二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練11

平面向量

［考情分析］1.平面向量是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，命題突出向量的基本運(yùn)算與工具性，在解答

題中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題相結(jié)合，主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及

向量共線、數(shù)最積等2常以選擇題、填空題的形式考查平面向展的基本運(yùn)算，中低等難度;

平面向量在解答題中一般為中等難度.

【練前疑難講解】

一、平面向量的線性運(yùn)算

常用結(jié)論：

（1）已知O為平面上任意一點(diǎn)，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是存在s,3使得女=5-

且s+/=l,s,r^R.

（2）在△A8C中，A。是8c邊.上的中線，則病=；（贏+就）.

（3）在△ABC中，。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若。A+5h+女=0,則。是△ABC的重心.

二、平面向量的數(shù)量積

1.若a=（x,y）,則⑷二4v2+廣

2.若A（xi，y\）,8（x2，"），則一用=6。2—汨＞+（J2—yi門(mén).

3.若。=（即，），］）,8=（X2，”），。為。與〃的夾角，則="；，.

三、平面向量的綜合運(yùn)算

解決向量的綜合性問(wèn)題時(shí)，根據(jù)向量的幾何意義或者數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算研究最值問(wèn)題

及圖形的幾何性質(zhì).

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量第B忑滿足同=|同=I,同=,且/+5+才=0,則

cos（a-cfb-c）=（）

42-2?4

A.----B.----C.-D.—

5555

2.（2024?吉林延邊?一模）如圖，在VA3c中，ZBACAD=2DB,P為CD上一點(diǎn),

且衣="出乙+1后，若|衣1=3」貓1=4,則布①的值為（）

c

二、多選題

3.（2024?廣東?一模）已先向量卜=（1,G）,5=（cosa,sina）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若，//石,則tana=行

B.若三工B,則tana=

3

c.若萬(wàn)與6的夾角為:，則|d—B|=3

D.若日與5方向相反，則,在日上的投影向量的坐標(biāo)是（_g,_*）

4.（2022?廣東?二模）如圖，已知扇形0A8的半徑為1,NAOB=],點(diǎn)。、D分別為線段

OA、08上的動(dòng)點(diǎn)，且6=1,點(diǎn)￡為人8上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.的最小值為。B.誨.麗的最小值為1-0

C.配?助的最大值為1D.反.現(xiàn)的最小值為0

三、填空題

5.（2022?上海虹口?二模）已知向量Z，日滿足問(wèn)=2,忖=1,口+可=6,則

rr

a-b=.

6.（2023?上海楊浦?三模）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量也和B，定義ao/?二M，若平面

P'P

向量3、5滿足忖之忖＞0,。與方的夾角0,1?且不0/?和力02都在集合,§〃eZ，

中，貝Ijnob=

參考答案:

題號(hào)1234

答案1)1)ABI)BCD

1.D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)?+5+乙=0,所以:+/；=」，

即方2+k+2律5=已即1+1+2』?力=2,所以口?方=0.

如圖，設(shè)月=￡。6=乙

由題知,04=08=1,OC=&,AOA8是等腰直角三角形，

A8邊上的高0。=顯,AD=J

22

所以CQ=CO+OO=拒+也=逑，

22

(anZ.ACD=,cosZACD=~^=

CD3加

cos{a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

2.D

【分析】結(jié)合題意可知PC。三點(diǎn)共線，進(jìn)而得到〃利用向量基本定理表示出

7____

而一而，進(jìn)而表示5計(jì)算即可.

—2—

【詳解】因?yàn)槎?2麗，所以AQ'AB,

0001

因?yàn)?戶(hù)=〃*6+,八萬(wàn)，所以4戶(hù)=〃*3+,乂之斗力二小八6+之人力，

2224

^lAP=mAC+-AD,

4

3I

因?yàn)镻,CD三點(diǎn)共線，所以陽(yáng)十:=1,解得〃?二：,

44

__1一|一

所以AP=-AC+-A4.

