò)M作直線交橢圓于44兩點(diǎn)，且4M=R”，當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，|<8|=后.

(1)求“力的值，并證明直線AB的方程為xox+2為y+1=0；

(2)探索△P/出的面枳是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

8.(24-25高二下?湖南郴州?期末)已知雙曲線［-二的一條漸近線為》=x,且右焦點(diǎn)尸到這條

crb”

漸近線的距離為血.

(1)求雙曲線的方程：

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與雙曲線的右支交于4、8兩點(diǎn)，與漸近線交于C、。兩點(diǎn)，力與。在x軸的.匕

方，〃與。在x軸的下方.設(shè)耳、52分別為△40C的面積和△80。的面積，求5+Sz的最大值.

考點(diǎn)二四邊形面積問(wèn)題

1.(24?25高三上?天津?階段練習(xí))已知橢圓C：?+，=1S〉/)>O)的離心率為等，且過(guò)點(diǎn)l,g.

(I)求橢圓。的方程；

(2)若斜率為;的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)44分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求

四邊形4W8N面積S的最大值.

2.(24-25高二下?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知橢圓從捺+￡=1(。力>0)過(guò)點(diǎn)，用，焦距為2.

(1)求七的方程；

(2)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線AB,CO與曲線E分別交于4B,C、D四點(diǎn)，設(shè)線段AB,CD的中點(diǎn)

分別為M,N.

⑴證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)；

(ii)求四邊形力CAO面積的取值范圍.

3.(24?25高二下?河南濮陽(yáng)?期末)已知橢圓氏5+￡=l(a〉…)的離心率為平，上頂點(diǎn)為加(0,1).

⑴求￡的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)N(-2,1)的直線/與上交于45兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)8在x軸的下方，直線加4歷8分別與x軸交于點(diǎn)

C,D.

(i)證明：|NC|=|M)|；

(ii)求四邊形力C3。面積的最大值.

4.(2025?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓以雙曲線C：［-y2=］的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，且過(guò)點(diǎn)［

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：?=6+/卜力士￡|與雙曲線G交于48兩點(diǎn)，與橢圓G交于G。兩點(diǎn)，直線仁＞=即x平分線段

力民/2：y=&r平分線段CO.

(i)求生的值；

(ii)求直線4,4與橢圓G的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍.

5.(2025?河北保定?二模)已知橢圓C:‘點(diǎn)■，("匕＞。)的左、右焦點(diǎn)分別為耳心，點(diǎn)〃在。上運(yùn)動(dòng)，G是

△西片的重心，且點(diǎn)G到點(diǎn)〃卜日,0與到點(diǎn)S(母,。)的距離之和為g.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)43分別為C的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。在直線x=4上，直線。力與。的另一個(gè)交點(diǎn)為M,直線Q5與C的另一個(gè)

交點(diǎn)為N.

(i)證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)：

(ii)求四邊形4N4A/面積的最大值.

6.(2025?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓E:1(〃過(guò)點(diǎn),焦距為2.

(1)求七的方程;

(2)若/1,0),過(guò)產(chǎn)作兩條相互垂直的直線。與曲線E分別交于人B,C,。四點(diǎn)，設(shè)線段。與的

中點(diǎn)分別為M，N.

(i)證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)；

(ii)求四邊形力。8。面積的取值范圍.

7.(2025?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線r：_/h2Px(0>0)的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)廠作兩條直線

IJ,這兩條直線與拋物線「分別交于48和C、D兩點(diǎn)、.當(dāng)43垂直于x軸時(shí)，|力例=4.

(I)求拋物線「的方程；

(2)若4B_LC。，求四邊形4c8。面積的取值范圍；

(3)將△38繞)’軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體體積的最小值.

