專題過關(guān)檢測三立體幾何

（分值:150分）

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是正確的.

1.（2025廣東中山二模）如圖,在圓柱0。2內(nèi)有一個球。，該球與圓柱的上、下底面及母線

均相切.若。1。2=2,則圓柱。02的表面積為（）

A.4兀B.5nC.6兀D.ln

2.（2025遼寧鞍山二模）若圓錐的側(cè)面積與軸截面面積之比為2兀，則圓錐母線與底面所成

角的大小為（）

A4-1T

6

3.（2025安徽皖南八校三模）設(shè)兒/2,/3是三條不同的直線,火夕是兩個不同的平面，且

。7=/1也613或,則*〃廳'是"/1〃/2”的（）

A充分不必要條件

A必要不充分條件

C充要條件

D既不充分也不必要條件

4.（2025廣東深圳二模）已知正四棱錐的底面邊長為6,且其側(cè)面積是底面積的2倍，則此

正四棱錐的體積為（）

A36V5B.36V6

C.108V3D.108V6

5.（2025山東青島、淄博二模）已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是個平圓，其母線長為2g,該

圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面半徑為”的圓錐,則所得圓臺的體積為

（）

413n-13n

99

6.（2025浙江名校協(xié)作體模擬）一個底面邊長為2cm的正四棱柱形狀的容器內(nèi)裝有一些

水（底面放置于桌面上）,現(xiàn)將一個底面半徑為1cm的鐵制實心圓錐放入該容器內(nèi),圓錐完

全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了]cm.若該容器的厚度忽略不計，則該圓錐的

側(cè)面積為（）

兀cm?8.6兀cm?

C.2VTO71cm2D.2y/37itcm2

7.（2025北京東城一模）祈年殿（圖1）是北京市的標(biāo)志性建筑之一，距今已有600多年歷史.

殿內(nèi)部有垂直于地面的28根木柱，分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為19米的龍井柱,

寓意一年四季;中圈有12根約為13米的金柱，代表十二個月;外圈有12根約為6米的檐

柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱A4和兩根金柱形成的幾何體ABC-

（圖2）中48=4。=8,/84。=144°,則平面A\B\C\與平面A8C所成角的正切值為

（）

A__-__B__-__

-3sinl8°'4sinl80

C——-——D——-——

'3COS180?4COS18>

8.在三棱錐P-ABC中工3二4。=4,/84。=120°『/1=6,。3=產(chǎn)。二2舊,則三棱錐P-ABC的

外接球的表面積為（）

A.100nB.75兀C.80兀D.120K

二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（2025遼寧本溪模擬）已知是兩個不重合的平面切,〃是兩條不重合的直線，則下列說

法正確的是（）

A.若/〃〃幾貝〃_La

B.若,〃〃〃簿0/?=〃，則in//n

C.若J_△則a//P

D.若小則a邛

10.（2025福建廈門三模汝I圖，一個漏斗的上面部分可視為長方體A8CQ-ABCD；下面部

分可視為正四棱錐P-A4CDO為正方形A8CD的中心，兩部分的高都是該正方形邊長的

一半，則（）

A.AV1AB

〃平面AP。

C.平面AA'P_L平面BDP

DCC與A行為相交直線

11.（2025山東煙臺模擬）已知正方體的棱長為2］為棱A4的中點，則

（）

A直線PDi與所成的角為30°

平面A山G

C.過點P旦與B^D垂直的平面截正方體所得截面的面積為3V3

D以P為球心，傷為半徑的球面與側(cè)面BCGBi的交線的長度為等

三、填空題:本大題共3小題.每小題5分，共計15分.

12.（2025上海普陀二模）若一個圓錐的高為式，側(cè)面積為2或兀，則該圓錐側(cè)面展開圖中扇

形的圓心角的大小為.

13.（2025北京東城二模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中討論了“垣”“塹”

等建筑的體積問題.某工程要完成一個形如直四棱柱ABCD-A^^Di的“塹”形溝渠的土

方作業(yè)（如圖），其中AQBC與平面A4B歸所成的角均為“B〃OC,AB=4米,DC=8

米人4尸20米，則需要挖土立方米.