42

^CD=-CB+-CA=-CB+-CA=-(AB-AC}--AC=-AB-AC

33333K/33f

所以=前<+g通)仔福-元)，

^APCD=-AB'--ABAC--AC=--2--=—.

3343412

故選：D.

3.ABD

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示判斷A；利用垂直的坐標(biāo)表示判斷B；利用數(shù)量積的運(yùn)

算律求解判斷C；求出投影向量的坐標(biāo)判斷D.

【詳解】向量4=(1,有),b=(cos<7,sin<2),

對(duì)于A,由日//萬(wàn)，得sina=6cosa,因此tana=G，A正確；

對(duì)于B,ftimS，得Vasina+cosa=0,因此tana=-且，B正確；

3

對(duì)于C,。與，；的夾角為g,|Z|=2,|B|=1,a?B=2xlx；=l,

因此|1—51=+b~—2ab=?C錯(cuò)誤：

—z廠、

對(duì)于D,d與萬(wàn)方向相反，則行在G上的投影向最為^=-<"=-2,--j,D正確.

222J

故選：ABD

4.BCD

【分析】以。為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，得3(0,1),4(1,0),設(shè)NEOA=。，則

E(cose,sine)(0e?，求出4汰?！?&sin,-?),利用6的范圍可判斷A；

求出麗、麗的坐標(biāo)，由山?方=l-&sin,+?),利用。的范圍可判斷B；設(shè)

C(z⑼(/?0/)，可得呢),71萬(wàn))，求出反、訪，由反?麗=1-sin(e+e),利用

以。為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，所以8(0,1),4(1,0),

iSZ.EOA=0,則E（cos0sin。）Os°最]}OE=（cosO,sin。），

^^=（一],]）,所以4瓦oE=sin。一cos6=&sin。一?），

因?yàn)?e0,1,所以，所以（夕一?）€[_*，曰],

所以而?礪4-1』，瓦.通的最小值為一1,故A錯(cuò)誤；

￡4=（1-cos夕-sin。），EB=（-cos0,1-sin,

所以EAEB=-COS0+cos:。一sin。+sin?。=1-0sin（o+?）,

因?yàn)镺.-y,所以夕+fw'T'~T~，所以sin（夕+￡e^-.1,

所以]_&sin（e+?）e[l_&,0],麗.而c[l一&,o],

面.刀的最小值為1-&，故B正確；

設(shè)。億0乂問(wèn)0』）,又皿=1,所以如=Ji不，可得0（o,7i二7）,

反二（1-CQS仇-sine）,~ED=（-cos6>,71^7-sin6>）,

所以EC-ED=/cos+cos2。一"一戶(hù)sinO+sin?6=l-(/cos6+Ji—I?sin。

=l-sin(6+0),其中cos*=Jl-f2,sin0=r?

又所以cose，sin8e[0j],所以好0,y,0+。?0,同，

sin(^+^)G[0,l],-sin(0+，)e[-l,O],所以反?加《0』],

ECED的最小值為0，故CD正確.

故選：BCD.

5.，

【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式及向量的數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】由|Z+N=G可得，向2+2￡出+懷=3,即4+210+1=3,解得：力=-1，

所以入4=府H麗二近.

故答案為：

6.工

2

【分析】由題意可設(shè)meZ,teZ,aQb=^,bOa=^-,得cos?0=千,對(duì)

4，f進(jìn)行賦值即可得出陽(yáng)，/的值,進(jìn)而得出結(jié)論.