8.(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立

發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙

口圓，且蒙口圓的半徑為77萬(wàn)(。為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，方為橢惻的短半軸長(zhǎng)).已知橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)

(&,0)的距離與到直線工=空的距離之比為白，橢圓七的蒙F1圓為圓。.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢I員IE上的任意一點(diǎn)，耳工是橢圓左右焦點(diǎn)，直線O尸與圓。相交于"N兩點(diǎn)，

求證：局1PM.i西尸M是定值;

⑶過(guò)點(diǎn)。(1,0)作直線4交圓。十A、8兩點(diǎn)，作直線乙交橢圓七十。、。兩點(diǎn)，且/一如求四邊形力力8c面積的

最小值.

考點(diǎn)三周長(zhǎng)問(wèn)題

1.(24?25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期末)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到定點(diǎn)廠(c,0)的距離與它到定直線x=4的距離之比為常數(shù)￡.其

ca

中。>0,c>0,且"c,記點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；

(2)當(dāng)Q=l,c=G時(shí)，記C的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,過(guò)點(diǎn)(-2,0)的直線與c的左支交于。，E兩點(diǎn)，直線。4與

七4交于點(diǎn)。，求證：點(diǎn)。在定直線上；

(3)當(dāng)。=2,c=l時(shí)，設(shè)尸若C上兩動(dòng)點(diǎn)M,N均在x軸上方，F(xiàn)M〃FN,且FN與FM相交于點(diǎn)R,求

證：△/??'戶的周長(zhǎng)為定值.

2.(24-25高三下?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知點(diǎn)￡(-1,0),8(1,0),動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)々和鳥(niǎo)的

距離之和為4.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程：

(2)設(shè)直線/與曲線。交于。,E兩點(diǎn).

①若點(diǎn)力(0，碼，更線/過(guò)點(diǎn)片且與直線盟垂更，求的周長(zhǎng)；

②若OD1OE,求面積的取值范圍.

3.(24?25高三下?云南?階段練習(xí))已知橢圓C：5+g=l(a〉8>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳心，離心率為，點(diǎn)

，％N,7為橢圓。上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M,N,T為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，的面積為2石.經(jīng)過(guò)點(diǎn)片且斜率為M左>。)

的直線/與橢圓交于43兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在'軸上方)，將平面底勿沿x軸向上折疊，使二面角力-6乃-8為直二

面角，如圖所示，折疊后4〃在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為

折疊前折疊后

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)k=6時(shí)，求平面大安和平面ABR夾角的余弦值：

(3)是否存在上使得折疊后△力抬區(qū)的周長(zhǎng)是折疊前△力周長(zhǎng)的與？若存在，求女的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

16

由.

3

4.(2025?安徽?一模)己知拋物線C:y=62的準(zhǔn)線方程為》=—],直線y=》+，〃與C交于力凈兩點(diǎn).

(I)求。的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若〃7=6,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OA1OB.

(3)若廠為C的焦點(diǎn)，且△川尸的周長(zhǎng)為11+2回，求加的值.

5.（24?25高二下?上海黃浦?期中）已知橢圓E:[+《=l（a〉人＞0）,依次連接橢圓石的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形

"h~

面積為4G.

（1）若。=2,求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)。=2時(shí)，設(shè)直線/與橢圓后交于歷、N兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為G,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/、OG的斜率分別為

k、J,求證：上左儀；為定值；

⑶在第（2）小題的前提下，設(shè)點(diǎn)尸為橢圓E的右焦點(diǎn)，力（-2,0）,若/與E的交點(diǎn)/、N均不與點(diǎn)A重合，直線

/、4V的斜率分別為z、勺、&，若〃4+戰(zhàn)2+3=0,求△FMN的周長(zhǎng).

6.（2025?四川資陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO｝，中，橢圓C:二+片=1的左、右焦點(diǎn)分別為《，

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F”經(jīng)過(guò)點(diǎn)々且傾斜角為。的直線/與橢圓。交于4B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)力在X軸上方）.連接力行，BF2-

將平面x。），沿x軸向上折直，使二面角力