14.（2025山東濰坊二模）已知圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,其下底面與半球。

的底面重合，上底面圓周在半球O的球面上，則圓臺的側(cè)面積為;半球。被該

圓臺的上底面所在的平面截得兩部分,其體積分別為%W2（0＜丫2）,則稱=.

四、解答題:本大題共5小題，共計77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）（2025河南新鄉(xiāng)二模）《九章算術(shù)?商功》中,將四個面都為直角三角形的四面體

稱為鱉膈.如圖，在四面體ABCD中,CDJ_平面且XB=4,BC=CD=3,lE=

港

（1）證明:四面體A3CQ為鱉喘；

⑵若直線MNL平面求直線BE與所成角的余弦值.

16.（15分）（2025北京東城一模）如圖，在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形,

平面平面CDEADLDEAD=DE=DC=1,BF//DE.

⑴證明:FC〃平面ADE;

（2）已知點E到平面AFC的距離為乎，且4C=C￡求BF的長.

17.（15分）（2025山東濱州二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCQ是矩形，

AD=2,A8=3,A8_LPEUAPD為等腰三角形，且NPAO耳，點E為線段PD上一點、.

B

c

P

⑴若破〃平面ACE求^的值；

⑵當(dāng)器為何值時，直線AE與平面PAC所成的角最大，并求最大角的值.

18.（17分）（2025山東臨沂一模）在aNBC中,NNBC=90°,AO〃BC,NA=CD=2AB=2,如圖,

將AVAO沿AD翻折至△PAD

（1）證明:平面P8C_L平面PAB\

（2）若二面角P-AD-B大小為120°.

（，）求PA與平面P8C所成角的正弦值；

（萬）在線段戶。上是否存在點E,使得平面A8E與平面PQC所成角的余弦值為營若存在,

確定點E的位置;若不存在，說明理由.

19.（17分）（2025遼寧沈陽模擬）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)戶為多面體M

的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為OP=1=（NQIPQ2+NQ2PQ3+…+N

271

。3產(chǎn)Q+/QPQ）,其中0,（i=l,2,…兒423）為多面體M的所有與點尸相鄰的頂點，且平

面0PQ,平面。2。。3,…，平面0MPQ.和平面QPQi為多面體M的所有以。為公共點

的面.如圖，在三棱錐P-A8C中.

（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和;

⑵若PA_L平面ABC,ACJ_8C4C=8C=2,三棱錐RABC在頂點。處的離散曲率為求點

O

A到平面P8C的距離；

(3)在(2)的前提下,又知點。在棱P8上，直線CQ與平面48c所成角的余弦值為哼，求

6

8。的長度.

答案：

1.C解析由題意知，圓柱。1。2底面半徑片等二1,母線長/=0。2=2,所以圓柱。。2的

表面積5=2兀/2+2“/=2兀+4兀=6兀故選C.

X2TTFX/

2.A解析設(shè)圓錐的底面二徑為人母線長為/,高為〃，則由題意得^---二2兀，解得/二2兒

-x2rxh

設(shè)圓錐母線與底面所成角為則sin0==；,所以。=3所以圓錐母線與底面所

2I26

成角的大小為m

6

3.A解析當(dāng)3〃/3時,/3點,/2加,所以3〃"huaa邛=/i,所以/|〃上成立，當(dāng)/“/，2時,

若人與/3相交，則/2與/3異面，不能推導(dǎo)出〃〃瓦所以“，2〃6’是"〃材’的充分不必要條

件.故選A.

4.A解析如圖，在正四棱錐P-ABCD中,P。為四棱錐的高,PE為側(cè)面的高，因為正四棱

錐的底面邊長為6,且其側(cè)面積是底面積的2倍，所以S*4xgx6PE=2S『72,解得

PE=6,PO=7PE?-0E?=36，所以V/M8co=gs底?尸。=：x36x3K=36VI故選A.

5.C解析設(shè)圓錐底面半徑為人由題意可得2口=28%解得如圖，作出圖形的軸截

面，其中E4分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，則CB=y/AC2-AB2=3^=器=:可得

CoAB3

CE=\,BE=2,V=-x（兀x3+兀x1+ITTx3XTTX-）x2=—.故選C.