Wab同cos。\n1_\b\cosO

【詳解】因?yàn)?。?！?商=一]^￡151〃￡2.故bO4=Uppe」〃eZ：

II

0＜日＜1,可設(shè)〃1eZ,reZ,令do5

又由同第＞0,則彳之1=y?另O'=；,且

同

又夾角研0,"所以

tn=3_m3

對(duì)〃？，1進(jìn)行賦值即可得出｛,,所以=

t=\22

3

故答案為:y.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?山西朔州?一模）已知同=2,6且力,5,則卜一25卜（）

A.272B.2下>C.4D.2卡

_____nullUUU

2.（2023?廣東茂名?一模）在V/WC中，AB=C>AC=b若點(diǎn)M滿足MC=2BM，則

旃=（）

12-21-5-22T1-

A.—bz+—cB.-hT—cC.-cbrD.-h+-c

33333333

3.（2023?安徽?一模）在三角形ABC中，4c=3,A8=4,ZCAB=120\則

（AB+AC）AB=（）

A.10B.12C.-10D.-12

4.（2024?廣東江蘇?高考真題）已知向量及=（0,1）出=（2,x）,若,_L（5-4㈤，則x=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),經(jīng)過(guò)C,D,到達(dá)

A,AE=AAB+^AC,則％+〃的取值范圍是（）

A.[-1J]B.[0J]C.[-12]D.[0,2]

6.（2023?浙江溫州?二模）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了

一段位移，我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：W=FS（其中W是功，聲是

力,）是位移）一物體在力耳=（2,4）和e二（-5,3）的作用下,由點(diǎn)4（1,0）移動(dòng)到點(diǎn)

8（2,4）,在這個(gè)過(guò)程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

7.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）如果向量入B的夾角為。，我們就稱(chēng)ZxB為向量

2與否的“向量積〃.還是一個(gè)向量,它的長(zhǎng)度為人同=同闞皿氏如果問(wèn)=10.

W=2,。?]=—12,則卜」卜（）

A.-16B.16C.-2（）D.20

8.（2023?福建福州?二模）已知忖=2同，若2與萬(wàn)的夾角為120、則23-辦在辦上的投影向

量為（）

-3-1-_

A.-3bB.——/?C.——D.3b

二、多選題

9.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）下列命題不正確的是（）

A.若a>〃，貝

B.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是〃=訛

C.向量Z石共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)4,使否=義￡

VX

D.已知命題p：Vx>0時(shí)，4>°?則命題P的否定為：土>0時(shí)，4<0

e*ex

10.（2023?廣東汕頭?二模）在VA8C中，已知旗=2,AC=5,Za4C=6O°,BC,AC邊

上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P,下列結(jié)論正確的是（）

A.AM=—B.BN=—

22

、757UUUJIHIMII

c.4WW的余弦值為卷-D.PA+PB+PC=0

IL（22-23高一下,浙江衢州?階段練習(xí)）已知向量4=（1,-2）,5=（-1,,〃），則正確的是

（）

A.若加=1,則,一萬(wàn)二>/將B.若,〃5，則〃?=2

C.若。與5的夾角為鈍角，則〃?D.若向曷是A與d同向的單位向量，則

」正a

C-5,5

\Z

三、填空題

12.（2023?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知向量3=（?2,3）,1=（3,-1）,且①+海）〃區(qū),則

同=---------.

13.。九九高三下.湖南長(zhǎng)沙.階段練習(xí)）設(shè)平面向量入B的夾角為60。,且i=1=2.

則3在萬(wàn)上的投影向量是.

14.（21-22高一下?北京?階段練習(xí)）如圖，四邊形A8CZ）為平行四邊形，

AE=；AB,DF=gFC,若A[=2AC+pDE,則2-〃的值為.

F

D,C

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CAADBABBABCABD

題號(hào)11

答案ABD

1.c

【分析】利用向量的數(shù)量積可求忖-2司.

【詳解】因?yàn)閍lb^則戶(hù)=3，，石=0，

貝！],一2可=a2-4a-h+4b2=4-0+4x3=16,故歸一留=4,

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：

LiuiruiuULwrLinaiLunmuiHimULK、iIIIIHoUUDIr2r

AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-（zAC-AB]=-AC-i--AB=-b+-c.

33、,3333

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.

【詳解】記*=4,通=J,則W=3，W=4,G㈤=120。,

,/Hb=|dZ|-|^|cosl20=12cos120=-6,

.,.伍+d）.〃=M+4F/?=16—6=10.

故選：A.

4.D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求1的值.

【詳解】因?yàn)楸貎H一向，所以"伍—甸=0,

所以對(duì)一4￡?〃=0即4+%2一4%=0,故x=2,

故選：D.

5.B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)成點(diǎn)的坐標(biāo)，分點(diǎn)E在BC,CD,AO三種情況，求出

2+〃的取值范圍.

【詳解】以8為坐標(biāo)原點(diǎn).AB,8c所在直線分別為工軸，V軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)A3=l,則B（0,0）,A（L0）,C（0,l）,O（Ll）,

當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),設(shè)E（0,m）,m€[0j],

則（一1,〃7）=/1（-1,0）+〃（-1,1）,即:，"=T，故4+4=1,

當(dāng)點(diǎn)￡在CD上時(shí)，設(shè)即,1）,問(wèn)0,1],

則（/-1,1）=4（-1,0）+〃（一1』），即:解得：]；，

故；1+4=1-問(wèn)0,1],

當(dāng)點(diǎn)后在AD上時(shí),設(shè)￡（1,〃）,〃武0,1],

則（0,“）=/1（-1,0）+〃（-覃），§P--,故％+〃=0

綜上，％+〃的取值范圍是

故選：B

6.A

【分析】利用條件，先求出兩個(gè)力的合力耳+E及他，再利用功的計(jì)算公式即可求出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)槎?(2,4),E=(—5,3),所以耳+耳=(一3,7),又A(l,o),儀2,4),所以

A4=(1,4),故W=(耳+月)?麗=-3+7X4=25.

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)向量的新定義和向量數(shù)量積計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橥?10,忖=2,75=一12,所以不力=|聞司cose=10x2cos8=-12,

所以cos8=一-,所以sin&，,所以卜同網(wǎng)sing=10x2x±二16.

555

故選：B

8.B

【分析】先計(jì)算(2%-力?鼠再根據(jù)投影向量公式即可計(jì)算.

【詳解】v(2a-b)b=2ab-b=2^a-|z?|-cosl20-|^|

.?.2Z-6在1上的投影向量為您,”互配一*1上=-片

HWWW2

故選：B

9.ABC

【分析1利用不等式的性質(zhì)判斷A,利用等比中項(xiàng)的概念判斷B,利用向量共線的概念判

斷C,利用全程命題的否定是特稱(chēng)命題判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=0時(shí)，命題不成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的必要條件是從=比,當(dāng)。=0,。=0"=1時(shí)，滿足

b2=ac,但不滿足三個(gè)數(shù)”,Ac成等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,非零向量］與弓共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)力使〃=〃：，當(dāng)均為零向

量時(shí)，共線，但存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)使石="，故錯(cuò)誤：

對(duì)于D,命題P：VX＞。時(shí)，。＞0,為全稱(chēng)量詞命題，根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量

e

詞命題可得命題P的否定為：Zh,0時(shí)，三工0,故正確.

e

故選：ABC.

10.ABD

【分析】求得AM的長(zhǎng)度判斷選項(xiàng)A；求得BN的長(zhǎng)度判斷選項(xiàng)B；求得的余弦值

判斷選項(xiàng)C；求得麗+麗+圮的化簡(jiǎn)結(jié)果判斷選項(xiàng)D.

【詳解】連接PG并延長(zhǎng)交八8于Q,

V4BC中，八3=2,AC=5,ZiMC=60°,

uuirizumnun、_i__

貝ijAM=—A8+AC,BN=-AC-AB,

2、＞2

兩=g祠=3(通+砌，PA=-|AM=-1(AB+XC)

PN=-BN=-AC--AB,PB=--BN=--AC+-AB

363333

o_o___i

PC=-QC=-AC—AB,

333

c

/

A

QB

選項(xiàng)A:/W=|而卜;“而十碼2+k+2穗AT

=—5十當(dāng).判斷正確;

J22+1X52-2x5x1=—.判斷正確:

V422

PZ?PM.