33"\/39

6.A解析設(shè)圓錐的高為力cm,所以圓錐的體積V二弓cml

由題意，正四棱柱中水上升的體積即為圓錐的體積，所以2x2x5，所以公6,則圓錐的

母線長為71+36=V37cm,

故圓錐的側(cè)面積為92兀x<57=A/3771cn?.故選A.

7.B解析若平面ABC〃平面O8G,則平面A用G與平面ABC所成角，即為平面

45cl與平面DBG所成角,

由題意有△ABCgZkQBCi,即△。囪C是等腰三角形，腰長約為8米,NBQC=144',易知

NOBG=NOC出二18°,若E是BiCi的中點，連接OE,AiE,則且AiDJ_平面

DBCi,由BiGu平面Q8C],則4。_1_8。|,。*\4|。=。,。&4|。<=平面4。￡所以8|。_1_

平面AOE,則NAiEO是平面A\B\C\與平面DB\C\所成角的平面角，其中AiD=19-

13=6,DE=8sin18。，則.4班二黎=扁二故選B.

8.A解析在ABAC中，由余弦定理得,=A4+AG-ZABACcosNBACudg,則BC=4?

因為PA2+AC2=PC2,所以姑_14。.同理,24_1_4a

又ABCIAC=A,A￡4Cu平面ABC,則PA_L平面ABC.

設(shè)aABC的外接圓半徑為「，

所以2『%=華

sinl20v3

2

所以『4,所以外接球的半徑R滿足R2=/+(?)2=16+9=25,

故三棱錐尸-ABC外接球的表面積為4K/?2=10()71.

9.ACD解析對于A,因為〃2〃〃,m_1_a所以〃_La,故A正確;對于B,根據(jù)判定定理，由m

//a,anp=,7,〃?up,得〃?〃〃,而若m//a,aCl4二〃，貝"〃?〃〃,這個條件中少了〃?<=/?,故不能說明

〃?〃〃，故B錯誤;對于C,因為〃?_La,〃7_LK所以兩平面有公共的法向量，根據(jù)法向量相同的

兩平面，不重合就一定平行，則a〃小故C正確;對于D,根據(jù)〃z_La,團〃〃，得〃_La,又因為n

〃人則過〃作一個平面y與平面外相交于/,則〃〃/，所以可得山，又因為仁人所以a邛,

故D正確.故選ACD.

10.BCD解析對于A,設(shè)正方形A8CO的邊長為2,由正四棱錐性質(zhì)可得POJL平面

ABCD,故PO=AY=1,因為AAJ_平面48CQ,故4。在平面A8C。的射影為A0,又A。不

與A3垂直，故40不與垂直，故A不正確;對于B,由題PO〃A4,且P0=AA；故四邊形

尸。4A是平行四邊形，所以4'0〃AP,40C平面APDAPu平面APR所以40〃平面

APQ,故B正確;對于C,因為P0〃CC'〃A4',0W平面CC'4'A故尸。u平面CCAA平面

A4'尸即為平面CC,A4,因為AA_L平面ABCZ）,BOu平面ABCQ,所以AAJ_BQ,又因為B。

_LAC,4AnAC=A,所以801.平面CCA4,又8Ou平面8OP,所以平面平面

CC7VA,即平面44了_1_平面3OP,故C正確;對于D,因為CC；APu平面CC/TA,且不平行,

故CC與4尸為相交直線，故D正確.故選BCD.

11.BCD解析在正方體中,〃8c故直線PDi與8C所成的

角即為直線PD\與AQ所成的角，即乙4辦P,在RtAFAiDi中,lan/AQP=4=；則/

41D12

4。出不為30°,故A錯誤;對于B,連接BiOi,則4D_L4G,又平面

ABCDAGu平面ABCD1,所以ADi_LACBDinDDi=￡hB?,DDiu平面DDB,

故4G_L平面。。向乃|。（=平面。。出,故AiCi_L8i。，同理可證48_L

BQACin4B=441cABu平面AiBCi,故8iO_L平面AiBCi,故B正確;因為BD_L平

面43G,所以過點P且與囪。垂直的平面截正方體所得截面與平面45G平行，設(shè)