選項(xiàng)C：cosZ.MPN=cos

1—.1—.

-AC--AB±AC2--AB2-—ACAB

63361836

￡

網(wǎng)?1網(wǎng)AM

3

±x52-—x22---x2x5xi

_36183621

I7211x/39=3.判斷錯(cuò)誤;

—X---------X—X----------

3232

I[O)]

選項(xiàng)D:PA+PB+PC=—[AB+AC)一一AC+-AB+-AC一一AB=6.

33333

判斷正確.

故選：ABD

11.ABD

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及向量的模的坐標(biāo)表示即可判斷A；根據(jù)向量共線的坐

標(biāo)表示即可判斷B；若。與6的夾角為鈍角，則3不<0,且〃與〃不共線，列出不等式

r

ra

組，即可判斷C；若向吊:是"與。同向的單位向量，則。=百，從而可判斷D.

HI

【詳解】對(duì)于A,若〃=?1,則4。=（2,—3）,所以卜—4=JB,故A正確；

對(duì)于B,若,則〃?-2=0,所以/〃=2,故B正確；

對(duì)于C,若6與B的夾角為鈍角，則3%<0,且G與6不共線，

即《,解得〃?>-二，且/"W2,故C不正確；

，〃一2Ho2

--a（布2

對(duì)于D,若向量是c與G同向的單位向量，則。=目=（彳，—一］卜故D正確.

故選：ABD.

12.3V10

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椴?(/-2,3).5=(3,-1),所以。+25=(/+4/)，又m+2b)〃b,

所以。+4)x(—l)-3xl=o,解得］=一7,所以。=(-9,3),故同二3阮

故答案為：3y/l0.

1-

13.-b

2

【分析】根據(jù)題意，求得同cos60=l,進(jìn)而求得?在/；上的投影向量，得到答案.

【詳解】由題意知，平面向量入?yún)^(qū)的夾角為60。，且口=,=2,

,b1

則口cos60=1所以則￡在加上的投影向量為以慟二寸r.

1一

故答案為：夢(mèng)

14.1

【分析】選取而，而為基底將向量標(biāo)進(jìn)行分解，然后與條件對(duì)照后得到％的值.

【詳解】選取A反A方為基底，

貝ljA尸=八方+。"=!八8+八方，

3

XkF=zlAC+//DE=2(^+71b)+//=++

將以上兩式比較系數(shù)可得4-〃=1.

故答案為：1.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?陜西銅川?一模)已知單位向量4,1的夾角為向量正=2冢+

萬(wàn)=q—且而1n，則九的值為()

A.1B.-1C.±1D.2

2.(2022?全國(guó)?一模)如圖，在團(tuán)A8C中，點(diǎn)M是AB上的點(diǎn)且滿足而？=3詼，N是AC

上的點(diǎn)且滿足麗=亞，CM與BN交于P點(diǎn),設(shè)而=小衣=5,則麗=（）

3.（2022?山東煙臺(tái)?三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O,/＞為圓。上任一

點(diǎn)，若〃通+,而，則2x+2y的最大值為（）

4.（2023?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在V"C中，點(diǎn)0,E滿足麗=成,演=2反,/法與AD

交于點(diǎn)、P,^AP=xAB+yACf則刈=（）

5.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知平面非零向量76滿足46=|21+5|,則|,卜|〃|的最小值

為（）

A.2B.4C.8D.16

6.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）在V/1BC中，點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，且4）=4,點(diǎn)E滿

足Z^=sin20"4+；cos29ic.（0wR）,則（麗+反）?麗的最小值為（）

A.-10B.-8C.-6D.T

7.（2024?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè)）平面上的三個(gè)力月,生居作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).若

闿=1N,|6|=后小耳與鳥(niǎo)的夾角為45。,則瑞與R夾角的余弦值為（）

AV6+V2_V6+x/2r>/6-5/2n>/6-V2

4444

8.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）已知V4AC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，AN=；NCP是BN上

2__

一點(diǎn)且Q=〃?而+§而，則?.而=（）

212

A.—B.-C.-D.1

993

二、多選題

9.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知［的］=2,|麗卜2,且兩，麗的夾角為:，點(diǎn)尸在以

。為圓心的圓弧MN上運(yùn)動(dòng)，若在=X兩X,y>o,則x+y的值可能為（）

A.2B.-C.—D.1

22

10.（2023?福建?一模）平面向量/G滿足|而|=而|=1,對(duì)任意的實(shí)數(shù)/,<\m+tn\

恒成立，則（）

A.而與日的夾角為60。B.（正+而?+（記-而>為定值

c.?〃-〃力?的最小值為5D.加在加+日上的投影向量為5（〃?+〃）

11.（2023?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知向量1=（1,2）,/；=（<2）,則（）

A.+B.卜一司=忖+0

C.分-%在2上的投影向量是一：D.［在2+5上的投影向量是（-3,4）

三、填空題

12.（2023?廣東廣州?一模）已知向量2㈤3=（1,1）,且￡二，則2=,

"■4在5方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

13.（2023?山東荷澤一模）已知夾角為60"的非零向量0/；滿足同=2忖，（2）-肉_1尻則

14.（23-24高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）已知向量￡4滿足同=3a=2,（24+盯5=1,則

慳+5卜

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBACCBAACDAD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】根據(jù)已知向量而=%冢+不，方=[-丸日月.而J./；，得出

0-陰小.+肅-區(qū)2=0,根據(jù)已知單位向量I，瑟的夾角為:，得出同=同=],且

即可代入得出go-萬(wàn)）=（）,即可解出答案.

【詳解】由已知得亦及=（溫+可（1一遍）=（1一陰冢￡+病-一溫~二0,

?.?單位向量耳的夾角為《，

Mir_]

.?.e,=e2=1,且q?/=彳，

所以：（1一公）=。解得久=±1,

故選：C.

2.B

【分析]根據(jù)三點(diǎn)共線有4〃cR,使=+*&A&、A戶(hù)=?AC+（I-MA乩由平面

42

向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.

【詳解】AM=3MB=>AM=^ABtAN=NC=>AN=^AC.

由C,P,M共線，存在使4戶(hù)=/MC+（l-/0AA/n4戶(hù)=/MC+^^4月①，

由MP,氏共線，存在〃wR,使得4戶(hù)=〃八”+（1-〃）4月=4"得/+（1-//）"@,

由①②hd-2）,石yq故而=料手.

故選：B.

3.A

【分析】等和線的問(wèn)題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.

【詳解】

作5c的平行線與圓相交于點(diǎn)P,與直線43相交于點(diǎn)￡與直線4c相交于點(diǎn)R

設(shè)麗=/1通+〃正，則4十〃=1,

AEAF4

0BC//EF,團(tuán)設(shè)——=「=k,則ke[O，F(xiàn)

ABAC3

^AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+JJAF=AkAB+jL/kAC

回x=入k,y=pk

Q

^2x+2y=2(4+〃)k=2k<-

故選：A.

4.C

【分析】法?，根據(jù)向量共線可得衣=2而，再得AP=^A月+^AC.,又麗=〃施，再

表示出衣，利用向量相等解出4戶(hù)=14月+^4。，即可得解；法二，建立平面直角坐標(biāo)

系，利用坐標(biāo)法求出即可.

【詳解】法一：因?yàn)镻在A。上，故Q//而，所以存在唯一實(shí)數(shù)九，使得而=4而，

乂陽(yáng)=加,故。為4C的中點(diǎn)，

所以AD=^AB+^AC,所以八戶(hù)二,從分+日人乙；同理存在〃，使得麗=〃詼，

又4戶(hù)=A&+8戶(hù)=A^+//BE=A后+〃(4E-A6=(1-0)A#+與AC：

所以1=1一〃=與，所以〃=|,所以?=：通+|而，所以*=y=],所以

4

xy=—.

25

故選：C.