A也8C,CCi,aOi,DiAi的中點為Q,E/,G,”,依次連接P,Q,E,RG,乩可得六邊形PQEFGH

為正六邊形，而戶?！?8,PQC平面A山G,A山u平面4BG,故PQ〃平面48G,同理可

證EQ〃平面4山。,￡。八尸。二。,￡。,。（3平面PQEFGH,故平面PQEFGH〃平面AiBCi,

即過點尸且與垂直的平面截正方體所得截面即為六邊形PQERS”,邊長為夜，其面

積為6x?x（魚戶=3百，故C正確;

4

對于D,過點。作BBT的垂線，垂足為M則”為BBi的中點，且PMJ_平面BCCB,

設(shè)以P為球心，遙為半徑的球面與側(cè)面BCCB的交線上的點為K,則PK二在,MKu平面

BCGBi,故PM_LMK,且MK=y/PK2-PM2=76^4=V2,

則以尸為球心，巡為半徑的球面與側(cè)面BCC0的交線為平面BCG歷上以M為圓心，以

或為半徑的圓弧,N,L分別為圓弧與的交點，如圖.

由于NaMN=N8A〃=45°,故NLMN=90°,則交線長度為1*&=亨，故D正確.故選

BCD.

12.A/2TI解析設(shè)底面半徑為人母線長為/,由兀”二2奩兀，得r/=2V2,X〃=&,由勾股定理

得/=

所以Nr?+2=2&,解得r=V2,/=2,

底面圓周長L=2兀r=2或兀，扇形圓心角3=^==&兀

13.

240V3解析因為AD8C與平面AA山山所成角均為率且AB〃OC,

所以四邊形A5co為等腰梯形，

因為A8=4QC=8A4i=2(),所以等腰梯形的高人=26故

48。=引8+。。/『卬4+8》28=12心所以直四棱柱體積曝四校柱.皿聲QD尸佛形

ABCD-AA?=24073.

14.

6兀哈Z解析作出圓臺的軸截面如圖，設(shè)圓臺的二底面半徑為八,下底面半徑為底,

球的半徑為R.

:,圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,.：n=l,n=2,

又下底面與半球。的底面重合，?:R=2,

?:圓臺的高h(yuǎn)=dR?-*=V4^1=V3,

?:圓臺的母線長為/二J九2+(丁2十1)2=V3+1=2,

?:圓臺的側(cè)面積為5=兀(n+0/=兀(1+2)乂2=6兀,半球的體積為V平球=手東^1=宗X2、等.

:?球心到圓臺的上底面所在的平面的距離為d=g,

?：球冠的高度為h'=R-d=2W,

2

WH/I'(3P-/I')n(2產(chǎn)(6-2+6)_E16-96)

?：球冠的體積為VI=—

33-3

,:3二丫半曠0二坨-也絲區(qū)二3岳,

33

n(16-9^3)L

._3_16、與27

,”2-3x/3n-27

15.(1)證明因為CO_L平面A3C8CU平面ABCACu平面ABC4Bu平面ABC,

所以C￡)J_3C,CO_LAC,COJ_A8.

又AB上BC,且BCCCD=C,BC,CDu平面BCD,

所以AB_L平面BCD,又8Z)u平面8CQ,貝UABLBD,

所以四面體A8CO的四個面都為直角三角形，則四面體A8C。為鱉月需.

(2)解以B為坐標(biāo)原點，前，瓦?的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示,

則40,4。)乃(0,0。),。(3,0,3),石(*苔0),

則函二(0,4,0),麗=(3,0,3),屁二(|，拳0).

設(shè)平面人3。的法向量為n=(x,y,z),則卜吧一4y-"令x=l,得n=(l,0,-l).

{,n-BD—3x+3z=0,

由cos<^F,n>=-=|^=嚕,得直線BE與MN所成角的余弦值為嚕.

16.⑴證明由四邊形A8CZ)為平行四邊形，得AO〃8C,又BH7OJ4OU平面ADE,BCt

平面AO￡則3c〃平面AOE,同理8/〃平面ADE,

由次巾3尸二%/都在平面BC尸內(nèi),則平面BCF〃平面AOEFCu平面5CE則FC//

平面ADE.