法二：不妨設(shè)VA4C為等腰直角三角形，其中A3_LAC,AB=AC=6,以A為原點(diǎn)，AB

則直線BE，陋的方程分別為尹+L…

聯(lián)立解得由而=x湎+y配，

得（S￡）=X（6,0）+），（0,6）,解得x=y=],則町=4.

\JJ，DND

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把。用=|2〃+6|的兩邊平方，利用基人不等式進(jìn)

行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】設(shè)非零向量4,5的夾角為0.

-ah=ia\\b\cos0=\2a+bt>Ot所以O(shè)vcosJVl,

由乙?另二|%+5|兩邊平方得：I肝cos2e=4d2+加+好5,

v4d2+b2>2\2d\\b\,

：.\af\b|2cos，°2212aMM同?同cos夕，

即同忖cos?夕？4+4cos8,

、4（1+cos。）.

>-----；----=4

cos"0\cos6jcos。（cos。2）

.??°C，???￡江即當(dāng)烹=1時(shí)，團(tuán)⑸取得最小值，最小值為8.

故選：C.

6.B

【分析】由向量共線定理知，點(diǎn)E在線段4。上，設(shè)即=工，則

（麗+反）?麗=2麗?麗=-2x（47）,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?￡=sin2。加+4002033（^GR）,

2

所以而=sin2。?麗+co§2夕麗,又sii>2，+cos26=1,

所以點(diǎn)E在線段A￡>I.,所以（而+或）?麗=2麗?麗.

設(shè)EO=x（0<x<4）,所以

（?+rC）EA=2EDE4=-2,v（4-^）=2（x-2）2-8>-8,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立，所以（而+國(guó)，?瓦的最小值為-8.

【分析】根據(jù)耳+耳+耳=6先求得園=|耳+可，再由國(guó)=J|北+同+2同同cos。,

即可求解.

【詳解】①三個(gè)力平衡，

回國(guó)=|M+E卜加「+2不耳+團(tuán)=卜+2x1x^1^8045。+“:二=&.

設(shè)耳與耳的夾角為6,則園=，同+同+2園園cos』

BP血=Jl2+&~+2x1x&cos夕?

解得cos0=-"°

4

故選：A

8.A

QI

【分析】根據(jù)題意得*豆+]做，由P,5,N三點(diǎn)共線求得“=利用向量數(shù)量積運(yùn)

算求解.

____IU1TIHIT11U11U7IUTH.HQ111T

【詳解】VAN=-NC,AN=-AC,fLAP=mAB+-AC=mAB+-AN,

3499

Q1

而PI,N三點(diǎn)共線，.■.〃?+]=],即〃?=],

ULU1IUD9UULT

...AP=-AB+—AC,

99

所以Q?麗=(1福+￡而="+￡xcos600=￡.

故詵：A.

9.CD

【分析】以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2x+y,Gy）,結(jié)合題意可得又知點(diǎn)P在以。為圓心，2為半徑的圓上，整

理得（工+），＞-1=個(gè)，變形結(jié)合基本不等式即可求解X+）'的取值范圍，進(jìn)而得解.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則例（2,0）,N（1網(wǎng),則訴=（2,0）,派=（1,6）,

所以。戶(hù)=xOA/+yON=（2x+y,,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2x+y,.

ia

由題意可知lW2x+y<2,0<V3.v<V3，則;Kx+）?。?

乙乙

易知點(diǎn)P在以。為圓心，2為半徑的圓上，所以（2%+y『+（6'2=4,

UP4x2+^xy+y2+3>,2=4,即/+孫+V=],即（匯+d

易知（x+y）2=1+母21,放x+”l.

因?yàn)閤NO,y>0,所以盯｛半j,所以：（x+），）匕1,得ij+yv手，

結(jié)合;Wx+）,?T，可得

故選：CD.

10.AD

【分析】由題意可得：而與■的夾角。=60。.然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求

解.

【詳解】設(shè)平面向量而與方的夾角為。，

因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t,后-