(2)解因為平面人力￡:，平面COE,AOJ_OE,平面47)En平面8E—7)E,AOu平面ADEy

所以4OJ_平面CDE,又OE,COu平面COE,則ADA-DEADVCD,

由ADLDEYADA.CDAD=DE=DC=\^^ADE^LADC^ALCE,故AC=AE=CE,

所以△4￡)￡空ZiAQC四△EZ)C,貝UCD工DE.

綜上工。_LDEADJ_CD,CD_LDE.

￡>L...

/^******

以。為原點,57,反，反為x軸、y軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

所以A(1,0,0),C(0』,()),E(0,0,1),令BF=x>0,則尸(1,1八),

故而=(0,l,x),CF=(1,04荏=(-1,0,1),

b+%c—0,取〃=x,則m=(%/,-1).

設(shè)平面AFC的法向量為m=(〃力,c),則

Q+xc=0,

由題設(shè)答=福=當(dāng)可得4."+1=。,解得弓所以出

解⑴設(shè)ACnBD=O,連接。E

因為四邊形ABC。為矩形，所以。為BQ的中點，

又因為80〃平面4CE,且BPu平面8DP,平面ACEC1平面BDP=OE,所以BP//OE,

又在ABDP中為8。的中點，可得上為DP的中點，

所以當(dāng)5尸〃平面4CE時需=今

(2)因為48_1_4。48，「。下。"4。二。，。工。(=平面PAD所以A8_L平面PAD.

以點A為原點，分別以A8,AP所在直線為z軸、y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為AZ)=248=3,2UP7)為等腰三角形，所以AP=3,且NPAQ=，，則ND4工W，所以

36

A(0,0,0),P(0,2,0),D(V3,-1,0),C(V3,-1,3).

設(shè)質(zhì)=7方=小月,3()),其中0<芯1,(易知行()時線面角為(),不是最大)

AE=AP+而=(0,2,())+/(6,-3,0)=(何,2-32,0),

Z?=(0,2,0),^C=(V3,-l,3).

設(shè)平面P4C的法向量為n-(x,y,z),

n-APg°,取x=V5,可得n=(V3,0,-l).

則

n-AC=v3x-y+3z=0,

設(shè)直線AE與平面PAC所成的角為0,由題意可得sin0=^=,32=

明同2x13￥+(2.3.

3

4唇3加

因為04<1,所以%—生即2=:時直線AE與平面P4C所成角的正弦值最大，為槳

AZ32

此時直線AE與平面尸AC圻成的角最大，為。斗故當(dāng)案=:時，直線4E與平面0AC所成

的角最大，為。音.

18.(1)證明因為NN3C=90°,AD〃BC,所以AO_L/IP,AOJ_A伐因為PAA44=A,PA/8u

平面P4昆所以AD_L平面PAB,所以8。_1_平面PAB,又BCu平面P3C,所以平面PBC1.

平面PAB.

(2)解(/)在四棱錐P-ABCD中，由(1)知NPA8即二面角P-AD-8的平面角，

故/PAB=120°,因為NA=CD=2A8=2,所以NG6,N6=3,從而BC=3V3,ZDCB=30°,

過點A作AF_LP反交P8于點尸,又因為A/_L3C,可得A/_L平面PBCPA與平面PBC所

成角即為NAPk

在APAB中，由余弦定理可得PB=yJPA2+AB2-2PAABcosl20°=由等面積法，得

》4ABsinl200低.標(biāo)

AF=i:----i-------=——,sinNA尸產(chǎn)二——AF=——,

-PB7AP14

2

所以PA與平面P8C所成角的正弦值為理.

14

(〃)以點A為原點A。所在直線為x軸、y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(O,O,O),P(-1,0,V3),B(1,0,0),D(0,2V3,0),C(1,3V3,0),DP=(-1,-2但V3).

設(shè)屁=2而工￡[0,1],可得￡(-2,2V3(1-A),V32),AE=(-A,2V3(1-

2),何)，荏=(1,0,0),DC=(l,V3,0).

設(shè)平面的法向量為m=(x,y,z),

則任亞=。,即「=0,

\rnAE=0,l-2x+2V3(1-A)y+V3Az=0,

令y=2,可得m=(0^,2(x-l)).

設(shè)平面POC的法向量為n=(a,4c),

則｛喘小-a-2y/3b+V3c=0,

a+>/3b